Функция Бесселя

Семейства решений родственных дифференциальных уравнений

Функции Бесселя описывают радиальную часть колебаний кольцевой мембраны .

Функции Бесселя , впервые определенные математиком Даниэлем Бернулли , а затем обобщенные Фридрихом Бесселем , являются каноническими решениями y ( x ) дифференциального уравнения Бесселя.

$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y=0}$$

комплексного числапорядокгладкими функциями ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Наиболее важные случаи — это целое или полуцелое число . Функции Бесселя для целых чисел также известны как цилиндрические функции или цилиндрические гармоники , поскольку они появляются в решении уравнения Лапласа в цилиндрических координатах . Сферические функции Бесселя с полуцелым числом получаются при решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Приложения функций Бесселя

Уравнение Бесселя возникает при нахождении разделимых решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических или сферических координатах . Поэтому функции Бесселя особенно важны для многих задач распространения волн и статических потенциалов. При решении задач в цилиндрических системах координат получаются функции Бесселя целого порядка ( α = n ); в сферических задачах получают полуцелые порядки ( α = n +1/2). Например:

• Электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе
• Амплитуды давления невязких вращательных течений
• Теплопроводность в цилиндрическом объекте
• Режимы вибрации тонкой круглой или кольцевой акустической мембраны (например, пластика барабана или другого мембранофона ) или более толстых пластин, таких как листовой металл (см. Теорию пластин Кирхгофа – Лява , Теорию пластин Миндлина – Рейсснера )
• Проблемы диффузии на решетке
• Решения радиального уравнения Шредингера (в сферических и цилиндрических координатах) для свободной частицы
• Представление фейнмановского пропагатора в квантовой теории поля в позиционном пространстве
• Определение закономерностей акустического излучения
• Частотно-зависимое трение в кольцевых трубопроводах
• Динамика плавающих тел
• Угловое разрешение
• Дифракция от спиральных объектов, включая ДНК
• Функция плотности вероятности произведения двух нормально распределенных случайных величин ^[1]
• Анализ поверхностных волн, генерируемых микротреморами, в геофизике и сейсмологии .

Функции Бесселя появляются и в других задачах, таких как обработка сигналов (например, см. синтез FM-звука , окно Кайзера или фильтр Бесселя ).

Определения

Поскольку это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств удобны различные рецептуры этих растворов. Различные варианты обобщены в таблице ниже и описаны в следующих разделах.

_{Функции Бесселя второго рода и сферические функции Бесселя} второго рода иногда обозначаются N _n и nn соответственно, а не Y _n и y _n . ^{[2] [3]}

Функции Бесселя первого рода: J α

График функции Бесселя первого рода J _n ( z ) с n = 0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i

График функции Бесселя первого рода J _α ( x ) для целых порядков α = 0, 1, 2

Функции Бесселя первого рода, обозначаемые как J _α ( x ) , являются решениями дифференциального уравнения Бесселя. Для целого или положительного  α функции Бесселя первого рода конечны в начале координат ( x = 0 ); в то время как для отрицательных нецелых  α функции Бесселя первого рода расходятся при приближении x к нулю. Можно определить функцию, умноженную на ряд Маклорена (обратите внимание, что α не обязательно должно быть целым числом, а нецелые степени не допускаются в ряду Тейлора), что можно найти, применив метод Фробениуса к уравнению Бесселя: ^{[ 4]} ${\displaystyle x^{\alpha }}$

$${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },}$$

Γ( z )гамма-функциянацелой функцией,αмногозначной функциейx− J ₁ ( x )J ₀ ( x )-sin xcos xJ _n ( x )J _{n ± 1} ( x ) ${\displaystyle x^{-{1}/{2}}}$

Для нецелого числа α функции J _α ( x ) и J _{− α} ( x ) линейно независимы и, следовательно, являются двумя решениями дифференциального уравнения. С другой стороны, для целого порядка n справедливо следующее соотношение (гамма-функция имеет простые полюса для каждого из неположительных целых чисел): ^[5]

$${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}$$

Это означает, что два решения больше не являются линейно независимыми. В этом случае второе линейно независимое решение оказывается функцией Бесселя второго рода, как обсуждается ниже.

Интегралы Бесселя

Другое определение функции Бесселя для целых значений n возможно с использованием интегрального представления: ^[6]

$${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,d\tau ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{i(n\tau -x\sin \tau )}\,d\tau ,}$$

^[7]

Именно этот подход использовал Бессель и из этого определения вывел несколько свойств функции. Определение может быть расширено до нецелых порядков с помощью одного из интегралов Шлефли для Re( x ) > 0 : ^{[6] [8] [9] [10] [11]}

$${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh t-\alpha t}\,dt.}$$

Связь с гипергеометрическим рядом

Функции Бесселя можно выразить через обобщенный гипергеометрический ряд следующим образом ^[12]:

$${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}\left(\alpha +1;-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}$$

Это выражение связано с развитием функций Бесселя через функцию Бесселя–Клиффорда .

