Многочастичное состояние N невзаимодействующих идентичных частиц задается путем записи состояния как суммы тензорных произведений N одночастичных состояний. Кроме того, в зависимости от целостности спина частицы тензорные произведения должны быть чередующимися (антисимметричными) или симметричными произведениями основного одночастичного гильбертова пространства . Конкретно:
Фермионы , имеющие полуцелый спин и подчиняющиеся принципу Паули , соответствуют антисимметричным тензорным произведениям.
Бозоны , обладающие целым спином (и не подчиняющиеся принципу исключения), соответствуют симметричным тензорным произведениям.
Если число частиц является переменным, пространство Фока строится как прямая сумма гильбертовых пространств тензорного произведения для каждого числа частиц . В пространстве Фока можно указать одно и то же состояние в новой записи, обозначении числа занятости, указав количество частиц в каждом возможном одночастичном состоянии.
Пусть – ортонормированный базис состояний в лежащем в основе одночастичном гильбертовом пространстве. Это порождает соответствующий базис пространства Фока, называемый «базисом числа заполненности». Квантовое состояние в пространстве Фока называется состоянием Фока , если оно является элементом базиса числа заполненности.
Состояние Фока удовлетворяет важному критерию: для каждого i состояние является собственным состоянием оператора числа частиц, соответствующего i -му элементарному состоянию k i . Соответствующее собственное значение дает количество частиц в состоянии. Этот критерий практически определяет фоковские состояния (необходимо дополнительно выбрать фазовый множитель).
Данное состояние Фока обозначается . В этом выражении обозначает количество частиц в i-м состоянии k i , а оператор числа частиц для i-го состояния действует на состояние Фока следующим образом:
Следовательно, состояние Фока является собственным состоянием числового оператора с собственным значением . [2] : 478
Состояния Фока часто образуют наиболее удобную основу пространства Фока. Элементы пространства Фока, которые являются суперпозициями состояний с разным числом частиц (и, следовательно, не являются собственными состояниями числового оператора), не являются состояниями Фока. По этой причине не все элементы пространства Фока называются «состояниями Фока».
Если мы определим оператор совокупного числа частиц как
определение состояния Фока гарантирует, что дисперсия измерения , т. е. измерение количества частиц в состоянии Фока, всегда возвращает определенное значение без колебаний.
Пример использования двух частиц
Для любого конечного состояния , любого состояния Фока двух идентичных частиц, заданных формулой и любого оператора , мы имеем следующее условие неотличимости : [3] : 191
.
Итак, мы должны иметь
где для бозонов и для фермионов . Поскольку и произвольны, можно сказать,
для бозонов и
для фермионов. [3] : 191
Обратите внимание, что числовой оператор не отличает бозоны от фермионов; на самом деле он просто подсчитывает частицы, не обращая внимания на их тип симметрии. Чтобы почувствовать разницу между ними, нам нужны другие операторы, а именно операторы создания и уничтожения .
Бозонное состояние Фока
Бозоны , являющиеся частицами с целым спином, подчиняются простому правилу: их составное собственное состояние симметрично [4] под действием оператора обмена . Например, в системе двух частиц в представлении тензорного произведения мы имеем .
Операторы рождения и уничтожения бозонов
Мы должны быть в состоянии выразить то же самое свойство симметрии в этом новом представлении пространства Фока. Для этого введем неэрмитовые бозонные операторы рождения и уничтожения , [4] обозначаемые и соответственно. Действие этих операторов на состояние Фока задается следующими двумя уравнениями:
Оператор создания :
[4]
Оператор уничтожения :
[4]
Неэрмитичность операторов рождения и уничтожения
Операторы создания и уничтожения бозонного состояния Фока не являются эрмитовыми операторами . [4]
Доказательство того, что операторы рождения и уничтожения не являются эрмитовыми.
Для состояния Фока ,
Поэтому ясно, что сопряженный оператору создания (уничтожения) в себя не уходит. Следовательно, они не являются эрмитовыми операторами.
