Векторные сферические гармоники

Расширение скалярных сферических гармоник для использования с векторными полями.

В математике векторные сферические гармоники ( VSH ) являются расширением скалярных сферических гармоник для использования с векторными полями . Компоненты VSH представляют собой комплексные функции, выраженные в базисных векторах сферических координат .

Определение

Для определения VSH использовалось несколько соглашений. ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Мы следуем рекомендациям Barrera et al. . Учитывая скалярную сферическую гармонику Y _ℓm ( θ , φ ) , мы определяем три VSH:

• ${\displaystyle \mathbf {Y} _{\ell m}=Y_{\ell m}{\hat {\mathbf {r} }},}$
• ${\displaystyle \mathbf {\Psi } _{\ell m}=r\nabla Y_{\ell m},}$
• ${\displaystyle \mathbf {\Phi } _{\ell m}=\mathbf {r} \times \nabla Y_{\ell m},}$

причем это единичный вектор в радиальном направлении в сферических координатах и ​​вектор в радиальном направлении с той же нормой, что и радиус, т. е. . Радиальные факторы включены для того, чтобы гарантировать, что размеры VSH такие же, как у обычных сферических гармоник, и что VSH не зависит от радиальной сферической координаты. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}}$

Цель этих новых векторных полей состоит в том, чтобы отделить радиальную зависимость от угловой при использовании сферических координат, чтобы векторное поле допускало мультипольное разложение.

$${\displaystyle \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(E_{\ell m}^{r}(r)\mathbf {Y} _{\ell m}+E_{\ell m}^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}+E_{\ell m}^{(2)}(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right).}$$

Метки на компонентах отражают, что это радиальная составляющая векторного поля, а и – поперечные компоненты (по отношению к радиусу-вектору ). ${\displaystyle E_{\ell m}^{r}}$ ${\displaystyle E_{\ell m}^{(1)}}$ ${\displaystyle E_{\ell m}^{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Основные свойства

Симметрия

Как и скалярные сферические гармоники, VSH удовлетворяет

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{\ell m}^{*},\\\mathbf {\Psi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*},\\\mathbf {\Phi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*},\end{aligned}}}$$

что сокращает количество независимых функций примерно вдвое. Звездочка указывает на комплексное сопряжение .

Ортогональность

VSH ортогональны обычным трехмерным образом в каждой точке : ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$$

Они также ортогональны в гильбертовом пространстве:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {Y} _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Phi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0.\end{aligned}}}$$

Дополнительный результат в одной точке (не указанный в Barrera et al, 1985) для всех : ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \ell ,m,\ell ',m'}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$$

Векторные мультипольные моменты

Соотношения ортогональности позволяют вычислять сферические мультипольные моменты векторного поля как

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\ell m}^{r}&=\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {Y} _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(1)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(2)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega .\end{aligned}}}$$

Градиент скалярного поля

Учитывая мультипольное разложение скалярного поля

$${\displaystyle \phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\phi _{\ell m}(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),}$$

мы можем выразить его градиент через VSH как

$${\displaystyle \nabla \phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {d\phi _{\ell m}}{dr}}\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {\phi _{\ell m}}{r}}\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right).}$$

Дивергенция

Для любого мультипольного поля имеем

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {2}{r}}f\right)Y_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}fY_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=0.\end{aligned}}}$$

Путем суперпозиции получаем дивергенцию любого векторного поля:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {dE_{\ell m}^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}E_{\ell m}^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)Y_{\ell m}.}$$

Мы видим, что компонента на Φ _ℓm всегда соленоидальна .