Связь с полиномами Лагерра

Через полиномы Лагерра L _k и произвольно выбранный параметр t функция Бесселя может быть выражена как ^[13]

$${\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{\binom {k+\alpha }{k}}}{\frac {t^{k}}{k!}}.}$$

Функции Бесселя второго рода: Y α

График функции Бесселя второго рода Y _n ( z ) с n = 0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i

Функции Бесселя второго рода, обозначаемые Y _α ( x ) , иногда обозначаемые вместо этого N _α ( x ) , являются решениями дифференциального уравнения Бесселя, имеющими особенность в начале координат ( x = 0 ) и многозначными . Их иногда называют функциями Вебера , поскольку они были введены Х. М. Вебером  (1873), а также функциями Неймана после Карла Неймана . ^[14]

Для нецелого числа α Y _α ( x ) связано с J _α ( x ) соотношением

$${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}.}$$

В случае целочисленного порядка n функция определяется путем достижения предела, когда нецелое значение α стремится к n :

$${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x).}$$

Если n — целое неотрицательное число, мы имеем ряд ^[15]

$${\displaystyle Y_{n}(z)=-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}+{\frac {2}{\pi }}J_{n}(z)\ln {\frac {z}{2}}-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(\psi (k+1)+\psi (n+k+1)){\frac {\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}}{k!(n+k)!}}}$$

График функции Бесселя второго рода Y _α ( x ) для целых порядков α = 0, 1, 2

где - дигамма-функция , логарифмическая производная гамма -функции . ^[16] ${\displaystyle \psi (z)}$

Существует также соответствующая интегральная формула (при Re( x ) > 0 ): ^[17]

$${\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right)e^{-x\sinh t}\,dt.}$$

В случае, когда n = 0 ,

$${\displaystyle Y_{0}\left(x\right)={\frac {4}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos \left(x\cos \theta \right)\left(e+\ln \left(2x\sin ^{2}\theta \right)\right)\,d\theta .}$$

Y _α ( x ) необходим как второе линейно независимое решение уравнения Бесселя, когда α является целым числом. Но Y _α ( x ) имеет большее значение. Его можно рассматривать как «естественного» партнера J _α ( x ) . См. также подраздел о функциях Ханкеля ниже.

Более того , когда α является целым числом, как и в случае с функциями первого рода, справедливо следующее соотношение:

$${\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).}$$

И J _α ( x ) , и Y _α ( x ) являются голоморфными функциями x на комплексной плоскости , разрезанной вдоль отрицательной вещественной оси. Когда α является целым числом, функции Бесселя J являются целыми функциями x . Если x зафиксирован на ненулевом значении, то функции Бесселя являются целыми функциями от α .

Функции Бесселя второго рода, когда α — целое число, являются примером решения второго рода в теореме Фукса .

Функции Ханкеля: H(1) α, Ч(2) α

График функции Ганкеля первого рода H⁽¹⁾
_н( x ) с n = −0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i

График функции Ганкеля второго рода H⁽²⁾
_н( x ) с n = −0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i

Другой важной формулировкой двух линейно независимых решений уравнения Бесселя являются функции Ганкеля первого и второго рода , H⁽¹⁾
_α( х ) и Н⁽²⁾
_α( x ) , определенный как ^[18]

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}}$$

где я — мнимая единица . Эти линейные комбинации известны также как функции Бесселя третьего рода ; это два линейно независимых решения дифференциального уравнения Бесселя. Они названы в честь Германа Ханкеля .

Эти формы линейной комбинации удовлетворяют многочисленным простым на вид свойствам, таким как асимптотические формулы или интегральные представления. Здесь «простой» означает появление множителя вида e ^{i f (x)} . Для действительных , где , действительные значения, функции Бесселя первого и второго рода являются соответственно действительной и мнимой частями первой функции Ганкеля и действительной и отрицательной мнимой частями второй функции Ханкеля. Таким образом, приведенные выше формулы являются аналогами формулы Эйлера с заменой H ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$⁽¹⁾
_α( х ) , Ч⁽²⁾
_α( x ) для и , для , , как явно показано в асимптотическом разложении. ${\displaystyle e^{\pm ix}}$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)}$

Функции Ханкеля используются для выражения цилиндрических волновых решений уравнения цилиндрических волн, распространяющихся наружу и внутрь, соответственно (или наоборот, в зависимости от соглашения о знаках для частоты ).

