В геометрии плоских кривых вершина — это точка, в которой первая производная кривизны равна нулю. [1] Обычно это локальный максимум или минимум кривизны, [2] и некоторые авторы определяют вершину как более конкретный локальный экстремум кривизны. [3] Однако могут возникнуть и другие особые случаи, например, когда вторая производная также равна нулю или когда кривизна постоянна. С другой стороны, для пространственных кривых вершина — это точка, в которой кручение исчезает.
Гипербола имеет две вершины, по одной на каждой ветви; они являются ближайшими из любых двух точек, лежащих на противоположных ветвях гиперболы, и лежат на главной оси. На параболе единственная вершина лежит на оси симметрии и имеет квадратичный вид:
его можно найти, заполнив квадрат или дифференцировав . [2] На эллипсе две из четырех вершин лежат на большой оси, а две — на малой оси. [4]
Для круга постоянной кривизны каждая точка является вершиной.
Вершины — это точки, в которых кривая имеет четырехточечный контакт с соприкасающейся окружностью в этой точке. [5] [6] Напротив, общие точки на кривой обычно имеют только трехточечный контакт с соприкасающейся окружностью. Эволюта кривой обычно имеет точку возврата , если у кривой есть вершина; [6] другие, более вырожденные и неустойчивые особенности могут возникать в вершинах более высокого порядка, в которых соприкасающаяся окружность имеет контакт более высокого порядка, чем четыре. [5] Хотя одна общая кривая не будет иметь вершин более высокого порядка, они обычно встречаются в однопараметрическом семействе кривых, на кривой в семействе, для которой две обычные вершины сливаются, образуя вершину более высокого порядка, а затем аннигилируют. .
Набор симметрии кривой имеет конечные точки в точках возврата, соответствующих вершинам, а срединная ось , подмножество набора симметрии , также имеет конечные точки в точках возврата.
Согласно классической теореме о четырех вершинах , каждая простая замкнутая плоская гладкая кривая должна иметь не менее четырех вершин. [7] Более общий факт состоит в том, что каждая простая кривая в замкнутом пространстве, лежащая на границе выпуклого тела или даже ограничивающая локально выпуклый диск, должна иметь четыре вершины. [8] Каждая кривая постоянной ширины должна иметь не менее шести вершин. [9]
Если плоская кривая двусторонне симметрична , она будет иметь вершину в точке или точках, где ось симметрии пересекает кривую. Таким образом, понятие вершины кривой тесно связано с понятием оптической вершины — точки, где оптическая ось пересекает поверхность линзы .