Завиток

Для любого мультипольного поля имеем

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=-{\frac {1}{r}}f\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}f\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

Методом суперпозиции получаем ротор любого векторного поля:

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {dE_{\ell m}^{(2)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}+\left(-{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{r}+{\frac {dE_{\ell m}^{(1)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right).}$$

лапласиан

Действие оператора Лапласа разделяется следующим образом: ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }$

$${\displaystyle \Delta \left(f(r)\mathbf {Z} _{\ell m}\right)=\left({\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\mathbf {Z} _{\ell m}+f(r)\Delta \mathbf {Z} _{\ell m},}$$

${\displaystyle \mathbf {Z} _{\ell m}=\mathbf {Y} _{\ell m},\mathbf {\Psi } _{\ell m},\mathbf {\Phi } _{\ell m}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {Y} _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}(2+\ell (\ell +1))\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {2}{r^{2}}}\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Psi } _{\ell m}&={\frac {2}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {Y} _{\ell m}-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Phi } _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Phi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

Также обратите внимание, что это действие становится симметричным , т.е. недиагональные коэффициенты равны для правильно нормализованного VSH. ${\textstyle {\frac {2}{r^{2}}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$

Примеры

Визуализация реальных частей VSH. Нажмите, чтобы развернуть. ${\displaystyle \ell =1,2,3}$

Первые векторные сферические гармоники

• ${\displaystyle \ell =0}$.
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{00}&={\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {\Psi } _{00}&=\mathbf {0} ,\\\mathbf {\Phi } _{00}&=\mathbf {0} .\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle \ell =1}$.
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{10}&={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\sin \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\end{aligned}}}$$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Psi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }},\\\mathbf {\Psi } _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\end{aligned}}}$$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Phi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }},\\\mathbf {\Phi } _{11}&={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(i\,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle \ell =2}$.
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{20}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{22}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }}.\end{aligned}}}$$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Psi } _{20}&=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }},\\\mathbf {\Psi } _{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\\\mathbf {\Psi } _{22}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}}$$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Phi } _{20}&=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }},\\\mathbf {\Phi } _{21}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(i\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\\\mathbf {\Phi } _{22}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(-i\,{\hat {\mathbf {\theta } }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}}$$

Выражения для отрицательных значений m получены применением соотношений симметрии.

Приложения

Электродинамика

ВСГ особенно полезны при изучении мультипольных полей излучения . Например, магнитный мультиполь возникает из-за колеблющегося тока с угловой частотой и комплексной амплитудой. ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}=J(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m},}$$

и соответствующие электрическое и магнитное поля можно записать как

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {E} }}&=E(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\{\hat {\mathbf {B} }}&=B^{r}(r)\mathbf {Y} _{\ell m}+B^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

Подставляя в уравнения Максвелла, закон Гаусса автоматически выполняется.

$${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {E} }}=0,}$$

в то время как закон Фарадея разделяется как

$${\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {E} }}=-i\omega {\hat {\mathbf {B} }}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}{\dfrac {\ell (\ell +1)}{r}}E=i\omega B^{r},\\{\dfrac {dE}{dr}}+{\dfrac {E}{r}}=i\omega B^{(1)}.\end{cases}}}$$

Закон Гаусса для магнитного поля подразумевает

$${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {B} }}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dB^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}B^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}B^{(1)}=0,}$$

и уравнение Ампера – Максвелла дает

$${\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\hat {\mathbf {J} }}+i\mu _{0}\varepsilon _{0}\omega {\hat {\mathbf {E} }}\quad \Rightarrow \quad -{\frac {B^{r}}{r}}+{\frac {dB^{(1)}}{dr}}+{\frac {B^{(1)}}{r}}=\mu _{0}J+i\omega \mu _{0}\varepsilon _{0}E.}$$

Таким образом, уравнения в частных производных были преобразованы в систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Альтернативное определение

Угловая часть магнитных и электрических векторных сферических гармоник. Красные и зеленые стрелки показывают направление поля. Также представлены производящие скалярные функции, показаны только первые три порядка (диполи, квадруполи, октуполи).

