Вектор Пойнтинга

Измерение направленного потока электромагнитной энергии

Дипольное излучение диполя, расположенного вертикально на странице, показывающее напряженность электрического поля (цвет) и вектор Пойнтинга (стрелки) в плоскости страницы.

В физике вектор Пойнтинга (или вектор Умова–Пойнтинга ) представляет собой направленный поток энергии (перенос энергии на единицу площади в единицу времени) или поток мощности электромагнитного поля . Единицей измерения вектора Пойнтинга в системе СИ является ватт на квадратный метр (Вт/м ² ); кг/с ³ в основных единицах СИ. Он назван в честь своего первооткрывателя Джона Генри Пойнтинга, который впервые вывел его в 1884 году. ^{[1] : 132} Николаю Умову также приписывают формулировку этой концепции. ^[2] Оливер Хевисайд также открыл его независимо в более общей форме, которая признает свободу добавления ротора произвольного векторного поля к определению. ^[3] Вектор Пойнтинга используется в электромагнетизме в сочетании с теоремой Пойнтинга , уравнением непрерывности, выражающим сохранение электромагнитной энергии , для расчета потока мощности в электромагнитных полях.

Определение

В оригинальной статье Пойнтинга и в большинстве учебников вектор Пойнтинга определяется как векторное произведение ^{[4] [5] [6]} , где жирные буквы обозначают векторы , а ${\displaystyle \mathbf {S} }$ $${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} ,}$$

• E — вектор электрического поля ;
• H — вектор вспомогательного поля магнитного поля или намагничивающего поля .

Это выражение часто называют формой Абрахама , и оно наиболее широко используется. ^[7] Вектор Пойнтинга обычно обозначается как S или N.

Проще говоря, вектор Пойнтинга S отображает направление и скорость передачи энергии, то есть мощности , из-за электромагнитных полей в области пространства, которая может быть или не быть пустой. Более строго, это величина, которая должна использоваться, чтобы сделать теорему Пойнтинга справедливой. Теорема Пойнтинга по сути утверждает, что разница между электромагнитной энергией, входящей в область, и электромагнитной энергией, покидающей область, должна равняться энергии, преобразованной или рассеянной в этой области, то есть превращенной в другую форму энергии (часто в тепло). Таким образом, если принять справедливость описания вектора Пойнтинга переноса электромагнитной энергии, то теорема Пойнтинга является просто утверждением о сохранении энергии .

Если электромагнитная энергия не приобретается или не теряется в других формах энергии в пределах некоторой области (например, механической энергии или тепла), то электромагнитная энергия локально сохраняется в пределах этой области, что приводит к уравнению непрерывности как частному случаю теоремы Пойнтинга: где — плотность энергии электромагнитного поля. Это частое условие выполняется в следующем простом примере, в котором вычисляется вектор Пойнтинга и, как видно, он согласуется с обычным вычислением мощности в электрической цепи. $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} =-{\frac {\partial u}{\partial t}}}$$ ${\displaystyle u}$

Пример: Поток мощности в коаксиальном кабеле

Хотя проблемы в электромагнетизме с произвольной геометрией, как известно, трудно решить, мы можем найти относительно простое решение в случае передачи энергии через секцию коаксиального кабеля, проанализированную в цилиндрических координатах, как показано на прилагаемой диаграмме. Мы можем воспользоваться симметрией модели: никакой зависимости от θ (круговая симметрия) и от Z (положение вдоль кабеля). Модель (и решение) можно рассматривать просто как цепь постоянного тока без зависимости от времени, но следующее решение применимо в равной степени к передаче радиочастотной энергии, пока мы рассматриваем момент времени (в течение которого напряжение и ток не изменяются) и по достаточно короткому сегменту кабеля (намного меньше длины волны, так что эти величины не зависят от Z ).

