Принцип взрыва

Теорема формальной логики

В классической логике , интуиционистской логике и подобных логических системах принцип взрыва ^{[a] [b]} — это закон , согласно которому любое утверждение может быть доказано из противоречия . ^{[1] [2] [3]} То есть из противоречия может быть выведено любое предложение (включая его отрицание ); это известно как дедуктивный взрыв . ^{[4] [5]}

Доказательство этого принципа впервые дал французский философ XII века Вильгельм Суассонский . ^[6] Из-за принципа взрыва существование противоречия ( несогласованности ) в формальной аксиоматической системе является катастрофическим; поскольку любое утверждение может быть доказано, это тривиализирует понятия истинности и ложности. ^[7] На рубеже XX века открытие противоречий, таких как парадокс Рассела, в основаниях математики, таким образом, поставило под угрозу всю структуру математики. Такие математики, как Готтлоб Фреге , Эрнст Цермело , Авраам Френкель и Торальф Скулем приложили много усилий для пересмотра теории множеств , чтобы устранить эти противоречия, что привело к появлению современной теории множеств Цермело–Френкеля .

В качестве демонстрации принципа рассмотрим два противоречивых утверждения — «Все лимоны желтые» и «Не все лимоны желтые» — и предположим, что оба верны. Если это так, то можно доказать что угодно, например, утверждение, что « единороги существуют», используя следующий аргумент:

1. Мы знаем, что «не все лимоны желтые», как это принято считать.
2. Мы знаем, что «Все лимоны желтые», поскольку это считается правдой.
3. Следовательно, состоящее из двух частей утверждение «Все лимоны желтые или единороги существуют» также должно быть истинным, поскольку первая часть утверждения («Все лимоны желтые») уже была принята во внимание, а использование « или » означает, что если хотя бы одна часть утверждения истинна, то и все утверждение в целом также должно быть истинным.
4. Однако, поскольку мы также знаем, что «Не все лимоны желтые» (как это предполагалось), первая часть ложна, и, следовательно, вторая часть должна быть истинной, чтобы гарантировать истинность двухчастного утверждения, т. е. единороги существуют (этот вывод известен как дизъюнктивный силлогизм ).
5. Процедуру можно повторить, чтобы доказать, что единороги не существуют (и, следовательно, доказать дополнительное противоречие, где единороги существуют и не существуют), а также любую другую правильно построенную формулу . Таким образом, происходит взрыв истинных утверждений.

В качестве другого решения проблем, поставленных принципом взрыва, некоторые математики разработали альтернативные теории логики, называемые паранепротиворечивыми логиками , которые позволяют доказывать некоторые противоречивые утверждения, не влияя на истинностное значение (всех) других утверждений. ^[7]

Символическое представление

В символической логике принцип взрыва можно схематически выразить следующим образом: ^{[8] [9]}

${\displaystyle P,\lnot P\vdash Q}$ Для любых утверждений P и Q , если P и не- P оба истинны, то логически следует, что Q истинно.

Доказательство

Ниже приведен аргумент Льюиса ^{[10] —} формальное доказательство принципа взрыва с использованием символической логики .

Это доказательство было опубликовано К. И. Льюисом и названо в его честь, хотя его версии были известны средневековым логикам. ^{[11] [12] [10]}

Это всего лишь символическая версия неформального аргумента, приведенного во введении, с обозначением «все лимоны желтые» и обозначением «единороги существуют». Мы начинаем с предположения, что (1) все лимоны желтые и что (2) не все лимоны желтые. Из предложения, что все лимоны желтые, мы заключаем, что (3) либо все лимоны желтые, либо единороги существуют. Но затем из этого и того факта, что не все лимоны желтые, мы заключаем, что (4) единороги существуют посредством дизъюнктивного силлогизма. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Семантический аргумент

Альтернативный аргумент в пользу принципа вытекает из теории моделей . Предложение является семантическим следствием набора предложений только в том случае, если каждая модель является моделью . Однако не существует модели противоречивого набора . Тем более не существует модели , которая не является моделью . Таким образом, бессмысленно, каждая модель является моделью . Таким образом, является семантическим следствием . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$ ${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (P\wedge \lnot P)}$