Используя предыдущие соотношения, их можно выразить как

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}$$

Если α является целым числом, необходимо вычислить предел. Следующие соотношения действительны независимо от того, является ли α целым числом или нет: ^[19]

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\[6mu]H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{aligned}}}$$

В частности, если α = m +1/2где m — неотрицательное целое число, из приведенных выше соотношений прямо следует, что

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\[5pt]Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

Они полезны при разработке сферических функций Бесселя (см. ниже).

Функции Ханкеля допускают следующие интегральные представления при Re( x ) > 0 : ^[20]

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}}$$

контуру−∞± π i± π i+∞ ± π i^[17]

Модифицированные функции Бесселя: I α , K α

Функции Бесселя действительны даже для комплексных аргументов x , а важным частным случаем является случай чисто мнимого аргумента. В этом случае решения уравнения Бесселя называются модифицированными функциями Бесселя (или иногда гиперболическими функциями Бесселя ) первого и второго рода и определяются как ^[21]

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}}$$

ααxI _α ( x )J _α ( x )(−1) ^m

${\displaystyle K_{\alpha }}$может быть выражено через функции Ганкеля:

$${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}$$

Используя эти две формулы, можно получить результат + , широко известный как интеграл Николсона или формула Николсона, и дать следующее ${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(z)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }^{2}(z)}$

$${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}$$

при условии, что условие Re( x ) > 0 выполнено. Также можно показать, что

$${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,}$$

только тогда, когда | Ре(α) | <1/2и Re(x) ≥ 0 , но не тогда, когда x = 0 . ^[22]

Мы можем выразить первую и вторую функции Бесселя через модифицированные функции Бесселя (они справедливы, если − π < arg z ≤π/2): ^[23]

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}$$

I _α ( x ) и K _α ( x ) являются двумя линейно независимыми решениями модифицированного уравнения Бесселя : ^[24]

$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}$$

В отличие от обычных функций Бесселя, которые колеблются как функции вещественного аргумента, I _α и K _α являются экспоненциально растущими и убывающими функциями соответственно. Как и обычная функция Бесселя Jα , функция Iα обращается в ноль при x = 0 при α > 0 _и конечна при _x = 0 при α = 0 . Аналогично, K _α расходится в точке x = 0 с особенностью логарифмического типа для K ₀ , и1/2Γ(| α |)(2/ x ) ^{| α |} в противном случае. ^[25]

Две интегральные формулы для модифицированных функций Бесселя: (для Re( x ) > 0 ): ^[26]

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}$$

Функции Бесселя можно описать как преобразования Фурье степеней квадратичных функций. Например (для Re(ω) > 0 ):

$${\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}$$

Это можно доказать, показав равенство приведенному выше интегральному определению для K ₀ . Это делается путем интегрирования замкнутой кривой в первом квадранте комплексной плоскости.

Модифицированные функции Бесселя K _1/3 и K _2/3 могут быть представлены в виде быстро сходящихся интегралов ^[27]

$${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$$

Модифицированная функция Бесселя полезна для представления распределения Лапласа как смеси нормальных распределений в экспоненциальном масштабе. ${\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi )=(2\xi /\pi )^{-1/2}\exp(-\xi )}$

Модифицированную функцию Бесселя второго рода также называли следующими именами (ныне редкими):

• Функция бассета в честь Альфреда Барнарда Бассета
• Модифицированная функция Бесселя третьего рода.
• Модифицированная функция Ханкеля ^[28]
• Функция Макдональда после Гектора Манро Макдональда

Сферические функции Бесселя: j n , y n

График сферической функции Бесселя первого рода j _n ( z ) с n = 0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

График сферической функции Бесселя второго рода y _n ( z ) с n = 0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Сферические функции Бесселя первого рода, j _n ( x ) , для n = 0, 1, 2

Сферические функции Бесселя второго рода, y _n ( x ) , для n = 0, 1, 2

При решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах методом разделения переменных радиальное уравнение имеет вид

$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

Два линейно независимых решения этого уравнения называются сферическими функциями Бесселя j _n и y _n и связаны с обычными функциями Бесселя J _n и Y _n соотношением ^[29]

$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

y _{n также} обозначается nn _или η n ; некоторые авторы называют эти функции сферическими функциями Неймана .

Из связей с обычными функциями Бесселя непосредственно видно, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)\end{aligned}}}$

Сферические функции Бесселя также можно записать в виде ( формулы Рэлея ) ^[30]

$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}$$

Нулевая сферическая функция Бесселя j ₀ ( x ) также известна как (ненормированная) функция sinc . Первые несколько сферических функций Бесселя: ^[31]

$${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}}$$

^[32]

$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}$$

Генерирующая функция

Сферические функции Бесселя имеют производящие функции ^[33]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}$$

Дифференциальные отношения

В дальнейшем f _n представляет собой любое из j _n , y _n , h⁽¹⁾
_н, ч⁽²⁾
_ндля n = 0, ±1, ±2, ... ^[34]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}$$

