Прогрессивная мера

«Передвинут вперед» из одного измеримого пространства в другое.

В теории меры мера продвижения (также известная как мера продвижения вперед , выталкивания вперед или изображения ) получается путем переноса («продвижения вперед») меры из одного измеримого пространства в другое с помощью измеримой функции .

Определение

Учитывая измеримые пространства и , измеримое отображение и меру , продвижение вперед определяется как мера, заданная формулой ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$ ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle f\colon X_{1}\to X_{2}}$ ${\displaystyle \mu \colon \Sigma _{1}\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f_{*}(\mu )\colon \Sigma _{2}\to [0,+\infty ]}$

${\displaystyle f_{*}(\mu )(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right)}$для ${\displaystyle B\in \Sigma _{2}.}$

Это определение применяется с соответствующими изменениями к знаковым или сложным мерам . Мера продвижения вперед также обозначается как , , или . ${\displaystyle \mu \circ f^{-1}}$ ${\displaystyle f_{\sharp }\mu }$ ${\displaystyle f\sharp \mu }$ ${\displaystyle f\#\mu }$

Основное свойство: формула замены переменных.

Теорема: ^[1] Измеримая функция g на X ₂ интегрируема относительно прямой меры f _∗ ( µ ) тогда и только тогда, когда композиция интегрируема относительно меры µ . В этом случае интегралы совпадают, т.е. ${\displaystyle g\circ f}$

${\displaystyle \int _{X_{2}}g\,d(f_{*}\mu )=\int _{X_{1}}g\circ f\,d\mu .}$

Обратите внимание, что в предыдущей формуле . ${\displaystyle X_{1}=f^{-1}(X_{2})}$

Примеры и приложения

• Естественная « мера Лебега » на единичной окружности S ¹ (здесь рассматриваемая как подмножество комплексной плоскости C ) может быть определена с использованием конструкции прямого действия и меры Лебега λ на вещественной прямой R . Пусть λ также обозначает ограничение меры Лебега на интервал [0, 2 π ), и пусть f  : [0, 2 π ) →  S ¹ — естественная биекция, определяемая формулой f ( t ) = exp( i  t ). Тогда естественной «мерой Лебега» на ^S1 является мера прямого действия f _∗ ( λ ). Меру f _∗ ( λ ) можно также назвать « мерой длины дуги » или «мерой угла», поскольку f _∗ ( λ )-мера дуги в S ¹ — это в точности длина ее дуги (или, что то же самое, угол, который он стягивается в центр круга.)
• Предыдущий пример прекрасно расширяется и дает естественную «меру Лебега» на ⁿ - мерном торе Tn . Предыдущий пример является частным случаем, поскольку S ¹  =  T ¹ . Эта мера Лебега на Tn с точностью до нормировки является ^мерой Хаара для компактной связной группы Ли Tn ^.
• Гауссовы меры в бесконечномерных векторных пространствах определяются с помощью прямого продвижения и стандартной гауссовской меры на действительной прямой: борелевская мера γ в сепарабельном банаховом пространстве X называется гауссовой, если продвижение γ вперед любым ненулевым линейный функционал в непрерывном сопряженном пространстве к X является гауссовой мерой на R .
• Рассмотрим измеримую функцию f  : X → X и композицию f с самой собой n раз :

${\displaystyle f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n\mathrm {\,times} }:X\to X.}$

Эта повторяющаяся функция образует динамическую систему . При изучении таких систем часто представляет интерес найти меру µ на ​​X , которую отображение f оставляет неизменной, так называемую инвариантную меру , т.е. такую, для которой f _∗ ( µ ) =  µ .

• Можно также рассмотреть квазиинвариантные меры для такой динамической системы: мера on называется квазиинвариантной относительно того , если продвижение вперед by просто эквивалентно исходной мере µ , но не обязательно равно ей. Пара мер в одном и том же пространстве эквивалентна тогда и только тогда, когда , поэтому квазиинвариантна относительно if ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle \forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff \nu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff f_{*}\mu (A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}=0}$

• С помощью этой конструкции можно получить многие естественные распределения вероятностей, такие как распределение хи .

• Случайные переменные стимулируют принятие мер вперед. Они отображают вероятностное пространство в пространство кодомена и наделяют это пространство вероятностной мерой, определяемой прямым продвижением. Более того, поскольку случайные переменные являются функциями (и, следовательно, полными функциями), прообразом всей кодомена является вся область, а мера всей области равна 1, поэтому мера всей кодомена равна 1. Это означает, что случайная величина переменные можно составлять до бесконечности , и они всегда будут оставаться случайными величинами и наделять пространства кодомен вероятностными мерами.

Обобщение

В общем, любую измеримую функцию можно продвинуть вперед, тогда проталкивание становится линейным оператором , известным как оператор переноса или оператор Фробениуса – Перрона . В конечных пространствах этот оператор обычно удовлетворяет требованиям теоремы Фробениуса–Перрона , а максимальное собственное значение оператора соответствует инвариантной мере.

Сопряжением с толчком вперед является откат ; как оператор в пространствах функций на измеримых пространствах, это оператор композиции или оператор Купмана .

Смотрите также

• Динамическая система, сохраняющая меру
• Нормализация потока
• Оптимальный транспорт

Примечания

1. Разделы 3.6–3.7 в Богачеве, 2007 г.

Рекомендации

• Богачев, Владимир И. (2007), Теория меры , Берлин: Springer Verlag , ISBN 9783540345138
• Тешль, Джеральд (2015), Темы реального и функционального анализа