Коаксиальный кабель определен как имеющий внутренний проводник радиусом R ₁ и внешний проводник, внутренний радиус которого равен R ₂ (его толщина за пределами R ₂ не влияет на последующий анализ). Между R ₁ и R ₂ кабель содержит идеальный диэлектрический материал с относительной диэлектрической проницаемостью ε _r , и мы предполагаем, что проводники являются немагнитными (поэтому μ = μ 0 ) и не имеют потерь (идеальные проводники), все из которых являются хорошими приближениями к реальному коаксиальному кабелю в типичных ситуациях.

Иллюстрация потока электромагнитной энергии внутри коаксиального кабеля в соответствии с вектором Пойнтинга S , рассчитанным с использованием электрического поля E (обусловленного напряжением V ) и магнитного поля H (обусловленного током I).

Передача постоянного тока через коаксиальный кабель, показывающая относительную силу электрического ( ) и магнитного ( ) полей и результирующий вектор Пойнтинга ( ) на радиусе r от центра коаксиального кабеля. Прерывистая пурпурная линия показывает кумулятивную передачу мощности в радиусе r , половина которой протекает внутри геометрического среднего R ₁ и R ₂ . ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle H_{\theta }}$ ${\displaystyle S_{z}=E_{r}\cdot H_{\theta }}$

Центральный проводник находится под напряжением V и проводит ток I вправо, поэтому мы ожидаем общий поток мощности P = V · I в соответствии с основными законами электричества . Однако, оценивая вектор Пойнтинга, мы можем определить профиль потока мощности с точки зрения электрических и магнитных полей внутри коаксиального кабеля. Электрические поля, конечно, равны нулю внутри каждого проводника, но между проводниками ( ) симметрия диктует, что они строго в радиальном направлении, и можно показать (используя закон Гаусса ), что они должны подчиняться следующей форме: W можно оценить, интегрируя электрическое поле от до , которое должно быть отрицательным напряжением V : так что: ${\displaystyle R_{1}<r<R_{2}}$ $${\displaystyle E_{r}(r)={\frac {W}{r}}}$$ ${\displaystyle r=R_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ $${\displaystyle -V=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W}{r}}dr=-W\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}$$ $${\displaystyle W={\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}}$$

Магнитное поле, опять же по симметрии, может быть ненулевым только в направлении θ , то есть векторное поле, замыкающееся вокруг центрального проводника на каждом радиусе между R ₁ и R ₂ . Внутри самих проводников магнитное поле может быть или не быть нулевым, но это не имеет значения, поскольку вектор Пойнтинга в этих областях равен нулю из-за того, что электрическое поле равно нулю. За пределами всего коаксиального кабеля магнитное поле тождественно равно нулю, поскольку пути в этой области охватывают чистый ток, равный нулю (+ I в центральном проводнике и − I во внешнем проводнике), и снова электрическое поле там в любом случае равно нулю. Используя закон Ампера в области от R ₁ до R ₂ , который охватывает ток + I в центральном проводнике, но без учета тока во внешнем проводнике, мы находим на радиусе r : Теперь, из электрического поля в радиальном направлении и тангенциального магнитного поля, вектор Пойнтинга, заданный их перекрестным произведением, отличен от нуля только в направлении Z , вдоль направления самого коаксиального кабеля, как и следовало ожидать. Опять же, только как функция r , мы можем оценить S (r): где W дано выше в терминах напряжения центрального проводника V . Полную мощность, текущую по коаксиальному кабелю, можно вычислить путем интегрирования по всему поперечному сечению A кабеля между проводниками: $${\displaystyle {\begin{aligned}I=\oint _{C}\mathbf {H} \cdot ds&=2\pi rH_{\theta }(r)\\H_{\theta }(r)&={\frac {I}{2\pi r}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle S_{z}(r)=E_{r}(r)H_{\theta }(r)={\frac {W}{r}}{\frac {I}{2\pi r}}={\frac {W\,I}{2\pi r^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{tot}}&=\iint _{\mathbf {A} }S_{z}(r,\theta )\,dA=\int _{R_{2}}^{R_{1}}2\pi rdrS_{z}(r)\\&=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W\,I}{r}}dr=W\,I\,\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right).\end{aligned}}}$$