Сферические функции Ханкеля: h(1) н, ч(2) н

График сферической функции Ганкеля первого рода h⁽¹⁾
_н( x ) с n = -0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i

График сферической функции Ханкеля второго рода h⁽²⁾
_н( x ) с n = −0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i

Существуют также сферические аналоги функций Ганкеля:

$${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned}}}$$

Фактически, существуют простые выражения в замкнутой форме для функций Бесселя полуцелого порядка через стандартные тригонометрические функции и, следовательно, для сферических функций Бесселя. В частности, для неотрицательных целых чисел n :

$${\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!\,(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}},}$$

и ч⁽²⁾
_нявляется комплексно-сопряженным этим (для вещественного x ). Отсюда, например, следует, что j ₀ ( x ) =грех х/Икси y ₀ ( Икс ) знак равно -потому что х/Икс, и так далее.

Сферические функции Ханкеля появляются в задачах, связанных с распространением сферических волн , например, в мультипольном разложении электромагнитного поля .

Функции Риккати–Бесселя: S n , C n , ξ n , ζ n

Функции Риккати – Бесселя лишь незначительно отличаются от сферических функций Бесселя:

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned}}}$$

Комплексный график функций Риккати–Бесселя Sn от −2 − 2 i до 2 + 2 i

Они удовлетворяют дифференциальному уравнению

$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

Например, такого рода дифференциальное уравнение появляется в квантовой механике при решении радиальной составляющей уравнения Шредингера с гипотетическим цилиндрическим бесконечным потенциальным барьером. ^[35] Это дифференциальное уравнение и решения Риккати-Бесселя также возникают в задаче рассеяния электромагнитных волн сферой, известной как рассеяние Ми после первого опубликованного решения Ми (1908). См., например, Du (2004) ^[36] для ознакомления с последними разработками и ссылками.

Следуя Дебаю ( _{1909 ) ,} обозначения ψn _, χn _иногда используются вместо Sn , Cn .

Асимптотические формы

Функции Бесселя имеют следующие асимптотики . Для малых аргументов получается, если не является отрицательным целым числом: ^[4] ${\displaystyle 0<z\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }.}$$

Когда α является отрицательным целым числом, мы имеем

$${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {(-1)^{\alpha }}{(-\alpha )!}}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }.}$$

Для функции Бесселя второго рода имеем три случая:

$${\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is not a non-positive integer (one term dominates unless }}\alpha {\text{ is imaginary)}},\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}}$$

γпостоянная Эйлера–Машерони

Для больших действительных аргументов z ≫ | α ² -1/4| , невозможно написать истинную асимптотическую форму для функций Бесселя первого и второго рода (если только α не является полуцелым ), потому что они имеют нули вплоть до бесконечности, что должно быть точно сопоставлено любым асимптотическим разложением. Однако для заданного значения arg z можно написать уравнение, содержащее член порядка | г | ⁻¹ : ^[37]

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi .\end{aligned}}}$$

(Для α =1/2последние члены в этих формулах полностью выпадают; см. сферические функции Бесселя выше.)

Асимптотики функций Ганкеля:

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<2\pi ,\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-2\pi <\arg z<\pi .\end{aligned}}}$$

Их можно распространить на другие значения arg z, используя уравнения, связывающие H⁽¹⁾
_α( ze ^{im π} ) и H⁽²⁾
_α( ze ^{im π} ) в H⁽¹⁾
_α( z ) и H⁽²⁾
_α( з ) . ^[38]

Интересно, что хотя функция Бесселя первого рода является средним из двух функций Ханкеля, J _α ( z ) не является асимптотической по отношению к среднему из этих двух асимптотических форм, когда z отрицательно (поскольку ни одна, ни другая не будет там правильно, в зависимости от используемого аргумента z ). Но асимптотики функций Ханкеля позволяют записать асимптотики функций Бесселя первого и второго рода для комплексных (невещественных) z при условии, что | г | стремится к бесконечности при постоянном фазовом угле arg z (с использованием квадратного корня, имеющего положительную действительную часть):

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi .\end{aligned}}}$$

Для модифицированных функций Бесселя Ханкель также разработал асимптотические (большие аргументы) разложения : ^{[39] [40]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\K_{\alpha }(z)&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {3\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

Существует также асимптотическая форма (при больших действительных ) ^[41] ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Когда α =1/2, все члены, кроме первого, исчезают, и мы имеем

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned}}}$$

Для небольших аргументов мы имеем ${\displaystyle 0<|z|\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\[1ex]K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Характеристики

