Расширенная действительная числовая прямая

Действительные числа с добавленными знаками + и - бесконечности

Расширенные действительные числа (вверху) против проективно расширенных действительных чисел (внизу)

В математике расширенная система действительных чисел ^[a] получается из действительной системы чисел путем добавления двух элементов, обозначенных и ^[b], которые соответственно больше и меньше любого действительного числа. Это позволяет рассматривать потенциальные бесконечности бесконечно возрастающих последовательностей и бесконечно убывающих рядов как фактические бесконечности . Например, бесконечная последовательность натуральных чисел бесконечно возрастает и не имеет верхней границы в действительной системе чисел (потенциальная бесконечность); в расширенной прямой действительных чисел последовательность имеет в качестве своей наименьшей верхней границы и в качестве своего предела (действительная бесконечность). В исчислении и математическом анализе использование и в качестве фактических пределов значительно расширяет возможные вычисления. ^[1] Это пополнение Дедекинда–МакНейла действительных чисел. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle (1,2,\ldots )}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Расширенная система действительных чисел обозначается или ^[2]. Когда значение ясно из контекста, символ часто записывается просто как ^[2]. ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}.}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \infty .}$

Существует также отдельная проективно расширенная вещественная линия , где и не различаются, т.е. существует одна актуальная бесконечность как для бесконечно возрастающих последовательностей, так и для бесконечно убывающих последовательностей, которая обозначается просто как или как . ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \pm \infty }$

Мотивация

Пределы

Расширенная числовая прямая часто полезна для описания поведения функции , когда аргумент или значение функции становятся "бесконечно большими" в некотором смысле. Например, рассмотрим функцию, определенную как ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}$

График этой функции имеет горизонтальную асимптоту при Геометрически, при движении все дальше вправо вдоль оси -, значение стремится к 0 . Это предельное поведение похоже на предел функции , в которой действительное число приближается за исключением того, что нет действительного числа, которое приближается при бесконечном увеличении. Присоединение элементов и к позволяет определить "пределы на бесконечности", которые очень похожи на обычное определение пределов, за исключением того, что заменяется на (для ) или (для ). Это позволяет доказать и записать ${\displaystyle y=0.}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle {1}/{x^{2}}}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |x-x_{0}|<\varepsilon }$ ${\displaystyle x>N}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle x<-N}$ ${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}&=0,\\\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}}}&=0,\\\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}&=+\infty .\end{aligned}}}$

Измерение и интеграция

В теории меры часто бывает полезно допускать множества, имеющие бесконечную меру , и интегралы, значение которых может быть бесконечным.

Такие меры возникают естественным образом из исчисления. Например, при назначении меры , которая согласуется с обычной длиной интервалов , эта мера должна быть больше любого конечного действительного числа. Также при рассмотрении несобственных интегралов , таких как ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}}$

возникает значение "бесконечность". Наконец, часто бывает полезно рассмотреть предел последовательности функций, например,

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}}$

Если бы функции не принимали бесконечные значения, такие существенные результаты, как теорема о монотонной сходимости и теорема о доминируемой сходимости, не имели бы смысла.

Порядок и топологические свойства

Расширенная система действительных чисел , определяемая как или , может быть превращена в полностью упорядоченное множество , определяя для всех С этой топологией порядка , обладает желаемым свойством компактности : Каждое подмножество имеет супремум и инфимум [ ^3] (инфимум пустого множества равен , а его супремум равен ). Более того, с этой топологией , гомеоморфно единичному интервалу Таким образом, топология метризуема , соответствуя (для заданного гомеоморфизма) обычной метрике на этом интервале. Однако не существует метрики, которая является расширением обычной метрики на ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$ ${\displaystyle -\infty \leq a\leq +\infty }$ ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}.}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

В этой топологии множество является окрестностью тогда и только тогда, когда оно содержит множество для некоторого действительного числа Понятие окрестности можно определить аналогично. Используя эту характеристику расширенно-действительных окрестностей, пределы, стремящиеся к или , и пределы, «равные» и , сводятся к общему топологическому определению пределов — вместо того, чтобы иметь специальное определение в системе действительных чисел. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \{x:x>a\}}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Арифметические операции

Арифметические операции можно частично расширить следующим образом: ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}$$

Для возведения в степень см. Возведение в степень § Пределы степеней . Здесь означает и то, и то , а означает и то , и то ${\displaystyle a+\infty }$ ${\displaystyle a+(+\infty )}$ ${\displaystyle a-(-\infty ),}$ ${\displaystyle a-\infty }$ ${\displaystyle a-(+\infty )}$ ${\displaystyle a+(-\infty ).}$

Выражения и (называемые неопределенными формами ) обычно остаются неопределенными . Эти правила смоделированы на основе законов для бесконечных пределов . Однако в контексте теории вероятностей или меры часто определяется как ^[4] ${\displaystyle \infty -\infty ,0\times (\pm \infty )}$ ${\displaystyle \pm \infty /\pm \infty }$ ${\displaystyle 0\times \pm \infty }$ ${\displaystyle 0.}$

