В геометрии полупространство — это одна из двух частей, на которые плоскость делит трехмерное евклидово пространство . Если пространство двумерное , то полупространство называется полуплоскостью ( открытой или замкнутой). Полупространство в одномерном пространстве называется полупрямой или лучом .
В более общем смысле полупространство — это одна из двух частей, на которые гиперплоскость делит аффинное пространство . То есть точки, не инцидентные гиперплоскости, разбиваются на два выпуклых множества (т. е. полупространства), так что любое подпространство, соединяющее точку в одном множестве с точкой в другом, должно пересекать гиперплоскость.
Полупространство может быть как открытым, так и закрытым . Открытое полупространство — это одно из двух открытых множеств, полученных вычитанием гиперплоскости из аффинного пространства. Закрытое полупространство — это объединение открытого полупространства и гиперплоскости, которая его определяет.
Открытое (закрытое) верхнее полупространство — это полупространство всех ( x 1 , x 2 , ..., x n ) таких, что x n > 0 (≥ 0). Открытое (закрытое) нижнее полупространство определяется аналогично, требуя, чтобы x n было отрицательным (неположительным).
Полупространство может быть задано линейным неравенством, полученным из линейного уравнения , которое задает определяющую гиперплоскость. Строгое линейное неравенство задает открытое полупространство:
Нестрогий вариант определяет замкнутое полупространство:
Здесь предполагается, что не все действительные числа a 1 , a 2 , ..., a n равны нулю.
Полупространство — это выпуклое множество .