Для целочисленного порядка α = n J n _часто определяется через ряд Лорана для производящей функции:

$${\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}}$$

П. А. Хансеномконтурного интегрирования

Бесконечные ряды функций Бесселя в том виде, в каком они возникают во многих физических системах и в замкнутом виде определяются рядом Сунга. ^[42] Например, когда N = 3: . В более общем смысле ряд Сунга и чередующийся ряд Сунга записываются как: ${\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)}$ $\nu ,p,q\in \mathbb {Z} ,\ N\in \mathbb {Z} ^{+}$ ${\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu +p}(x)={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {(x{\sqrt {3}}/2-2\pi p/3)}\right]}$

$${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {2\pi q/N}}e^{-i2\pi pq/N}}$$

$${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }(-1)^{\nu }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {(2q+1)\pi /N}}e^{-i(2q+1)\pi p/N}}$$

Разложение в ряд с помощью функций Бесселя ( ряд Каптейна ) имеет вид

${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(nz).}$

Еще одним важным соотношением для целых порядков является расширение Якоби – Ангера :

$${\displaystyle e^{iz\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi }}$$

$${\displaystyle e^{\pm iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )\pm 2i\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin((2n+1)\phi )}$$

плоской волнысуммы цилиндрических волнряда ФурьеFM-

В общем, сериал

$${\displaystyle f(z)=a_{0}^{\nu }J_{\nu }(z)+2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +k}(z)}$$

fν = 0

$${\displaystyle a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz}$$

O _kполином Неймана^[43]

Отдельные функции допускают специальное представление

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +2k}(z)}$$

$${\displaystyle a_{k}^{\nu }=2(\nu +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{\nu +2k}(z)}{z}}\,dz}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {dz}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}$$

В более общем смысле, если f имеет точку ветвления вблизи начала координат такой природы, что

$${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}(z)}$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}\right\}(s)={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}}\sum _{k=0}{\frac {a_{k}}{\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{\nu +k}}}}$$

$${\displaystyle \sum _{k=0}a_{k}\xi ^{\nu +k}={\frac {1+\xi ^{2}}{2\xi }}{\mathcal {L}}\{f\}\left({\frac {1-\xi ^{2}}{2\xi }}\right)}$$

преобразование_ ^[44] ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$

Другой способ определения функций Бесселя — это формула представления Пуассона и формула Мелера-Сонина:

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}\left(1-s^{2}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds\\[5px]&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin zu}{\left(u^{2}-1\right)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du\end{aligned}}}$$

ν > −1/2z ∈ C.^[45]преобразованиями Фурье

Поскольку уравнение Бесселя становится эрмитовым (самосопряженным), если оно делится на x , решения должны удовлетворять соотношению ортогональности для соответствующих граничных условий. В частности, отсюда следует, что:

$${\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)J_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha }'\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}$$

α > −1δ _{m , n}дельта Кронекераu _{α , m}mнуль J _α ( x )ряд Фурье-БесселяJ _α ( x u _{α , m} )αm

Аналогичное соотношение для сферических функций Бесселя следует сразу:

$${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[j_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}$$

Если определить коробчатую функцию x , которая зависит от малого параметра ε , как:

$${\displaystyle f_{\varepsilon }(x)=\varepsilon \operatorname {rect} \left({\frac {x-1}{\varepsilon }}\right)}$$

rectфункция прямоугольникапреобразование Ханкеляα > −1/2g _ε ( k )J _α ( k )εkg _ε ( k )f _ε ( x )

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)g_{\varepsilon }(k)\,dk=f_{\varepsilon }(x)}$$

εδ ( x − 1)δфункция Диракараспределения

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)J_{\alpha }(k)\,dk=\delta (x-1)}$$

Тогда замена переменных дает уравнение замыкания : ^[46]

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v)}$$

α > −1/2^{[ необходимы пояснения ]}

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {\pi }{2u^{2}}}\delta (u-v)}$$

α > −1

Другое важное свойство уравнений Бесселя, следующее из тождества Абеля , связано с вронскианом решений:

$${\displaystyle A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x}}}$$

A _αB _αC _αx

$${\displaystyle J_{\alpha }(x){\frac {dY_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dJ_{\alpha }}{dx}}Y_{\alpha }(x)={\frac {2}{\pi x}}}$$

$${\displaystyle I_{\alpha }(x){\frac {dK_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dI_{\alpha }}{dx}}K_{\alpha }(x)=-{\frac {1}{x}},}$$

α > −1

При α > −1 четная целая функция рода 1 x ^{− α} J _α ( x ) имеет только вещественные нули. Позволять

$${\displaystyle 0<j_{\alpha ,1}<j_{\alpha ,2}<\cdots <j_{\alpha ,n}<\cdots }$$

$${\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{j_{\alpha ,n}^{2}}}\right)}$$

(Имеется большое количество других известных интегралов и тождеств, которые здесь не воспроизводятся, но которые можно найти в литературе.)

