Вертикальные и горизонтальные пучки

Математическая концепция

Здесь у нас есть расслоение волокон над базовым пространством . Каждая базовая точка соответствует волокну точек. В каждой точке волокна вертикальное волокно уникально. Это касательное пространство к волокну. Горизонтальное волокно не уникально. Оно просто должно быть поперечным вертикальному волокну. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p_{x}}$ ${\displaystyle p\in p_{x}}$

В математике вертикальное расслоение и горизонтальное расслоение являются векторными расслоениями , связанными с гладким расслоением волокон . Точнее, если задано гладкое расслоение волокон , вертикальное расслоение и горизонтальное расслоение являются подрасслоениями касательного расслоения , сумма Уитни которого удовлетворяет . Это означает, что над каждой точкой волокна и образуют дополнительные подпространства касательного пространства . Вертикальное расслоение состоит из всех векторов, которые касательны к волокнам, в то время как горизонтальное расслоение требует некоторого выбора дополнительного подрасслоения. ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle VE}$ ${\displaystyle HE}$ ${\displaystyle TE}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle VE\oplus HE\cong TE}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle V_{e}E}$ ${\displaystyle H_{e}E}$ ${\displaystyle T_{e}E}$

Чтобы сделать это точным, определим вертикальное пространство в как . То есть, дифференциал (где ) является линейной сюръекцией, ядро ​​которой имеет ту же размерность, что и волокна . Если мы запишем , то состоит из точно векторов в , которые также касаются . Название мотивировано примерами с низкой размерностью, такими как тривиальное линейное расслоение над окружностью, которое иногда изображается как вертикальный цилиндр, проецирующийся на горизонтальную окружность. Подпространство в называется горизонтальным пространством, если является прямой суммой и . ${\displaystyle V_{e}E}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle \ker(d\pi _{e})}$ ${\displaystyle d\pi _{e}\colon T_{e}E\to T_{b}B}$ ${\displaystyle b=\pi (e)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F=\pi ^{-1}(b)}$ ${\displaystyle V_{e}E}$ ${\displaystyle T_{e}E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H_{e}E}$ ${\displaystyle T_{e}E}$ ${\displaystyle T_{e}E}$ ${\displaystyle V_{e}E}$ ${\displaystyle H_{e}E}$

Непересекающееся объединение вертикальных пространств V _e E для каждого e в E является подрасслоением V E расслоения T E; это вертикальное расслоение E . Аналогично, при условии, что горизонтальные пространства плавно изменяются с e , их непересекающееся объединение является горизонтальным расслоением. Использование слов «the» и «a» здесь намеренно: каждое вертикальное подпространство уникально, явно определяется как . За исключением тривиальных случаев, в каждой точке существует бесконечное число горизонтальных подпространств. Также обратите внимание, что произвольный выбор горизонтального пространства в каждой точке не будет, в общем случае, образовывать гладкое векторное расслоение; они также должны изменяться соответствующим образом гладко. ${\displaystyle H_{e}E}$ ${\displaystyle \ker(d\pi _{e})}$

Горизонтальное расслоение — один из способов сформулировать понятие связности Эресмана на расслоении волокон . Таким образом, например, если E — главное G -расслоение , то горизонтальное расслоение обычно должно быть G -инвариантным: такой выбор эквивалентен связности на главном расслоении . ^[1] Это, в частности, происходит, когда E — расслоение фрейма, связанное с некоторым векторным расслоением, которое является главным расслоением. ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$

Формальное определение

Пусть π : E → B — гладкое расслоение над гладким многообразием B. Вертикальное расслоение — это ядро ​​V E  := ker(d π ) касательного отображения d π  : T E  → T B . ^[2]

Поскольку dπ _e сюръективно в каждой точке e , оно дает регулярное подрасслоение T E. Более того, вертикальное расслоение V E также интегрируемо .

Связность Эресмана на E — это выбор дополнительного подрасслоения H E к V E в T E , называемого горизонтальным расслоением связности. В каждой точке e в E два подпространства образуют прямую сумму , такую ​​что T _e E = V _e E ⊕ H _e E .

Пример

Вертикальные и горизонтальные подпространства ленты Мёбиуса.

Лента Мёбиуса — это линейное расслоение над окружностью, а окружность можно изобразить как среднее кольцо ленты. В каждой точке ленты проекционная карта проецирует ее в сторону среднего кольца, а волокно перпендикулярно среднему кольцу. Вертикальное расслоение в этой точке — это касательное пространство к волокну. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle V_{e}E}$

Простым примером гладкого расслоения является декартово произведение двух многообразий . Рассмотрим расслоение B ₁  := ( M  ×  N , pr ₁ ) с проекцией расслоения pr ₁  : M × N → M  : ( x ,  y ) →  x . Применяя определение в параграфе выше, чтобы найти вертикальное расслоение, сначала рассмотрим точку (m,n) в M × N . Тогда образом этой точки при pr ₁ будет m. Прообразом m при этом же pr ₁ будет {m} × N , так что T _(m,n) ({m} × N ) = {m} × T N . Тогда вертикальное расслоение будет V B ₁ = M × T N , что является подрасслоением T( M × N ). Если мы возьмем другую проекцию pr ₂  : M  ×  N  →  N  : ( x ,  y ) →  y , чтобы определить расслоение волокон B ₂  := ( M × N , pr ₂ ), то вертикальное расслоение будет иметь вид V B ₂ = T M  ×  N .