При работе как с положительными, так и с отрицательными расширенными действительными числами выражение обычно остается неопределенным, поскольку, хотя верно, что для каждой действительной ненулевой последовательности , которая сходится к обратной последовательности , в конечном итоге содержится в каждой окрестности , неверно , что сама последовательность должна сходиться либо к , либо . Другими словами, если непрерывная функция достигает нуля при определенном значении , то не обязательно, что стремится либо к , либо в пределе, когда стремится к . Это имеет место для пределов функции тождества , когда стремится к и (для последней функции ни , ни не является пределом , даже если рассматриваются только положительные значения ). ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle \{\infty ,-\infty \},}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle 1/f}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 1/f(x),}$ ${\displaystyle x}$

Однако в контекстах, где рассматриваются только неотрицательные значения, часто удобно определить Например, при работе со степенными рядами радиус сходимости степенного ряда с коэффициентами часто определяется как обратная величина предела-супремума последовательности . Таким образом, если разрешить взять значение , то можно использовать эту формулу независимо от того, является ли предел-супремум или нет. ${\displaystyle 1/0=+\infty .}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \left(|a_{n}|^{1/n}\right)}$ ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle +\infty ,}$ ${\displaystyle 0}$

Алгебраические свойства

С арифметическими операциями, определенными выше, не является даже полугруппой , не говоря уже о группе , кольце или поле, как в случае. Однако у него есть несколько удобных свойств: ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

• ${\displaystyle a+(b+c)}$и либо равны, либо оба не определены. ${\displaystyle (a+b)+c}$
• ${\displaystyle a+b}$и либо равны, либо оба не определены. ${\displaystyle b+a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)}$и либо равны, либо оба не определены. ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c}$
• ${\displaystyle a\cdot b}$и либо равны, либо оба не определены ${\displaystyle b\cdot a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)}$и равны, если оба определены. ${\displaystyle (a\cdot b)+(a\cdot c)}$
• Если и если оба и определены, то ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a+c}$ ${\displaystyle b+c}$ ${\displaystyle a+c\leq b+c.}$
• Если и и если оба и определены, то ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle a\cdot c}$ ${\displaystyle b\cdot c}$ ${\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c.}$

В общем, все законы арифметики действительны до тех пор, пока определены все встречающиеся выражения. ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

Разнообразный

Несколько функций можно непрерывно расширить , взяв пределы. Например, можно определить экстремальные точки следующих функций как: ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle \exp(-\infty )=0,}$

${\displaystyle \ln(0)=-\infty ,}$

${\displaystyle \tanh(\pm \infty )=\pm 1,}$

${\displaystyle \arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}.}$

Некоторые сингулярности могут быть дополнительно удалены. Например, функция может быть непрерывно продолжена до (при некоторых определениях непрерывности), установив значение для и для и С другой стороны, функция не может быть непрерывно продолжена, поскольку функция приближается как приближается снизу , и как приближается сверху, т. е. функция не сходится к тому же значению, что и ее независимая переменная, приближающаяся к тому же элементу области как со стороны положительного, так и отрицательного значения. ${\displaystyle 1/x^{2}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=+\infty }$ ${\displaystyle x=-\infty .}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$

Похожая, но другая система вещественной прямой, проективно расширенная вещественная прямая , не различает и (т. е. бесконечность беззнакова). ^[5] В результате функция может иметь предел на проективно расширенной вещественной прямой, в то время как в расширенной вещественной системе чисел предел имеет только абсолютное значение функции, например, в случае функции при С другой стороны, на проективно расширенной вещественной прямой и соответствуют только пределу справа и одному слева соответственно, причем полный предел существует только тогда, когда они равны. Таким образом, функции и не могут быть сделаны непрерывными при на проективно расширенной вещественной прямой. ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle \arctan(x)}$ ${\displaystyle x=\infty }$

Смотрите также

• Деление на ноль
• Расширенная комплексная плоскость
• Расширенные натуральные числа
• Неправильный интеграл
• Бесконечность
• Бревенчатое полукольцо
• Серия (математика)
• Проективно расширенная вещественная прямая
• Компьютерные представления расширенных действительных чисел, см. Арифметика с плавающей точкой § Бесконечности и IEEE с плавающей точкой

Примечания

1. Некоторые авторы используют аффинно-расширенную систему действительных чисел и аффинно-расширенную прямую действительных чисел , хотя расширенные действительные числа не образуют аффинную прямую .
2. Читается как «положительная бесконечность» и «отрицательная бесконечность» соответственно.

Ссылки

1. Уилкинс, Дэвид (2007). "Раздел 6: Расширенная система действительных чисел" (PDF) . maths.tcd.ie . Получено 2019-12-03 .
2. Weisstein, Eric W. "Affinely Extended Real Numbers". mathworld.wolfram.com . Получено 2019-12-03 .
3. Оден, Дж. Тинсли; Демкович, Лешек (16 января 2018 г.). Прикладной функциональный анализ (3-е изд.). Chapman and Hall/CRC. стр. 74. ISBN 9781498761147. Получено 8 декабря 2019 г. .
4. "расширенное действительное число в nLab". ncatlab.org . Получено 2019-12-03 .
5. Weisstein, Eric W. "Projectively Extended Real Numbers". mathworld.wolfram.com . Получено 2019-12-03 .

Дальнейшее чтение

• Алипрантис, Хараламбос Д.; Беркиншоу, Оуэн (1998), Принципы реального анализа (3-е изд.), Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, Inc., стр. 29, ISBN 0-12-050257-7, г-н  1669668
• Дэвид В. Кантрелл. «Аффинно расширенные действительные числа». MathWorld .