Рекуррентные отношения

Функции J _α , Y _α , H⁽¹⁾
_αи Х⁽²⁾
_αвсе удовлетворяют рекуррентным соотношениям ^[47]

$${\displaystyle {\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)=Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x)}$$

$${\displaystyle 2{\frac {dZ_{\alpha }(x)}{dx}}=Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x),}$$

ZJYH ⁽¹⁾H ^(2)[48]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]&=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),\\\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]&=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.\end{aligned}}}$$

Модифицированные функции Бесселя подчиняются аналогичным соотношениям:

$${\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t+{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(x)t^{n}}$$

$${\displaystyle e^{z\cos \theta }=I_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)\cos n\theta }$$

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{z\cos(m\theta )+y\cos \theta }d\theta =I_{0}(z)I_{0}(y)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)I_{mn}(y).}$$

Рекуррентное соотношение читается

$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x),\\[1ex]C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}C_{\alpha }(x),\end{aligned}}}$$

C _αI _αe ^{αi π} K _α

трансцендентность

В 1929 году Карл Людвиг Зигель доказал, что J _ν ( x ) , J ' _ν ( x ) и логарифмическая производная J' _ν ( x )/Дж _ν ( Икс )являются трансцендентными числами, когда ν рационально, а x алгебраический и ненулевой. ^[49] Из того же доказательства также следует, что K _ν ( x ) трансцендентно при тех же предположениях. ^[50]

Теорема умножения

Функции Бесселя подчиняются теореме умножения

$${\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(1-\lambda ^{2}\right)z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z),}$$

λν^{[51] [52]}| λ ² - 1 | < 1^[51]JY| λ ² - 1 | < 1

$${\displaystyle \lambda ^{-\nu }I_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}I_{\nu +n}(z)}$$

$${\displaystyle \lambda ^{-\nu }K_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}K_{\nu +n}(z).}$$

Нули функции Бесселя

Гипотеза Бурже

Сам Бессель первоначально доказал, что для неотрицательных целых чисел n уравнение J _n ( x ) = 0 имеет бесконечное число решений относительно x . ^[53] Однако, когда функции J _n ( x ) изображены на одном и том же графике, ни один из нулей не совпадает для разных значений n , за исключением нуля при x = 0 . Это явление известно как гипотеза Бурже в честь французского математика XIX века, изучавшего функции Бесселя. В частности, он утверждает, что для любых целых чисел n ≥ 0 и m ≥ 1 функции J _n ( x ) и J _{n + m} ( x ) не имеют общих нулей, кроме одного в точке x = 0 . Гипотезу доказал Карл Людвиг Зигель в 1929 году. ^[54]

трансцендентность

В 1929 году Сигел доказал, что, когда ν рационально , все ненулевые корни J _ν (x) и J ' _ν (x) трансцендентны ^[55] , как и все корни K _ν (x) . ^[50] Также известно, что все корни высших производных при n ≤ 18 трансцендентны, за исключением специальных значений и . ^[55] ${\displaystyle J_{\nu }^{(n)}(x)}$ ${\displaystyle J_{1}^{(3)}(\pm {\sqrt {3}})=0}$ ${\displaystyle J_{0}^{(4)}(\pm {\sqrt {3}})=0}$

Численные подходы

Численные исследования нулей функции Бесселя см. в Gil, Segura & Temme (2007), Kravanja et al. (1998) и Молер (2004).

Числовые значения

Первый ноль в J ₀ (т.е. j _0,1 , j _0,2 и j _0,3 ) встречается при аргументах примерно 2,40483, 5,52008 и 8,65373 соответственно. ^[56]

Смотрите также

• Функция гнева
• Полиномы Бесселя
• Функция Бесселя – Клиффорда
• Функция Бесселя – Мейтленда
• Ряд Фурье – Бесселя
• q - функция Хана – Экстона Бесселя
• Преобразование Ханкеля
• Неполные функции Бесселя
• q -функция Джексона Бесселя
• Функции Кельвина
• Преобразование Конторовича – Лебедева
• Алгоритм Ленца
• Правило сумм Лерша – Ньюбергера
• Функция Ломмеля
• Полином Ломмеля
• Полином Неймана
• Серия Шлёмильха
• Формула Сонина
• Функция Струве
• Колебания круговой мембраны
• Функция Вебера (определенная в функции Гнева )