Во многих приложениях векторные сферические гармоники определяются как фундаментальный набор решений векторного уравнения Гельмгольца в сферических координатах. ^{[6] [7]}

В этом случае векторные сферические гармоники порождаются скалярными функциями, которые являются решениями скалярного уравнения Гельмгольца с волновым вектором . ${\displaystyle \mathbf {k} }$

$${\displaystyle {\begin{array}{l}{\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\\{\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\end{array}}}$$

соответствующие полиномы Лежандрасферических функций Бесселя ${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle z_{n}({k}r)}$

Векторные сферические гармоники определяются как:

продольные гармоники

${\displaystyle \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}=\mathbf {\nabla } \psi _{^{e}_{o}mn}}$

магнитные гармоники

${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)}$

электрические гармоники

${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k}}}$

Здесь мы используем действительную угловую часть гармоник, где , но комплексные функции могут быть введены таким же образом. ${\displaystyle m\geq 0}$

Введем обозначения . В компонентной форме векторные сферические гармоники записываются как: ${\displaystyle \rho =kr}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {-m}{\sin(\theta )}}\sin(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }}\\{{}-\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {m}{\sin(\theta )}}\cos(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }}\\{{}+\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-m\sin(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\sin(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }\\{}+\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{}+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Продольные гармоники:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{^{e}_{o}{mn}}(k,\mathbf {r} ){}=\qquad &{\frac {\partial }{\partial r}}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}{m\varphi }\mathbf {e} _{r}\\{}+{}&{\frac {1}{r}}z_{n}(kr){\frac {\partial }{\partial \theta }}P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}m\varphi \mathbf {e} _{\theta }\\{}\mp {}&{\frac {m}{r\sin \theta }}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\sin }_{\cos }}m\varphi \mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$

Ортогональность

Решения векторного уравнения Гельмгольца подчиняются следующим соотношениям ортогональности: ^[7]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\\[3pt]\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{2n+1}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left[z_{n}(kr)\right]^{2}\\[3pt]\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left\{(n+1)\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+n\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\\[3pt]\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi &=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)k\left\{\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}-\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}\end{aligned}}}$$

Все остальные интегралы по углам между разными функциями или функциями с разными индексами равны нулю.

Вращение и инверсия

Иллюстрация трансформации векторных сферических гармоник при вращении. Видно, что они преобразуются так же, как и соответствующие скалярные функции.

При вращении векторные сферические гармоники преобразуются друг через друга так же, как и соответствующие скалярные сферические функции , генерирующие для конкретного типа векторные гармоники. Например, если производящими функциями являются обычные сферические гармоники , то векторные гармоники также будут преобразованы через D-матрицы Вигнера ^{[8] [9] [10]}

$${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{MM'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{(s)}(\theta ,\varphi ),}$$

При инверсии электрические и продольные сферические гармоники ведут себя так же, как скалярные сферические функции, т.е.

$${\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi ),}$$

$${\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J+1}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi ),}$$

Динамика жидкостей

При расчете закона Стокса для сопротивления, которое вязкая жидкость оказывает на малую сферическую частицу, распределение скорости подчиняется уравнениям Навье–Стокса без пренебрежения инерцией, т. е.

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\nabla \cdot \mathbf {v} ,\\\mathbf {0} &=-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {v} ,\end{aligned}}}$$

с граничными условиями

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{cases}\mathbf {0} &r=a,\\-\mathbf {U} _{0}&r\to \infty .\end{cases}}}$$

где U — относительная скорость частицы относительно жидкости вдали от частицы. В сферических координатах эту скорость на бесконечности можно записать как

$${\displaystyle \mathbf {U} _{0}=U_{0}\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}\right)=U_{0}\left(\mathbf {Y} _{10}+\mathbf {\Psi } _{10}\right).}$$

Последнее выражение предполагает разложение по сферическим гармоникам скорости жидкости и давления

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p(r)Y_{10},\\\mathbf {v} &=v^{r}(r)\mathbf {Y} _{10}+v^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{10}.\end{aligned}}}$$

Подстановка в уравнениях Навье – Стокса дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов.

