Подобные биалгебры связаны гомоморфизмами биалгебр. Гомоморфизм биалгебр — это линейное отображение , которое является как гомоморфизмом алгебры, так и гомоморфизмом коалгебры. [2] : 45
Как отражено в симметрии коммутативных диаграмм, определение биалгебры является самодвойственным , поэтому если можно определить двойственную к B (что всегда возможно, если B конечномерна), то она автоматически является биалгеброй.
Формальное определение
( B , ∇, η, Δ, ε) является биалгеброй над K, если она обладает следующими свойствами:
существуют K -линейные отображения (коумножение) Δ: B → B ⊗ B и (коединица) ε: B → K , такие, что ( B , Δ, ε) является (коединичной коассоциативной) коалгеброй ;
K - линейное отображение ε: B → K является коединицей, если .
Коассоциативность и коединица выражаются коммутативностью следующих двух диаграмм (они являются двойственными диаграммами, выражающими ассоциативность и единицу алгебры):
Условия совместимости
Четыре коммутативные диаграммы можно интерпретировать как «коумножение и коединица являются гомоморфизмами алгебр» или, что то же самое, «умножение и единица являются гомоморфизмами коалгебр».
Эти утверждения приобретают смысл, как только мы объясним естественные структуры алгебры и коалгебры во всех векторных пространствах, задействованных помимо B : ( K , ∇ 0 , η 0 ) — это унитальная ассоциативная алгебра очевидным образом, а ( B ⊗ B , ∇ 2 , η 2 ) — унитальная ассоциативная алгебра с единицей и умножением.
Аналогично, ( K , Δ 0 , ε 0 ) является коалгеброй очевидным образом, а B ⊗ B является коалгеброй с коединицей и коумножением
.
Тогда диаграммы 1 и 3 говорят, что Δ: B → B ⊗ B является гомоморфизмом унитальных (ассоциативных) алгебр ( B , ∇, η) и ( B ⊗ B , ∇ 2 , η 2 ).
, или просто Δ( xy ) = Δ( x ) Δ( y ),
, или просто Δ(1 B ) = 1 B ⊗ B ;
диаграммы 2 и 4 говорят, что ε: B → K является гомоморфизмом унитальных (ассоциативных) алгебр ( B , ∇, η) и ( K , ∇ 0 , η 0 ):
или просто ε( xy ) = ε( x ) ε( y )
, или просто ε(1 B ) = 1 K .
Эквивалентно, диаграммы 1 и 2 говорят, что ∇: B ⊗ B → B является гомоморфизмом (коунитальных коассоциативных) коалгебр ( B ⊗ B , Δ 2 , ε 2 ) и ( B , Δ, ε):
;
диаграммы 3 и 4 говорят, что η: K → B является гомоморфизмом (коединичных коассоциативных) коалгебр ( K , Δ 0 , ε 0 ) и ( B , Δ, ε):
,
где
.
Примеры
Групповая биалгебра
Примером биалгебры является множество функций из конечной группы G (или, в более общем смысле, любого конечного моноида ) в , которое мы можем представить как векторное пространство, состоящее из линейных комбинаций стандартных базисных векторов, например, g для каждого g ∈ G , которое может представлять распределение вероятностей над G в случае векторов, все коэффициенты которых неотрицательны и в сумме равны 1. Примером подходящих операторов коумножения и коединиц, которые дают коединичную коалгебру, являются
что представляет собой создание копии случайной величины (которую мы распространяем на все по линейности), и
(снова линейно расширенное на все ), что представляет собой «выслеживание» случайной величины — т. е. забывание значения случайной величины (представленной одним тензорным фактором) для получения предельного распределения оставшихся переменных (остальных тензорных факторов). Учитывая интерпретацию (Δ,ε) в терминах распределений вероятностей, как указано выше, условия согласованности биалгебры сводятся к ограничениям на (∇,η) следующим образом:
η — оператор, подготавливающий нормализованное распределение вероятностей, которое не зависит от всех других случайных величин;
Произведение ∇ отображает распределение вероятностей по двум переменным в распределение вероятностей по одной переменной;
Копирование случайной величины в распределении, заданном η, эквивалентно наличию двух независимых случайных величин в распределении η;
Взятие произведения двух случайных величин и подготовка копии полученной случайной величины имеет то же распределение, что и подготовка копий каждой случайной величины независимо друг от друга и их перемножение попарно.
Пара (∇,η), удовлетворяющая этим ограничениям, представляет собой оператор свертки
снова распространяется на все по линейности; это создает нормализованное распределение вероятностей из распределения двух случайных величин и имеет в качестве единицы дельта-распределение, где i ∈ G обозначает единичный элемент группы G.
Другие примеры
Другие примеры биалгебр включают тензорную алгебру , которую можно превратить в биалгебру, добавив соответствующее коумножение и коединицу; они подробно рассматриваются в этой статье.
Биалгебры часто можно расширить до алгебр Хопфа , если можно найти подходящий антипод; таким образом, все алгебры Хопфа являются примерами биалгебр. [5] : 151 Похожие структуры с различной совместимостью между произведением и коумножением или различными типами умножения и коумножения включают биалгебры Ли и алгебры Фробениуса . Дополнительные примеры приведены в статье о коалгебрах .
^ abc Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu 2001, с. 148.
^ Дэскалеску, Нэстасеску и Райану 2001, стр. 151.
Ссылки
Даскалеску, Сорин; Нэстасеску, Константин; Райану, Шербан (2001), «4. Биалгебры и алгебры Хопфа», Алгебры Хопфа: введение, Чистая и прикладная математика, том. 235, Марсель Деккер, ISBN 0-8247-0481-9.
Хазевинкель, Михил; Губарени, Надежда; Кириченко, В. (2010). «Биалгебры и алгебры Хопфа. Мотивация, определения и примеры». Алгебры, кольца и модули. Алгебры Ли и алгебры Хопфа. Американское математическое общество. С. 131–173. ISBN 978-0-8218-5262-0.Загрузить полный текст PDF
Кассель, Кристиан (2012). «Язык алгебр Хопфа». Квантовые группы. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0783-2.
Андервуд, Роберт Г. (28 августа 2011 г.). Введение в алгебры Хопфа. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-72766-0. Онлайн-книга