Примечания

1. Виленский, Майкл; Браун, Джордан; Хейзелтон, Брина (июнь 2023 г.). «Почему и когда ожидать распределения гауссовских ошибок в эпоху реионизации измерений спектра мощности на частоте 21 см». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 521 (4): 5191–5206. arXiv : 2211.13576 . doi : 10.1093/mnras/stad863.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Сферическая функция Бесселя второго рода». Математический мир .
3. Вайсштейн, Эрик В. «Функция Бесселя второго рода». Математический мир .
4. Абрамовиц и Стегун, с. 360, 9.1.10.
5. Абрамовиц и Стегун, с. 358, 9.1.5.
6. Темме, Нико М. (1996). Специальные функции: введение в классические функции математической физики (2-е печатное изд.). Нью-Йорк: Уайли. стр. 228–231. ISBN 0471113131.
7. Вайсштейн, Эрик В. «Формула Хансена-Бесселя». Математический мир .
8. Уотсон, с. 176
9. «Свойства функций Ганкеля и Бесселя». Архивировано из оригинала 23 сентября 2010 г. Проверено 18 октября 2010 г.
10. «Интегральные представления функции Бесселя». www.nbi.dk. _ Архивировано из оригинала 3 октября 2022 года . Проверено 25 марта 2018 г.
11. Арфкен и Вебер, упражнение 11.1.17.
12. Абрамовиц и Стегун, с. 362, 9.1.69.
13. Сегё, Габор (1975). Ортогональные полиномы (4-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: AMS.
14. «Функции Бесселя первого и второго рода» (PDF) . mhtlab.uwaterloo.ca . п. 3. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 24 мая 2022 г.
15. Цифровая библиотека математических функций NIST, (10.8.1). Доступ онлайн: 25 октября 2016 г.
16. Вайсштейн, Эрик В. «Функция Бесселя второго рода». Математический мир .
17. Уотсон, с. 178.
18. Абрамовиц и Стегун, с. 358, 9.1.3, 9.1.4.
19. Абрамовиц и Стегун, с. 358, 9.1.6.
20. Абрамовиц и Стегун, с. 360, 9.1.25.
21. Абрамовиц и Стегун, с. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11.
22. Диксон; Феррар, WL (1930). «Прямое доказательство интеграла Николсона». Ежеквартальный математический журнал . Оксфорд: 236–238. doi : 10.1093/qmath/os-1.1.236.
23. Абрамовиц и Стегун, с. 375, 9.6.3, 9.6.5.
24. Абрамовиц и Стегун, с. 374, 9.6.1.
25. Грейнер, Уолтер; Рейнхардт, Иоахим (2009). Квантовая электродинамика . Спрингер. п. 72. ИСБН 978-3-540-87561-1.
26. Уотсон, с. 181.
27. Хоконов, М.Х. (2004). «Каскадные процессы потери энергии за счет испускания жестких фотонов». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 99 (4): 690–707. Бибкод : 2004JETP...99..690K. дои : 10.1134/1.1826160. S2CID  122599440.. Получено по формулам И. С. Градштейна и И. М. Рыжика , Таблица интегралов, рядов и произведений (Физматгиз, Москва, 1963; Academic Press, Нью-Йорк, 1980).
28. Упоминается как таковой в: Тейхроу, Д. (1957). «Смесь нормальных распределений с различными дисперсиями» (PDF) . Анналы математической статистики . 28 (2): 510–512. дои : 10.1214/aoms/1177706981 .
29. Абрамовиц и Стегун, с. 437, 10.1.1.
30. Абрамовиц и Стегун, с. 439, 10.1.25, 10.1.26.
31. Абрамовиц и Стегун, с. 438, 10.1.11.
32. Абрамовиц и Стегун, с. 438, 10.1.12.
33. Абрамовиц и Стегун, с. 439, 10.1.39.
34. Абрамовиц и Стегун, с. 439, 10.1.23, 10.1.24.
35. Гриффитс. Введение в квантовую механику, 2-е издание, с. 154.
36. Ду, Хонг (2004). «Расчет Ми-рассеяния». Прикладная оптика . 43 (9): 1951–1956. Бибкод : 2004ApOpt..43.1951D. дои : 10.1364/ao.43.001951. ПМИД  15065726.
37. Абрамовиц и Стегун, с. 364, 9.2.1.
38. Цифровая библиотека математических функций NIST , раздел 10.11.
39. Абрамовиц и Стегун, с. 377, 9.7.1.
40. Абрамовиц и Стегун, с. 378, 9.7.2.
41. Фрелих и Спенсер, 1981, Приложение B.
42. Сунг, С.; Ховден, Р. (2022). «О бесконечных рядах функций Бесселя первого рода». arXiv : 2211.01148 [math-ph].
43. Абрамовиц и Стегун, с. 363, 9.1.82 и далее.
44. Уотсон, Дж.Н. (25 августа 1995 г.). Трактат по теории функций Бесселя. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521483919. Проверено 25 марта 2018 г. - через Google Книги.
45. Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. «8.411.10.». В Цвиллингере, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). ISBN Academic Press, Inc.  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
46. Арфкен и Вебер, раздел 11.2.
47. Абрамовиц и Стегун, с. 361, 9.1.27.
48. Абрамовиц и Стегун, с. 361, 9.1.30.
49. Сигел, Карл Л. (2014). «Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen». О некоторых применениях диофантовых приближений: перевод Клеменса Фукса « Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen» Карла Людвига Зигеля с комментариями и статьей «Целочисленные точки на кривых: теорема Зигеля после доказательства Зигеля Клеменса Фукса и Умберто Заньера» (на немецком языке) . Высшая нормальная школа. стр. 81–138. дои : 10.1007/978-88-7642-520-2_2. ISBN 978-88-7642-520-2.
50. Джеймс, РД (ноябрь 1950 г.). «Обзор: Карл Людвиг Зигель, Трансцендентные числа». Бюллетень Американского математического общества . 56 (6): 523–526. дои : 10.1090/S0002-9904-1950-09435-X .
51. Абрамовиц и Стегун, с. 363, 9.1.74.
52. Трусделл, К. (1950). «О теоремах сложения и умножения для специальных функций». Труды Национальной академии наук . 1950 (12): 752–757. Бибкод : 1950PNAS...36..752T. дои : 10.1073/pnas.36.12.752 . ПМЦ 1063284 . ПМИД  16578355. 
53. Бессель, Ф. (1824) «Untersuruchung des Theils der Planetarischen Störungen», Berlin Abhandlungen , статья 14.
54. Уотсон, стр. 484–485.
55. Лорх, Ли; Малдун, Мартин Э. (1995). «Трансцендентность нулей высших производных функций, включающих функции Бесселя». Международный журнал математики и математических наук . 18 (3): 551–560. дои : 10.1155/S0161171295000706 .
56. Абрамовиц и Стегун, стр. 409.