В обоих случаях структура произведения дает естественный выбор горизонтального расслоения и, следовательно, связь Эресмана: горизонтальное расслоение B ₁ является вертикальным расслоением B ₂ и наоборот.

Характеристики

Различные важные тензоры и дифференциальные формы из дифференциальной геометрии принимают особые свойства на вертикальных и горизонтальных расслоениях или даже могут быть определены в их терминах. Вот некоторые из них:

• Вертикальное векторное поле — это векторное поле , которое находится в вертикальном расслоении. То есть, для каждой точки e из E выбирается вектор, где — вертикальное векторное пространство в e . ^[2] ${\displaystyle v_{e}\in V_{e}E}$ ${\displaystyle V_{e}E\subset T_{e}E=T_{e}(E_{\pi (e)})}$
• Дифференцируемая r-форма на E называется горизонтальной формой , если хотя бы один из векторов является вертикальным. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha (v_{1},...,v_{r})=0}$ ${\displaystyle v_{1},...,v_{r}}$
• Форма связи исчезает на горизонтальном расслоении и не равна нулю только на вертикальном расслоении. Таким образом, форма связи может быть использована для определения горизонтального расслоения: Горизонтальное расслоение является ядром формы связи.
• Форма припоя или тавтологическая одна-форма исчезает на вертикальном пучке и не равна нулю только на горизонтальном пучке. По определению форма припоя принимает свои значения полностью в горизонтальном пучке.
• Для случая расслоения рамок форма кручения исчезает на вертикальном расслоении и может быть использована для определения именно той части, которую необходимо добавить к произвольному соединению, чтобы превратить его в связность Леви-Чивиты , т. е. сделать соединение без кручения. Действительно, если записать θ для формы пайки, то тензор кручения Θ задается как Θ = D θ (где D — внешняя ковариантная производная ). Для любого заданного соединения ω существует уникальная одноформа σ на T E , называемая тензором конторсии , которая исчезает в вертикальном расслоении и такова, что ω+σ является другой 1-формой соединения, которая не имеет кручения. Результирующая одноформа ω+σ есть не что иное, как связность Леви-Чивиты. Можно принять это как определение: поскольку кручение задается как , исчезновение кручения эквивалентно наличию , и нетрудно показать, что σ должно исчезать на вертикальном расслоении, и что σ должно быть G -инвариантным на каждом волокне (точнее, что σ преобразуется в присоединенном представлении G ) . Обратите внимание, что это определяет связность Леви-Чивиты без какой-либо явной ссылки на какой-либо метрический тензор (хотя метрический тензор можно понимать как частный случай формы припоя, поскольку он устанавливает отображение между касательными и кокасательными расслоениями базового пространства, т. е. между горизонтальными и вертикальными подпространствами расслоения фрейма). ${\displaystyle \Theta =D\theta =d\theta +\omega \wedge \theta }$ ${\displaystyle d\theta =-(\omega +\sigma )\wedge \theta }$
• В случае, когда E является главным расслоением, фундаментальное векторное поле обязательно должно находиться в вертикальном расслоении и исчезать в любом горизонтальном расслоении.

Примечания

1. Дэвид Бликер, Калибровочная теория и вариационные принципы (1981) Addison-Wesely Publishing Company ISBN  0-201-10096-7 (см. теорему 1.2.4)
2. Коларж, Иван; Михор, Петер; Словак, Ян (1993), Естественные операции в дифференциальной геометрии (PDF) , Springer-Verlag(страница 77)

Ссылки

• Шоке-Брюа, Ивонн ; ДеВитт-Моретт, Сесиль (1977), Анализ, многообразия и физика , Амстердам: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
• Кобаяси, Сёсичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, т. 1 (новое издание). Wiley Interscience . ISBN 0-471-15733-3.
• Коларж, Иван; Михор, Питер; Словак, Ян (1993), Естественные операции в дифференциальной геометрии (PDF) , Springer-Verlag
• Крупка, Деметра; Янушка, Йозеф (1990), Лекции по дифференциальным инвариантам , Univerzita JE Purkyně V Brně, ISBN 80-210-0165-8
• Сондерс, DJ (1989), Геометрия струйных пучков , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7