Подставляя предыдущее решение вместо постоянной W, мы находим: то есть, мощность, полученная путем интегрирования вектора Пойнтинга по поперечному сечению коаксиального кабеля, в точности равна произведению напряжения и тока, как можно было бы вычислить для передаваемой мощности, используя основные законы электричества. $${\displaystyle P_{\mathrm {tot} }=I\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right){\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}=V\,I}$$

Другие подобные примеры, в которых результат P = V · I может быть рассчитан аналитически: линия передачи с параллельными пластинами ^[8] с использованием декартовых координат и двухпроводная линия передачи ^[9] с использованием биполярных цилиндрических координат .

Другие формы

В «микроскопической» версии уравнений Максвелла это определение должно быть заменено определением в терминах электрического поля E и плотности магнитного потока B (описано далее в статье).

Также возможно объединить электрическое поле смещения D с магнитным потоком B , чтобы получить форму Минковского вектора Пойнтинга, или использовать D и H, чтобы построить еще одну версию. Выбор был спорным: Пфейфер и др. ^[10] суммируют и в определенной степени разрешают вековой спор между сторонниками форм Абрахама и Минковского (см. спор Абрахама–Минковского ).

Вектор Пойнтинга представляет собой частный случай вектора потока энергии для электромагнитной энергии. Однако любой вид энергии имеет свое направление движения в пространстве, а также свою плотность, поэтому векторы потока энергии можно определить и для других видов энергии, например, для механической энергии . Вектор Умова–Пойнтинга ^[11], открытый Николаем Умовым в 1874 году, описывает поток энергии в жидких и упругих средах в совершенно обобщенном виде.

Интерпретация

Вектор Пойнтинга появляется в теореме Пойнтинга (см. вывод в этой статье), законе сохранения энергии: где J _f — плотность тока свободных зарядов , а u — плотность электромагнитной энергии для линейных недисперсных материалов, определяемая как: где $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J_{\mathrm {f} }} \cdot \mathbf {E} ,}$$ $${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)\!,}$$

• E — электрическое поле;
• D — электрическое поле смещения;
• B — плотность магнитного потока;
• H – намагничивающее поле. ^{[12] : 258–260}

Первый член в правой части представляет собой поток электромагнитной энергии в малый объем, в то время как второй член вычитает работу, совершаемую полем над свободными электрическими токами, которая, таким образом, выходит из электромагнитной энергии в виде диссипации , тепла и т. д. В этом определении связанные электрические токи не включены в этот член, а вместо этого вносят вклад в S и u .

Для света в свободном пространстве линейная плотность импульса равна ${\displaystyle {\frac {\langle S\rangle }{c^{2}}}}$

Для линейных, недисперсных и изотропных (для простоты) материалов определяющие соотношения можно записать в виде, где $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} ,}$$

• ε — диэлектрическая проницаемость материала;
• μ – проницаемость материала. ^{[12] : 258–260}

Здесь ε и μ — скалярные действительные константы, не зависящие от положения, направления и частоты.

В принципе, это ограничивает теорему Пойнтинга в этой форме полями в вакууме и недисперсионными ^{[ необходимо разъяснение ]} линейными материалами. Обобщение на дисперсионные материалы возможно при определенных обстоятельствах за счет дополнительных членов. ^{[12] : 262–264}

Одним из следствий формулы Пойнтинга является то, что для того, чтобы электромагнитное поле выполняло работу, должны присутствовать как магнитное, так и электрическое поля. Магнитное поле в отдельности или электрическое поле в отдельности не могут выполнять никакой работы. ^[13]