Но сопряженным с оператором создания (уничтожения) является оператор уничтожения (создания). [5] : 45
Личности операторов
Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в бозонной системе имеют вид
Действия в отношении некоторых конкретных состояний Фока
Для состояния вакуума (ни одна частица не находится ни в каком состоянии), выраженного как , мы имеем:
и, . [4] То есть l -й оператор создания создает частицу в l -м состоянии k l , а состояние вакуума является фиксированной точкой операторов уничтожения, поскольку нет частиц, которые можно было бы аннигилировать.
Мы можем сгенерировать любое состояние Фока, оперируя вакуумным состоянием с соответствующим количеством операторов создания :
Для одномодового состояния Фока, выраженного как, ,
и,
Действие числовых операторов
Числовые операторы для бозонной системы имеют вид , где [4]
Числовые операторы являются эрмитовыми операторами.
Симметричное поведение бозонных фоковских состояний
Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения обеспечивают соответствующее симметричное поведение бозонных состояний Фока при обмене частицами. Здесь обмен частицами между двумя состояниями (скажем, l и m ) осуществляется путем уничтожения частицы в состоянии l и создания частицы в состоянии m . Если мы начнем с состояния Фока и хотим перевести частицу из состояния в состояние , то мы будем управлять состоянием Фока следующим образом:
Используя соотношение коммутации, которое мы имеем,
Таким образом, бозонное фоковское состояние ведет себя симметрично под действием оператора Exchange.
Функция Вигнера
Функция Вигнера
Функция Вигнера
Функция Вигнера
Функция Вигнера
Фермионное состояние Фока
Операторы рождения и уничтожения фермионов
Чтобы иметь возможность сохранить антисимметричное поведение фермионов , для фермионных фоковских состояний мы вводим неэрмитовые операторы рождения и уничтожения фермионов, [4] определенные для фермионного фоковского состояния как: [4]
Оператор создания действует как:
[4]
Оператор уничтожения действует как:
Эти два действия выполняются антисимметрично, о чем мы поговорим позже.
Личности операторов
Антикоммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в фермионной системе таковы:
[4]
где – антикоммутатор , – дельта Кронекера . Эти антикоммутационные соотношения можно использовать, чтобы показать антисимметричное поведение фермионных фоковских состояний .
Действие числового оператора, а также операторов рождения и уничтожения может показаться таким же, как и бозонное, но настоящий поворот заключается в максимальном числе заполнения каждого состояния в фермионном состоянии Фока. Расширяя приведенный выше пример двухчастичной фермионы, мы сначала должны убедиться, что фермионное состояние Фока получается путем применения определенной суммы операторов перестановки к тензорному произведению собственных кетов следующим образом:
[7] : 16
Этот определитель называется определителем Слейтера . [ нужна цитата ] Если какое-либо из состояний одной частицы одинаково, две строки определителя Слейтера будут одинаковыми, и, следовательно, определитель будет равен нулю. Следовательно, два одинаковых фермиона не должны находиться в одном и том же состоянии (утверждение принципа исключения Паули ). Следовательно, число заполнения любого отдельного состояния равно 0 или 1. Собственное значение, связанное с фермионным состоянием Фока, должно быть либо 0, либо 1.
Состояния N-фермионного базиса | n k 1 , n k 2 , n k 3 . . . n k l , . . . ⟩ {\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\right\rangle }
Действия в отношении некоторых конкретных состояний Фока
Для одномодового фермионного состояния Фока, выраженного как
и , поскольку максимальное число заполнения любого состояния равно 1. Не более 1 фермиона может занимать одно и то же состояние, как указано в принципе исключения Паули .
Для одномодового фермионного состояния Фока, выраженного как
и , поскольку число частиц не может быть меньше нуля.
Для многомодового фермионного состояния Фока, выражаемого как
,
где называется струной Жордана-Вигнера , которая зависит от порядка задействованных одночастичных состояний и сложения фермионных чисел заполнения всех предыдущих состояний. [5] : 88
Антисимметричное поведение фермионного состояния Фока
Антисимметричное поведение фермионных состояний под действием оператора Exchange учитывается антикоммутационными соотношениями. Здесь обмен частицами между двумя состояниями осуществляется путем уничтожения одной частицы в одном состоянии и создания другой в другом. Если мы начнем с состояния Фока и хотим перевести частицу из состояния в состояние , то мы будем управлять состоянием Фока следующим образом:
Используя антикоммутационное соотношение, имеем
но,
Таким образом, фермионные фоковские состояния антисимметричны под действием операторов обмена частиц.