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 9». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. стр. 355, 435. ISBN. 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253. См. также главу 10.
• Арфкен, Джордж Б. и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков , 6-е издание (Harcourt: Сан-Диего, 2005). ISBN 0-12-059876-0 . 
• Боуман, Франк «Введение в функции Бесселя» (Дувр: Нью-Йорк, 1958). ISBN 0-486-60462-4 . 
• Ми, Г. (1908). «Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen». Аннален дер Физик . 25 (3): 377. Бибкод : 1908АнП...330..377М. дои : 10.1002/andp.19083300302 .
• Олвер, ФВДж ; Максимон, LC (2010), «Функция Бесселя», Олвер , Фрэнк WJ ; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248..
• Пресс, WH ; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007), «Раздел 6.5. Функции Бесселя целого порядка», Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, заархивировано из оригинала 03 февраля 2021 г. , получено 28 сентября 2022 г..
• B Испания, М.Г. Смит, Функции математической физики , Van Nostand Reinhold Company, Лондон, 1970. Глава 9 посвящена функциям Бесселя.
• Н. М. Темме, Специальные функции. Введение в классические функции математической физики , John Wiley and Sons, Inc., Нью-Йорк, 1996. ISBN 0-471-11313-1 . Глава 9 посвящена функциям Бесселя. 
• Уотсон, Дж. Н. , Трактат по теории функций Бесселя, второе издание , (1995) Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-48391-3 . 
• Вебер, Генрих (1873), «Ueber eine Darstellung willkürlicher Functionen durch Bessel'sche Functionen», Mathematische Annalen , 6 (2): 146–161, doi : 10.1007/BF01443190, S2CID  122409461.
• Гил, А.; Сегура, Дж.; Темме, Нью-Мексико (2007). Численные методы для специальных функций . Общество промышленной и прикладной математики.
• Краванья, П.; Рагос, О.; Врахатис, Миннесота; Зафиропулос, Ф.А. (1998), «ZEBEC: Пакет математического программного обеспечения для вычисления простых нулей функций Бесселя вещественного порядка и комплексного аргумента», Computer Physics Communications , 113 (2–3): 220–238, Бибкод : 1998CoPhC.113. .220K, doi :10.1016/S0010-4655(98)00064-2

Внешние ссылки

• Лизоркин, П.И. (2001) [1994], «Функции Бесселя», Математическая энциклопедия , EMS Press.
• Кармазина Л.Н.; Прудников, А.П. (2001) [1994], «Цилиндровая функция», Математическая энциклопедия , EMS Press.
• Розов, Н.Х. (2001) [1994], «Уравнение Бесселя», Математическая энциклопедия , EMS Press.
• Страницы функций Wolfram с функциями Бесселя J и Y, а также модифицированными функциями Бесселя I и K. Страницы содержат формулы, средства оценки функций и калькуляторы для построения графиков.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функции Бесселя первого рода». Математический мир .
• Функции Бесселя Jν, Yν, Iν и Kν в справочнике Librow Function.
• Ф.В.Дж. Олвер, Л.К. Максимон, Функции Бесселя (глава 10 Цифровой библиотеки математических функций).
• Молер, CB (2004). Численные вычисления с MATLAB (PDF) . Общество промышленной и прикладной математики. Архивировано из оригинала (PDF) 8 августа 2017 г.