Плоские волны

В распространяющейся электромагнитной плоской волне в изотропной среде без потерь мгновенный вектор Пойнтинга всегда указывает в направлении распространения, быстро осциллируя по величине. Это можно просто увидеть, учитывая, что в плоской волне величина магнитного поля H ( r , t ) задается величиной вектора электрического поля E ( r , t ), деленной на η , собственное сопротивление среды передачи: где | A | представляет векторную норму A . Поскольку E и H находятся под прямым углом друг к другу, величина их векторного произведения является произведением их величин. Без потери общности давайте примем X за направление электрического поля, а Y за направление магнитного поля. Мгновенный вектор Пойнтинга, заданный векторным произведением E и H, будет тогда иметь положительное направление Z : $${\displaystyle |\mathbf {H} |={\frac {|\mathbf {E} |}{\eta }},}$$

$${\displaystyle \left|{\mathsf {S_{z}}}\right|=\left|{\mathsf {E_{x}}}{\mathsf {H_{y}}}\right|={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}.}$$

Нахождение усредненной по времени мощности в плоской волне требует усреднения по периоду волны (обратной частоте волны): где E _rms — среднеквадратическая ( RMS) амплитуда электрического поля. В важном случае, когда E ( t ) синусоидально изменяется на некоторой частоте с пиковой амплитудой E _peak , E _rms равно , а средний вектор Пойнтинга тогда задается как: Это наиболее распространенная форма для потока энергии плоской волны, поскольку синусоидальные амплитуды поля чаще всего выражаются через их пиковые значения, и сложные задачи обычно решаются, рассматривая только одну частоту за раз. Однако выражение с использованием E _rms является совершенно общим, применяемым, например, в случае шума, среднеквадратичную амплитуду которого можно измерить, но где «пиковая» амплитуда не имеет смысла. В свободном пространстве собственное сопротивление η просто задается сопротивлением свободного пространства η ₀ ≈ 377 Ом. В немагнитных диэлектриках (таких как все прозрачные материалы на оптических частотах) с заданной диэлектрической проницаемостью ε _r или в оптике с материалом, показатель преломления которого , собственное сопротивление определяется как: $${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\left\langle \left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}\right\rangle }{\eta }}={\frac {\mathsf {E_{\text{rms}}^{2}}}{\eta }},}$$ ${\displaystyle {\mathsf {E_{peak}}}/{\sqrt {2}}}$ $${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\mathsf {E_{peak}^{2}}}{2\eta }}.}$$    ${\displaystyle {\mathsf {n}}={\sqrt {\epsilon _{r}}}}$ $${\displaystyle \eta ={\frac {\eta _{0}}{\sqrt {\epsilon _{r}}}}.}$$

В оптике величина излучаемого потока, пересекающего поверхность, то есть средняя компонента вектора Пойнтинга в направлении, нормальном к этой поверхности, технически известна как облученность , чаще ее просто называют интенсивностью ( несколько двусмысленный термин).

Формулировка в терминах микроскопических полей

«Микроскопическая» (дифференциальная) версия уравнений Максвелла допускает только фундаментальные поля E и B , без встроенной модели материальных сред. Используются только диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума, и нет D или H. При использовании этой модели вектор Пойнтинга определяется как где $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}$$

• μ ₀ — проницаемость вакуума ;
• E — вектор электрического поля;
• B — магнитный поток.

Это на самом деле общее выражение вектора Пойнтинга ^{[ сомнительно – обсудить ]} . ^[14] Соответствующая форма теоремы Пойнтинга такова: где J – полная плотность тока , а плотность энергии u определяется как: где ε ₀ – диэлектрическая проницаемость вакуума . Ее можно вывести непосредственно из уравнений Максвелла только в терминах полного заряда и тока и закона силы Лоренца . $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,}$$ $${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\varepsilon _{0}|\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}|\mathbf {B} |^{2}\right)\!,}$$

