Вложение Сегре

В математике вложение Сегре используется в проективной геометрии для рассмотрения декартова произведения (множеств) двух проективных пространств как проективного многообразия . Оно названо в честь Коррадо Сегре .

Определение

Карту Сегре можно определить как карту

${\displaystyle \sigma :P^{n}\times P^{m}\to P^{(n+1)(m+1)-1}\ }$

принимая пару пунктов к их продукту ${\displaystyle ([X],[Y])\in P^{n}\times P^{m}}$

${\displaystyle \sigma :([X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}],[Y_{0}:Y_{1}:\cdots :Y_{m}])\mapsto [X_{0}Y_{0}:X_{0}Y_{1}:\cdots :X_{i}Y_{j}:\cdots :X_{n}Y_{m}]\ }$

( X _i Y _j берутся в лексикографическом порядке ).

Здесь и — проективные векторные пространства над некоторым произвольным полем , а обозначения ${\displaystyle P^{n}}$ ${\displaystyle P^{m}}$

${\displaystyle [X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}]\ }$

является многообразием однородных координат в пространстве. Изображение карты — это многообразие, называемое многообразием Сегре . Иногда его записывают как . ${\displaystyle \Sigma _{n,m}}$

Обсуждение

На языке линейной алгебры для данных векторных пространств U и V над одним и тем же полем K существует естественный способ отобразить их декартово произведение в их тензорное произведение .

${\displaystyle \varphi :U\times V\to U\otimes V.\ }$

В общем случае это не обязательно должно быть инъективным , поскольку для и любого ненулевого , ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle c\in K}$

${\displaystyle \varphi (u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{-1}v=\varphi (cu,c^{-1}v).\ }$

Учитывая базовые проективные пространства P ( U ) и P ( V ), это отображение становится морфизмом многообразий

${\displaystyle \sigma :P(U)\times P(V)\to P(U\otimes V).\ }$

Это не только инъективно в теоретико-множественном смысле: это замкнутое погружение в смысле алгебраической геометрии . То есть, можно задать набор уравнений для изображения. За исключением проблем с обозначениями, легко сказать, что такое такие уравнения: они выражают два способа факторизации произведений координат из тензорного произведения, полученного двумя различными способами как что-то из U, умноженное на что-то из V.

Это отображение или морфизм σ является вложением Сегре . Подсчитывая размерности, оно показывает, как произведение проективных пространств размерностей m и n вкладывается в размерность

${\displaystyle (m+1)(n+1)-1=mn+m+n.\ }$

Классическая терминология называет координаты на произведении многооднородными , а произведение, обобщенное на k факторов, — k-направленным проективным пространством .

Характеристики

Многообразие Сегре является примером детерминантного многообразия ; это нулевое множество 2×2 миноров матрицы . То есть, многообразие Сегре является общим нулевым множеством квадратичных многочленов ${\displaystyle (Z_{i,j})}$

${\displaystyle Z_{i,j}Z_{k,l}-Z_{i,l}Z_{k,j}.\ }$

Здесь подразумевается естественная координата на изображении карты Сегре. ${\displaystyle Z_{i,j}}$

Многообразие Сегре является категориальным произведением и . ^[1] Проекция ${\displaystyle \Sigma _{n,m}}$ ${\displaystyle P^{n}\ }$ ${\displaystyle P^{m}}$

${\displaystyle \pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\ }$

к первому фактору можно задать m+1 картами на открытых подмножествах, покрывающих многообразие Сегре, которые согласуются на пересечениях подмножеств. Для фиксированного карта задается отправкой в ​​. Уравнения гарантируют, что эти карты согласуются друг с другом, потому что если у нас есть . ${\displaystyle j_{0}}$ ${\displaystyle [Z_{i,j}]}$ ${\displaystyle [Z_{i,j_{0}}]}$ ${\displaystyle Z_{i,j}Z_{k,l}=Z_{i,l}Z_{k,j}\ }$ ${\displaystyle Z_{i_{0},j_{0}}\neq 0}$ ${\displaystyle [Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{0}}Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{1}}Z_{i,j_{0}}]=[Z_{i,j_{0}}]}$

Слои произведения — линейные подпространства. То есть пусть

${\displaystyle \pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\ }$

быть проекцией на первый фактор; и то же самое для второго фактора. Тогда изображение карты ${\displaystyle \pi _{Y}}$

${\displaystyle \sigma (\pi _{X}(\cdot ),\pi _{Y}(p)):\Sigma _{n,m}\to P^{(n+1)(m+1)-1}\ }$

для фиксированной точки p является линейным подпространством области значений .

Примеры

Квадрик

Например, при m = n = 1 мы получаем вложение произведения проективной прямой с собой в P ³ . Изображение является квадрикой и, как легко видеть, содержит два однопараметрических семейства прямых. Над комплексными числами это довольно общая невырожденная квадрика. Позволяя

${\displaystyle [Z_{0}:Z_{1}:Z_{2}:Z_{3}]\ }$

- однородные координаты на P ³ , эта квадрика задается как нулевое место точек квадратичного многочлена, заданного определителем

${\displaystyle \det \left({\begin{matrix}Z_{0}&Z_{1}\\Z_{2}&Z_{3}\end{matrix}}\right)=Z_{0}Z_{3}-Z_{1}Z_{2}.\ }$

Сегре тройной

Карта

${\displaystyle \sigma :P^{2}\times P^{1}\to P^{5}}$

известно как трифолд Сегре . Это пример рациональной нормальной прокрутки . Пересечение трифолда Сегре и трехмерной плоскости представляет собой скрученную кубическую кривую . ${\displaystyle P^{3}}$

сорт Веронезе

Изображение диагонали под картой Сегре — это разновидность Веронезе степени два ${\displaystyle \Delta \subset P^{n}\times P^{n}}$

${\displaystyle \nu _{2}:P^{n}\to P^{n^{2}+2n}.\ }$

Приложения

Поскольку отображение Сегре относится к категориальному произведению проективных пространств, оно является естественным отображением для описания незапутанных состояний в квантовой механике и квантовой теории информации . Точнее, отображение Сегре описывает, как брать произведения проективных гильбертовых пространств . ^[2]

В алгебраической статистике многообразия Сегре соответствуют моделям независимости.

Вложение Сегре P2 ^× P2 в P8 является единственным многообразием Севери размерности ^{4 .}

Ссылки

1. МакКернан, Джеймс (2010). "Курс алгебраической геометрии, Лекция 6: Произведения и волокнистые произведения" (PDF) . Материалы онлайн-курса . Получено 11 апреля 2014 г. .
2. Гарахи, Масуд; Манчини, Стефано; Оттавиани, Джорджио (2020-10-01). «Тонкоструктурная классификация многокубитовой запутанности с помощью алгебраической геометрии». Physical Review Research . 2 (4): 043003. doi : 10.1103/PhysRevResearch.2.043003 . hdl : 2158/1210686 .

• Харрис, Джо (1995), Алгебраическая геометрия: Первый курс , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97716-4
• Хассетт, Брендан (2007), Введение в алгебраическую геометрию , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 154, doi : 10.1017/CBO9780511755224, ISBN 978-0-521-69141-3, г-н  2324354