Интегральные отношения

Здесь используются следующие определения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{emn}&=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\\Y_{omn}&=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=\nabla \times \left(\mathbf {k} Y_{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right)}$$

$${\displaystyle \mathbf {Z} _{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=i{\frac {\mathbf {k} }{k}}\times \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}$$

сферические функции Бесселяразложения по плоским волнам^[11] ${\displaystyle z_{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}^{(1)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\Omega _{k}}$$

$${\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}^{(1)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }d\Omega _{k}}$$

В случае, когда являются сферическими функциями Ганкеля, следует использовать другие формулы. ^{[12] [11]} Для векторных сферических гармоник получены следующие соотношения: ${\displaystyle z_{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}$$

$${\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}$$

${\textstyle k_{z}={\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}}$ ${\displaystyle (3)}$

Смотрите также

• Сферические гармоники
• Спинорные сферические гармоники
• Спин-взвешенные сферические гармоники
• Электромагнитное излучение
• Сферическая основа

Рекомендации

1. Баррера, Р.Г.; Эстевес, Джорджия; Хиральдо, Дж (1 октября 1985 г.). «Векторные сферические гармоники и их применение в магнитостатике». Европейский журнал физики . Издательство ИОП. 6 (4): 287–294. Бибкод : 1985EJPh....6..287B. CiteSeerX  10.1.1.718.2001 . дои : 10.1088/0143-0807/6/4/014. ISSN  0143-0807. S2CID  250894245.
2. Карраскаль, Б; Эстевес, Джорджия; Ли, Пейлянь; Лоренцо, В. (1 июля 1991 г.). «Векторные сферические гармоники и их приложение к классической электродинамике». Европейский журнал физики . Издательство ИОП. 12 (4): 184–191. Бибкод : 1991EJPh...12..184C. дои : 10.1088/0143-0807/12/4/007. ISSN  0143-0807. S2CID  250886412.
3. Хилл, EL (1954). «Теория векторных сферических гармоник» (PDF) . Американский журнал физики . Американская ассоциация учителей физики (AAPT). 22 (4): 211–214. Бибкод : 1954AmJPh..22..211H. дои : 10.1119/1.1933682. ISSN  0002-9505. S2CID  124182424. Архивировано из оригинала (PDF) 12 апреля 2020 г.
4. Вайнберг, Эрик Дж. (15 января 1994 г.). «Монопольные векторные сферические гармоники». Физический обзор D . Американское физическое общество (APS). 49 (2): 1086–1092. arXiv : hep-th/9308054 . Бибкод : 1994PhRvD..49.1086W. doi :10.1103/physrevd.49.1086. ISSN  0556-2821. PMID  10017069. S2CID  6429605.
5. П. М. Морс и Х. Фешбах, Методы теоретической физики, Часть II , Нью-Йорк: McGraw-Hill, 1898-1901 (1953)
6. Борен, Крейг Ф. и Дональд Р. Хаффман, Поглощение и рассеяние света малыми частицами, Нью-Йорк: Wiley, 1998, 530 стр., ISBN 0-471-29340-7 , ISBN 978-0-471-29340- 8 (второе издание)  
7. Страттон, Дж. А. (1941). Электромагнитная теория . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
8. Д. А. Варгалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский, Квантовая теория углового момента, Наука, Ленинград (1975).
9. Х. Чжан, Йи. Хан, Теорема сложения для сферических векторных волновых функций и ее применение к коэффициентам формы луча. J. Опт. Соц. Являюсь. Б, 25(2):255-260, февраль 2008 г.
10. С. Стейн, Дополнительные теоремы для сферических волновых функций , Ежеквартальный журнал прикладной математики, 19 (1): 15-24, 1961.
11. Б. Стаут, Решеточные суммы сферических гармоник для решеток. В: Попов Е, редактор. Решетки: теория и численные приложения. Институт Френеля, Университет Экс-Марсель 6 (2012).
12. RC Wittmann, Операторы сферических волн и формулы перевода, Транзакции IEEE по антеннам и распространению 36, 1078-1087 (1988)

Внешние ссылки

• Векторные сферические гармоники в Mathworld Эрика Вайсштейна