Два альтернативных определения вектора Пойнтинга равны в вакууме или в немагнитных материалах, где B = μ ₀ H . Во всех других случаях они отличаются тем, что S = (1/ μ ₀ ) E × B и соответствующий u являются чисто радиационными, поскольку член диссипации − J ⋅ E охватывает полный ток, в то время как определение E × H имеет вклады от связанных токов, которые затем исключаются из члена диссипации. ^[15]

Поскольку только микроскопические поля E и B встречаются при выводе S = (1/ μ ₀ ) E × B и плотности энергии, предположения о каком-либо присутствующем материале избегаются. Вектор Пойнтинга, теорема и выражение для плотности энергии универсально справедливы в вакууме и всех материалах. ^[15]

Усредненный по времени вектор Пойнтинга

Вышеуказанная форма для вектора Пойнтинга представляет мгновенный поток мощности, обусловленный мгновенными электрическими и магнитными полями. Чаще всего задачи в электромагнетизме решаются в терминах синусоидально изменяющихся полей на заданной частоте. Затем результаты можно применять более широко, например, представляя некогерентное излучение как суперпозицию таких волн на разных частотах и ​​с флуктуирующими амплитудами.

Таким образом, мы не будем рассматривать мгновенные E ( t ) и H ( t ), использованные выше, а скорее комплексную (векторную) амплитуду для каждой из них, которая описывает фазу когерентной волны (а также амплитуду) с использованием векторной нотации. Эти комплексные амплитудные векторы не являются функциями времени, поскольку они понимаются как относящиеся к колебаниям в течение всего времени. Фазор, такой как E _{m ,} понимается как обозначающий синусоидально изменяющееся поле, мгновенная амплитуда которого E ( t ) следует за действительной частью E _m  e ^{jωt ,} где ω — (радианная) частота рассматриваемой синусоидальной волны.

Во временной области будет видно, что мгновенный поток мощности будет колебаться с частотой 2 ω . Но обычно интерес представляет средний поток мощности, в котором эти колебания не учитываются. В приведенной ниже математике это достигается путем интегрирования по полному циклу T = 2 π / ω . Следующая величина, все еще называемая «вектором Пойнтинга», выражается непосредственно через фазоры как:

$${\displaystyle \mathbf {S} _{\mathrm {m} }={\tfrac {1}{2}}\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*},}$$

где ^∗ обозначает комплексное сопряжение. Усредненный по времени поток мощности (например, в соответствии с мгновенным вектором Пойнтинга, усредненным по полному циклу) затем задается действительной частью S m _. Мнимая часть обычно игнорируется, однако она означает «реактивную мощность», такую ​​как помехи из-за стоячей волны или ближнего поля антенны. В одной электромагнитной плоской волне (а не в стоячей волне, которую можно описать как две такие волны, движущиеся в противоположных направлениях) E и H находятся точно в фазе, поэтому S _m — это просто действительное число в соответствии с приведенным выше определением.

Эквивалентность Re( S _m ) среднему по времени мгновенному вектору Пойнтинга S можно показать следующим образом.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} (t)&=\mathbf {E} (t)\times \mathbf {H} (t)\\&=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\times \operatorname {Re} \!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\times {\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}\right)\!.\end{aligned}}}$$

Среднее значение мгновенного вектора Пойнтинга S с течением времени определяется по формуле: $${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\,dt={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times {\mathbf {H} _{\mathrm {m} }}e^{2j\omega t}\right)\right]dt.}$$

Второй член представляет собой двухчастотную составляющую, имеющую среднее значение, равное нулю, поэтому находим: $${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle =\operatorname {Re} \!\left({\tfrac {1}{2}}{\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {S} _{\mathrm {m} }\right)}$$

Согласно некоторым соглашениям, множитель 1/2 в приведенном выше определении может быть опущен. Умножение на 1/2 требуется для правильного описания потока мощности, поскольку величины E _m и H _m относятся к пиковым полям осциллирующих величин. Если же поля описываются в терминах их среднеквадратичных значений (RMS) (каждое из которых меньше на множитель ), то правильный средний поток мощности получается без умножения на 1/2. ${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$

