Векторы-строки и столбцы

В линейной алгебре вектор -столбец с элементами — это матрица ^[1] , состоящая из одного столбца записей, например, $m$ $m\times 1$ $m$

{\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}.

Аналогично, вектор-строка представляет собой матрицу для некоторого , состоящую из одной строки записей, $1\times n$ $n$ $n$

{\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.

Транспонирование (обозначенное $T$ ) любого вектора-строки является вектором-столбцом, а транспонирование любого вектора-столбца является вектором-строкой :

{\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}.

Набор всех векторов-строок с $n$ элементами в данном поле (например, действительные числа ) образует $n$ -мерное векторное пространство ; аналогично набор всех векторов-столбцов с $m$ элементами образует $m$ -мерное векторное пространство.

Пространство векторов-строк с $n$ элементами можно рассматривать как двойственное пространство к пространству векторов-столбцов с $n$ элементами, поскольку любой линейный функционал в пространстве векторов-столбцов может быть представлен как левое умножение уникального вектора-строки.

Обозначения

Чтобы упростить запись векторов-столбцов в строке с другим текстом, иногда они записываются как векторы-строки с примененной к ним операцией транспонирования.

{\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}

или

{\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}

Некоторые авторы также используют соглашение о записи векторов-столбцов и векторов-строок в виде строк, но разделяя элементы вектор-строки запятыми, а элементы вектор-столбца точками с запятой (см. альтернативное обозначение 2 в таблице ниже). ^{[ нужна цитата ]}

Операции

Умножение матриц включает в себя умножение каждого вектора-строки одной матрицы на каждый вектор-столбец другой матрицы.

Скалярное произведение двух векторов-столбцов $a, b$ , рассматриваемых как элементы координатного пространства, равно матричному произведению транспонирования $a$ с $b$ ,

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\intercal }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,,

В силу симметрии скалярного произведения скалярное произведение двух векторов-столбцов $a, b$ также равно матричному произведению транспонирования $b$ с $a$ ,

\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\intercal }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,.

Матричное произведение столбца и вектора-строки дает внешнее произведение двух векторов $a, b$ , пример более общего тензорного произведения . Матричный продукт представления вектора-столбца $a$ и представления вектора-строки $b$ дает компоненты их двоичного произведения:

\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,

которое является транспонированием матричного произведения представления вектора-столбца $b$ и представления вектора-строки $a$ ,

\mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.

Матричные преобразования

Матрица $M$ размера $n \times n$ может представлять линейную карту и действовать на векторы-строки и столбцы в качестве матрицы преобразования линейной карты . Для вектора-строки $v$ произведение $v$ $M$ является другим вектором-строкой $p$ :

\mathbf {v} M=\mathbf {p} \,.

Другая матрица $Q$ $размера n \times n$ может действовать на $p$ ,

\mathbf {p} Q=\mathbf {t} \,.

Тогда можно написать $t = p Q = v MQ$ , так что преобразование матричного произведения $MQ$ отображает $v$ непосредственно в $t$ . Продолжая работать с векторами-строками, справа от предыдущих выходных данных можно применить матричные преобразования, дополнительно реконфигурирующие $n -пространство.$

Когда вектор-столбец преобразуется в другой вектор-столбец под действием матрицы размера $n \times n$ , операция происходит слева:

\mathbf {p} ^{\mathrm {T} }=M\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\,,\quad \mathbf {t} ^{\mathrm {T} }=Q\mathbf {p} ^{\mathrm {T} },

что приводит к алгебраическому выражению $QM v T$ для составного вывода из входа $v T.$ Матричные преобразования монтируются вверх слева при использовании вектора-столбца для ввода в матричное преобразование.

Смотрите также

Примечания