Ось винта

Геометрическая ось вращения и перемещения

Спираль на оси винта

Винтовая ось ( ось спирали или ось кручения ) — это линия, которая одновременно является осью вращения и линией, вдоль которой происходит перемещение тела. Теорема Шаля показывает, что каждое евклидово перемещение в трехмерном пространстве имеет винтовую ось, и перемещение можно разложить на вращение вокруг и скольжение вдоль этой винтовой оси. ^{[1] [2]}

Координаты Плюккера используются для определения положения оси винта в пространстве и состоят из пары трехмерных векторов. Первый вектор определяет направление оси, а второй определяет ее положение. Особый случай, когда первый вектор равен нулю, интерпретируется как чистый перенос в направлении второго вектора. Ось винта связана с каждой парой векторов в алгебре винтов, также известной как теория винтов . ^[3]

Пространственное движение тела можно представить непрерывным набором перемещений. Поскольку каждое из этих перемещений имеет винтовую ось, движение имеет связанную линейчатую поверхность, известную как винтовая поверхность . Эта поверхность не то же самое, что аксо́д , который прослеживается мгновенными винтовыми осями движения тела. Мгновенная винтовая ось, или «мгновенная винтовая ось» (IHA), является осью геликоидального поля, создаваемого скоростями каждой точки движущегося тела.

Когда пространственное смещение специализируется на плоском смещении, винтовая ось становится полюсом смещения , а мгновенная винтовая ось становится полюсом скорости или мгновенным центром вращения , также называемым мгновенным центром . Термин centro также используется для полюса скорости, а геометрическое место этих точек для плоского движения называется центродом . [ ^4]

История

Доказательство того, что пространственное смещение можно разложить на вращение вокруг и перемещение вдоль линии в пространстве, приписывается Мишелю Шалю в 1830 году. ^[5] Недавно было установлено, что работа Джулио Моцци, представленная в 1763 году, представляет аналогичный результат. ^{[6] [7]}

Симметрия оси винта

Спираль Бурдейка –Коксетера является примером симметрии винтовой оси, которая является непериодической.

Винтовое смещение (также винтовая операция или вращательное перемещение ) представляет собой композицию вращения на угол φ вокруг оси (называемой винтовой осью ) с перемещением на расстояние d вдоль этой оси. Положительное направление вращения обычно означает направление, которое соответствует направлению перемещения по правилу правой руки . Это означает, что если вращение происходит по часовой стрелке, смещение происходит от наблюдателя. За исключением φ = 180°, мы должны отличать винтовое смещение от его зеркального отображения . В отличие от вращений, правая и левая винтовые операции генерируют разные группы.

Комбинация вращения вокруг оси и переноса в направлении, перпендикулярном этой оси, является вращением вокруг параллельной оси. Однако винтовая операция с ненулевым вектором переноса вдоль оси не может быть сведена таким образом. Таким образом, эффект вращения, объединенного с любым переносом, является винтовой операцией в общем смысле, с частными случаями чистого переноса, чистого поворота и тождества. Вместе они являются всеми прямыми изометриями в 3D .

3 ₁ винтовая ось в кристаллической структуре теллура

В кристаллографии симметрия винтовой оси представляет собой комбинацию вращения вокруг оси и перемещения, параллельного этой оси, которая оставляет кристалл неизменным. Если φ = ⁠360°/н⁠ для некоторого положительного целого числа n симметрия оси винта подразумевает трансляционную симметрию с вектором трансляции, который в n раз больше смещения винта.

Для пространственных групп применимо вращение на ⁠360°/н⁠ вокруг оси, в сочетании с переносом вдоль оси на кратное расстояние трансляционной симметрии, деленное на n . Это кратное указывается нижним индексом. Таким образом, 6 ₃ представляет собой поворот на 60° в сочетании с переносом половины вектора решетки, что подразумевает, что также существует 3-кратная вращательная симметрия вокруг этой оси. Возможными являются 2 ₁ , 3 ₁ , 4 ₁ , 4 ₂ , 6 ₁ , 6 ₂ и 6 ₃ , а также энантиоморфные 3 ₂ , 4 ₃ , 6 ₄ и 6 ₅ . ^[8]

Рассматривая винтовую ось n _m , если g является наибольшим общим делителем n и m , то также существует ось вращения g -кратности. Когда ⁠н/г⁠ винтовые операции были выполнены, смещение будет ⁠м/г⁠ , что, поскольку является целым числом, означает, что мы переместились в эквивалентную точку решетки, выполнив при этом поворот на ⁠360°/г⁠ . Таким образом, 4 ₂ , 6 ₂ и 6 ₄ создают оси вращения двойного порядка, а 6 ₃ создает ось тройного порядка.