Паранепротиворечивая логика

Были разработаны паранепротиворечивые логики , которые допускают субконтративные -образующие операторы. Модельно-теоретические паранепротиворечивые логики часто отрицают предположение, что не может быть модели и разрабатывают семантические системы, в которых такие модели есть. В качестве альтернативы они отвергают идею о том, что предложения могут быть классифицированы как истинные или ложные. Доказательно-теоретические паранепротиворечивые логики обычно отрицают обоснованность одного из шагов, необходимых для вывода взрыва, как правило, включая дизъюнктивный силлогизм , дизъюнктивное введение и сведение к абсурду . ${\displaystyle \{\phi ,\lnot \phi \}}$

Использование

Метаматематическая ценность принципа взрыва заключается в том, что для любой логической системы, где этот принцип выполняется, любая производная теория , которая доказывает ⊥ (или эквивалентную форму, ), бесполезна, потому что все ее утверждения станут теоремами , делая невозможным различение истины от лжи. То есть, принцип взрыва является аргументом в пользу закона непротиворечия в классической логике, потому что без него все утверждения истины становятся бессмысленными. ${\displaystyle \phi \land \lnot \phi }$

Снижение доказательной силы логики без ex falso обсуждается в минимальной логике .

Смотрите также

• Consequentia mirabilis - Закон Клавиуса
• Диалетеизм – вера в существование истинных противоречий
• Закон исключенного третьего – каждое утверждение истинно или ложно.
• Закон непротиворечия – ни одно утверждение не может быть одновременно истинным и не истинным.
• Паранепротиворечивая логика – семейство логик, используемых для разрешения противоречий.
• Парадокс вывода – кажущийся парадокс, вытекающий из принципа взрыва.
• Reductio ad absurdum – вывод о том, что предложение ложно, поскольку оно порождает противоречие
• Тривиализм – убеждение, что все утверждения формы «P и не-P» истинны.

Примечания

1. Латынь : ex falso [sequitur] quodlibet , «из лжи все [следует]»; или ex противоречие [sequitur] quodlibet , «из противоречия [следует] что угодно».
2. Также известен как принцип Псевдо-Скота (ошибочно приписываемый Дунсу Скоту ).
3. Burgess2005 использует 2 и 3 в качестве предпосылок вместо этой.

Ссылки

1. Карниелли, Уолтер ; Маркос, Жуан (2001). «Ex противоречие, но не sequitur quodlibet» (PDF) . Бюллетень продвинутого мышления и знаний . 1 : 89–109.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
2. Смит, Питер (2020). Введение в формальную логику (2-е изд.). Cambridge University Press.Глава 17.
3. Макфарлейн, Джон (2021). Философская логика: Современное введение . Routledge.Глава 7.
4. Башкент, Кан (2013). «Некоторые топологические свойства параконсистентных моделей». Synthese . 190 (18): 4023. doi :10.1007/s11229-013-0246-8. S2CID  9276566.
5. Карниелли, Вальтер; Конильо, Марсело Эстебан (2016). Параконсистентная логика: последовательность, противоречие и отрицание . Логика, эпистемология и единство науки. Том 40. Springer. ix. doi :10.1007/978-3-319-33205-5. ISBN 978-3-319-33203-1.
6. Прист, Грэм . 2011. «Что плохого в противоречиях?» В «Законе непротиворечивости » под редакцией Приста, Била и Армор-Гарба. Оксфорд: Clarendon Press. стр. 25.
7. McKubre-Jordens, Maarten (август 2011 г.). «Это не морковка: параконсистентная математика». Plus Magazine . Millennium Mathematics Project . Получено 14 января 2017 г. .
8. де Сварт, Харри (2018). Философская и математическая логика . Springer.стр. 47.
9. Гамут, ЛТФ (1991). Логика, язык и значение, том 1. Введение в логику . Издательство Чикагского университета.стр. 139.
10. MacFarlane, John (2021). Философская логика: Современное введение . Routledge. стр. 171. ISBN 978-1-315-18524-8.
11. Льюис, CI; Лэнгфорд, CH (1959). Символическая логика (2-е изд.). Довер. стр. 250. ISBN 9780486601700.
12. Берджесс, Джон П. (2005). Оксфордский справочник по философии математики и логики (ред. Стюарт Шапиро) . Oxford University Press. стр. 732. ISBN 9780195325928.