Резистивное рассеивание мощности

Если проводник имеет значительное сопротивление, то вблизи поверхности этого проводника вектор Пойнтинга будет наклонен к проводнику и ударится о него. ^{[9] : рис.7,8} Как только вектор Пойнтинга входит в проводник, он изгибается в направлении, которое почти перпендикулярно поверхности. ^{[16] : 61} Это является следствием закона Снеллиуса и очень низкой скорости света внутри проводника. Определение и вычисление скорости света в проводнике можно дать. ^{[17] : 402} Внутри проводника вектор Пойнтинга представляет собой поток энергии из электромагнитного поля в провод, производя резистивное джоулево тепло в проводе. Для вывода, который начинается с закона Снеллиуса, см. Reitz стр. 454. ^{[18] : 454}

Радиационное давление

Плотность линейного импульса электромагнитного поля равна S / c ² , где S — величина вектора Пойнтинга, а c — скорость света в свободном пространстве. Давление излучения, оказываемое электромагнитной волной на поверхность цели, определяется выражением $${\displaystyle P_{\mathrm {rad} }={\frac {\langle S\rangle }{\mathrm {c} }}.}$$

Уникальность вектора Пойнтинга

Вектор Пойнтинга встречается в теореме Пойнтинга только через свою дивергенцию ∇ ⋅ S , то есть требуется только, чтобы поверхностный интеграл вектора Пойнтинга вокруг замкнутой поверхности описывал чистый поток электромагнитной энергии в замкнутый объем или из него. Это означает, что добавление соленоидального векторного поля (с нулевой дивергенцией) к S приведет к другому полю, которое удовлетворяет этому требуемому свойству векторного поля Пойнтинга согласно теореме Пойнтинга. Поскольку дивергенция любого ротора равна нулю , можно добавить ротор любого векторного поля к вектору Пойнтинга, и полученное векторное поле S ′ все равно будет удовлетворять теореме Пойнтинга.

Однако, хотя вектор Пойнтинга изначально был сформулирован только ради теоремы Пойнтинга, в которой появляется только его дивергенция, оказывается, что указанный выше выбор его формы является единственным. ^{[12] : 258–260, 605–612} В следующем разделе приведен пример, иллюстрирующий, почему неприемлемо добавлять произвольное соленоидальное поле к E × H.

Статические поля

Вектор Пойнтинга в статическом поле, где E — электрическое поле, H — магнитное поле, а S — вектор Пойнтинга.

Рассмотрение вектора Пойнтинга в статических полях показывает релятивистскую природу уравнений Максвелла и позволяет лучше понять магнитную составляющую силы Лоренца , q ( v × B ) . Для иллюстрации рассматривается прилагаемая картинка, описывающая вектор Пойнтинга в цилиндрическом конденсаторе, который находится в поле H (указывающем внутрь страницы), создаваемом постоянным магнитом. Хотя существуют только статические электрические и магнитные поля, расчет вектора Пойнтинга создает круговой поток электромагнитной энергии по часовой стрелке, не имеющий начала и конца.

Хотя циркулирующий поток энергии может показаться нефизическим, его существование необходимо для поддержания сохранения углового момента . Импульс электромагнитной волны в свободном пространстве равен ее мощности, деленной на c , скорость света. Следовательно, круговой поток электромагнитной энергии подразумевает угловой момент. ^[19] Если бы кто-то подключил провод между двумя пластинами заряженного конденсатора, то на этом проводе возникла бы сила Лоренца, пока конденсатор разряжается из-за тока разряда и скрещенного магнитного поля; эта сила была бы касательной к центральной оси и, таким образом, добавляла бы угловой момент к системе. Этот угловой момент соответствовал бы «скрытому» угловому моменту, выявленному вектором Пойнтинга, циркулирующему до того, как конденсатор был разряжен.