Группа недискретных винтовых осевых изометрий содержит все комбинации вращения вокруг некоторой оси и пропорционального переноса вдоль оси (в нарезке константа пропорциональности называется скоростью закручивания ); в общем случае это сочетается с k -кратными вращательными изометриями вокруг той же оси ( k ≥ 1); множество образов точки под изометриями представляет собой k -кратную спираль ; кроме того, может быть 2-кратное вращение вокруг перпендикулярно пересекающейся оси и, следовательно, k -кратная спираль таких осей.

Винтовая ось пространственного смещения

Геометрический аргумент

Пусть D  : R ³ → R ³ — сохраняющее ориентацию жёсткое движение R ³ . Множество этих преобразований — подгруппа евклидовых движений, известная как специальная евклидова группа SE(3). Эти жёсткие движения определяются преобразованиями x в R ^{3 ,} заданными формулой

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=A(\mathbf {x} )+\mathbf {d} }$

состоящий из трехмерного вращения A, за которым следует перенос на вектор d .

Трехмерное вращение A имеет единственную ось, которая определяет линию L. Пусть единичный вектор вдоль этой линии будет S , так что вектор переноса d можно разложить на сумму двух векторов, один из которых параллелен, а другой перпендикулярен оси L , то есть,

${\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {d} _{L}+\mathbf {d} _{\perp },\quad \mathbf {d} _{L}=(\mathbf {d} \cdot \mathbf {S} )\mathbf {S} ,\quad \mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {d} -\mathbf {d} _{L}.}$

В этом случае жесткое движение принимает вид

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=(A(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{\perp })+\mathbf {d} _{L}.}$

Теперь сохраняющее ориентацию жесткое движение D * = A ( x ) + d _⊥ преобразует все точки R ³ так, что они остаются в плоскостях, перпендикулярных L. Для жесткого движения этого типа существует единственная точка c в плоскости P, перпендикулярной L через 0 , такая, что

${\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C} .}$

Точку C можно рассчитать как

${\displaystyle \mathbf {C} =[I-A]^{-1}\mathbf {d} _{\perp },}$

поскольку d _⊥ не имеет компонента в направлении оси A.

Жесткое движение D * с фиксированной точкой должно быть вращением вокруг оси L _c через точку c . Поэтому жесткое движение

${\displaystyle D(\mathbf {x} )=D^{*}(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{L},}$

состоит из вращения вокруг линии L _c с последующим переносом на вектор d _L в направлении линии L _c .

Вывод: всякое жесткое движение R ³ является результатом вращения R ³ вокруг линии L _c с последующим переносом в направлении этой линии. Сочетание вращения вокруг линии и переноса вдоль линии называется винтовым движением.

Вычисление точки на оси винта

Точка C на оси винта удовлетворяет уравнению: ^[9]

${\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {C} .}$

Решите это уравнение относительно C, используя формулу Кэли для матрицы вращения

${\displaystyle [A]=[I-B]^{-1}[I+B],}$

где [B] — кососимметричная матрица, построенная на основе вектора Родригеса

${\displaystyle \mathbf {b} =\tan {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} ,}$

такой что

${\displaystyle [B]\mathbf {y} =\mathbf {b} \times \mathbf {y} .}$

Используйте эту форму вращения A, чтобы получить

${\displaystyle \mathbf {C} =[I-B]^{-1}[I+B]\mathbf {C} +\mathbf {d} _{\perp },\quad [I-B]\mathbf {C} =[I+B]\mathbf {C} +[I-B]\mathbf {d} _{\perp },}$

который становится

${\displaystyle -2[B]\mathbf {C} =[I-B]\mathbf {d} _{\perp }.}$

Это уравнение можно решить относительно C на оси винта P (t), чтобы получить,

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} -\mathbf {b} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {d} )}{2\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}.}$

Ось винта P (t) = C + tS этого пространственного смещения имеет координаты Плюккера S = ( S , C × S ) . ^[9]