Состояния Фока вообще не являются собственными энергетическими состояниями.
Только невзаимодействующие частицы совершают и коммутируют; вообще они не ездят на работу. Для невзаимодействующих частиц
Если они не коммутируют, гамильтониан не будет иметь приведенного выше выражения. Следовательно, в общем случае состояния Фока не являются собственными энергетическими состояниями системы.
Колебания вакуума
Вакуумное состояние или является состоянием с наименьшей энергией, и средние значения и исчезают в этом состоянии:
Электрическое и магнитное поля, а также векторный потенциал имеют модовое разложение одного и того же общего вида:
Таким образом, легко видеть, что средние значения этих операторов поля исчезают в вакуумном состоянии:
Однако можно показать, что среднее значение квадрата этих операторов поля не равно нулю. Таким образом, возникают флуктуации поля около нулевого среднего по ансамблю. Эти вакуумные флуктуации ответственны за многие интересные явления, включая лэмбовский сдвиг в квантовой оптике.
Многорежимные состояния Фока
В многорежимном поле каждый оператор создания и уничтожения работает в своем собственном режиме. Так и будет действовать только на датасете . Поскольку операторы, соответствующие разным режимам, действуют в разных подпространствах гильбертова пространства, все поле является прямым произведением всех режимов:
Операторы создания и уничтожения работают с многорежимным состоянием, только повышая или понижая числовое состояние своего собственного режима:
Мы также определяем оператор общего числа для поля, который представляет собой сумму числовых операторов каждого режима:
Многомодовое состояние Фока представляет собой собственный вектор оператора полного числа, собственное значение которого представляет собой общее число заполнения всех мод.
В случае невзаимодействующих частиц числовой оператор и гамильтониан коммутируют друг с другом, и, следовательно, многомодовые состояния Фока становятся собственными состояниями многомодового гамильтониана.
Источник однофотонного состояния
Одиночные фотоны обычно генерируются с использованием одиночных излучателей (атомов, ионов, молекул, азотно-вакансионного центра , [8] квантовой точки [9] ). Однако эти источники не всегда очень эффективны, часто с низкой вероятностью фактически получить одиночный фотон по требованию; и часто сложны и непригодны вне лабораторных условий.
Обычно используются другие источники, позволяющие преодолеть эти проблемы за счет недетерминированного поведения. Объявленные источники одиночных фотонов — это вероятностные двухфотонные источники, от которых пара отделяется, и обнаружение одного фотона возвещает о присутствии оставшегося. Эти источники обычно полагаются на оптическую нелинейность некоторых материалов, таких как, например, периодически поляризованный ниобат лития ( спонтанное параметрическое преобразование с понижением частоты ) или кремний (спонтанное четырехволновое смешение ).
Неклассическое поведение
P-представление Глаубера -Сударшана фоковских состояний показывает, что эти состояния являются чисто квантовомеханическими и не имеют классического аналога. [ Необходимы пояснения ] этих состояний в представлении является '-й производной дельта-функции Дирака и, следовательно, не является классическим распределением вероятностей.
^ К. Курцифер, С. Майер, П. Зарда, Патрик и Х. Вайнфуртер, (2000), «Стабильный твердотельный источник одиночных фотонов», Phys. Преподобный Летт. 85 (2) 290--293, doi 10.1103/PhysRevLett.85.290
^ К. Сантори, М. Пелтон, Г. Соломон, Ю. Дейл и Ю. Ямамото (2001), «Вызванные одиночные фотоны из квантовой точки», Phys. Преподобный Летт. 86 (8):1502--1505 DOI 10.1103/PhysRevLett.86.1502
Внешние ссылки
Владан Вулетич из Массачусетского технологического института использовал ансамбль атомов для создания источника в состоянии Фока (также известного как одиночный фотон) (PDF)
Создайте и измерьте состояние одиночного фотона (состояние Фока) с помощью интерактивного эксперимента QuantumLab.