Смотрите также

• Волновой вектор

Ссылки

1. Страттон, Джулиус Адамс (1941). Электромагнитная теория (1-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 978-0-470-13153-4.
2. "Вектор Пойнтинга" . Физическая энциклопедия . Проверено 21 февраля 2022 г.
3. Нахин, Пол Дж. (2002). Оливер Хевисайд: Жизнь, работа и эпоха электрического гения викторианской эпохи . стр. 131. ISBN 9780801869099.
4. Пойнтинг, Джон Генри (1884). «О передаче энергии в электромагнитном поле». Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 175 : 343–361. doi : 10.1098/rstl.1884.0016 .
5. Грант, Ян С.; Филлипс, Уильям Р. (1990). Электромагнетизм (2-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
6. Гриффитс, Дэвид Дж. (2012). Введение в электродинамику (3-е изд.). Бостон: Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-85656-2.
7. Кинслер, Пол; Фаваро, Альберто; Макколл, Мартин В. (2009). «Четыре теоремы Пойнтинга». European Journal of Physics . 30 (5): 983. arXiv : 0908.1721 . Bibcode : 2009EJPh...30..983K. doi : 10.1088/0143-0807/30/5/007. S2CID  118508886.
8. Мортон, Н. (1979). «Введение в вектор Пойнтинга». Физическое образование . 14 (5): 301–304. doi :10.1088/0031-9120/14/5/004.
9. Boulé, Marc (2024). «Постоянный ток, передаваемый двумя бесконечными параллельными проводами». American Journal of Physics . 92 (1): 14–22. arXiv : 2305.11827 . doi : 10.1119/5.0121399.
10. Пфайфер, Роберт NC; Ниеминен, Тимо А.; Хекенберг, Норман Р.; Рубинштейн-Данлоп, Халина (2007). «Импульс электромагнитной волны в диэлектрических средах». Reviews of Modern Physics . 79 (4): 1197. arXiv : 0710.0461 . Bibcode : 2007RvMP...79.1197P. doi : 10.1103/RevModPhys.79.1197.
11. Умов, Николай Алексеевич (1874). «Теорема Ein über die Wechselwirkungen in Endlichen Entfernungen». Zeitschrift für Mathematik und Physik . 19 : 97–114.
12. Джексон, Джон Дэвид (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1.
13. "Примеры физики К. Макдональда - Рельсотрон" (PDF) . puhep1.princeton.edu . Получено 14.02.2021 .
14. Зангвилл, Эндрю (2013). Современная электродинамика . Cambridge University Press. стр. 508. ISBN 9780521896979.
15. Richter, Felix; Florian, Matthias; Henneberger, Klaus (2008). "Теорема Пойнтинга и сохранение энергии при распространении света в ограниченных средах". EPL . 81 (6): 67005. arXiv : 0710.0515 . Bibcode :2008EL.....8167005R. doi :10.1209/0295-5075/81/67005. S2CID  119243693.
16. Харрингтон, Роджер Ф. (2001). Time-Harmonic Electromagnetic Fields (2-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-471-20806-8.
17. Хейт, Уильям (2011). Инженерная электромагнетика (4-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-338066-7.
18. Рейц, Джон Р.; Милфорд, Фредерик Дж.; Кристи, Роберт У. (2008). Основы электромагнитной теории (4-е изд.). Бостон: Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-58174-7.
19. Фейнман, Ричард Филлипс (2011). Лекции Фейнмана по физике. Том II: Главным образом электромагнетизм и материя (ред. The New Millennium). Нью-Йорк: Basic Books. ISBN 978-0-465-02494-0.

Дальнейшее чтение

• Беккер, Ричард (1982). Электромагнитные поля и взаимодействия (1-е изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-64290-1.
• Администратор, Джозеф; Нахви, Махмуд (2013). Электромагнетизм (4-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-183149-9.