Двойной кватернион

Винтовая ось появляется в формулировке двойного кватерниона пространственного смещения D = ([A], d ) . Двойной кватернион строится из двойного вектора S = ( S , V ), определяющего винтовую ось, и двойного угла ( φ , d ) , где φ — это вращение вокруг , а d — скольжение вдоль этой оси, что определяет смещение D для получения,

${\displaystyle {\hat {S}}=\cos {\frac {\hat {\varphi }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\varphi }}{2}}{\mathsf {S}}.}$

Пространственное смещение точек q, представленное в виде векторного кватерниона, можно определить, используя кватернионы в качестве отображения

${\displaystyle \mathbf {q} \mapsto S\mathbf {q} S^{-1}+\mathbf {d} }$

где d — кватернион вектора трансляции, а S — единичный кватернион, также называемый версором , задаваемый формулой

${\displaystyle S=\cos \theta +\mathbf {S} \sin \theta ,\ \ \mathbf {S} ^{2}=-1,}$

который определяет поворот на 2 θ вокруг оси S.

В правильной евклидовой группе E ⁺ (3) вращение может быть сопряжено с переносом, чтобы переместить его на параллельную ось вращения. Такое сопряжение, используя кватернионные гомографии , производит соответствующую винтовую ось, чтобы выразить заданное пространственное смещение как винтовое смещение, в соответствии с теоремой Шаля .

Механика

Мгновенное движение твердого тела может быть комбинацией вращения вокруг оси (винтовой оси) и перемещения вдоль этой оси. Это винтовое движение характеризуется вектором скорости перемещения и вектором угловой скорости в том же или противоположном направлении. Если эти два вектора постоянны и направлены вдоль одной из главных осей тела, то для этого движения (перемещения и вращения) не нужны никакие внешние силы. Например, если игнорировать гравитацию и сопротивление, то это движение пули, выпущенной из нарезного оружия .

Биомеханика

Этот параметр часто используется в биомеханике при описании движения суставов тела. Для любого периода времени движение сустава можно рассматривать как движение одной точки на одной сочленяющейся поверхности относительно смежной поверхности (обычно дистальной относительно проксимальной ). Общее перемещение и вращение вдоль пути движения можно определить как временные интегралы мгновенных скоростей перемещения и вращения в IHA для заданного опорного времени. ^[10]

В любой отдельной плоскости траектория, образованная положениями движущейся мгновенной оси вращения (МОВ), известна как «центроид» и используется при описании движения суставов.

Смотрите также

• Штопор (элемент американских горок)
• Теорема Эйлера о вращении – вращения без переноса
• Скользить отражение
• Винтовая симметрия
• Линейная группа
• Теория винта
• Космическая группа

Ссылки

1. Bottema, O., and B. Roth, Theoretical Kinematics, Dover Publications (сентябрь 1990 г.), ссылка на Google books
2. Хант, К. Х., Кинематическая геометрия механизма, Oxford University Press, 1990.
3. RS Ball, Трактат о теории винтов, Hodges, Дублин, 1876, Приложение 1, University Press, Кембридж, 1900, стр. 510
4. Гомер Д. Экхардт, Кинематическое проектирование машин и механизмов , McGraw-Hill (1998) стр. 63 ISBN  0-07-018953-6 онлайн на Google Books
5. М. Шасль, Note sur les Propriétés Generales du Système de Deux Corps Sembables entr'eux, Bullettin de Sciences Mathématiques, Astronomiques Physiques et Chimiques, барон де Ферюссак, Париж, 1830, стр. 321-326
6. Дж. Моцци, Discorso matematico sopra il rotamento momentaneo dei corpi, Stamperia di Donato Campo, Неаполь, 1763 г.
7. М. Чеккарелли, Винтовая ось, определенная Джулио Моцци в 1763 году и ранние исследования винтового движения, Теория механизмов и машин 35 (2000) 761-770
8. Уолтер Борхардт-Отт (1995). Кристаллография . Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-59478-7.
9. JM McCarthy и GS Soh, Геометрическое проектирование связей, 2-е издание, Springer 2010
10. Woltring HJ, de Lange A, Kauer JMG, Huiskes R. 1987 Мгновенная оценка винтовых осей с помощью естественных, перекрестно проверенных сплайнов. В: Bergmann G, Kölbel R, Rohlmann A (редакторы). Биомеханика: фундаментальные и прикладные исследования. Springer, стр. 121-128. полный текст