Вращательная симметрия

Вращательная симметрия , также известная как радиальная симметрия в геометрии , — это свойство формы, когда она выглядит одинаково после некоторого вращения на частичный оборот. Степень вращательной симметрии объекта — это число различных ориентаций, в которых он выглядит совершенно одинаково для каждого вращения.

Некоторые геометрические объекты частично симметричны при повороте на определенные углы, например, квадраты, повернутые на 90°, однако единственными геометрическими объектами, которые полностью вращательно симметричны под любым углом, являются сферы, круги и другие сфероиды . ^[1]^[2]

Формальное обращение

Формально вращательная симметрия является симметрией относительно некоторых или всех вращений в $m$ -мерном евклидовом пространстве . Вращения являются прямыми изометриями , т.е. изометриями , сохраняющими ориентацию . Поэтому группа симметрии вращательной симметрии является подгруппой $E + (m)$ (см. Евклидова группа ).

Симметрия относительно всех вращений вокруг всех точек подразумевает трансляционную симметрию относительно всех трансляций, поэтому пространство однородно, а группа симметрии — это все $E (m)$ . С измененным понятием симметрии для векторных полей группа симметрии может также быть $E + (m)$ .

Для симметрии относительно вращений вокруг точки мы можем взять эту точку за начало координат. Эти вращения образуют специальную ортогональную группу $SO(m)$ , группу ортогональных матриц $m \times m$ с определителем 1. Для $m$ $= 3$ это группа вращений $SO(3)$ .

В другом определении слова, группа вращения объекта — это группа симметрии в пределах $E + (n)$ , группа прямых изометрий ; другими словами, пересечение полной группы симметрии и группы прямых изометрий. Для хиральных объектов это то же самое, что и полная группа симметрии.

Законы физики являются SO(3)-инвариантными , если они не различают различные направления в пространстве. Из-за теоремы Нётер вращательная симметрия физической системы эквивалентна закону сохранения момента импульса .

Дискретная вращательная симметрия

Вращательная симметрия порядка $n$ , также называемая $n$ -кратной вращательной симметрией , или дискретной вращательной симметрией $n-$ го порядка , относительно конкретной точки (в 2D) или оси (в 3D) означает, что поворот на угол ⁠ ⁠ ${\tfrac {360^{\circ }}{n}}$ (180°, 120°, 90°, 72°, 60°, 51 3 ⁄ 7 ° и т. д.) не изменяет объект. «1-кратная» симметрия — это отсутствие симметрии (все объекты выглядят одинаково после поворота на 360°).

Обозначение для $n$ -кратной симметрии — $C$ $n$ или просто n . Фактическая группа симметрии определяется точкой или осью симметрии вместе с $n$ . Для каждой точки или оси симметрии абстрактный тип группы — циклическая группа порядка $n$ , $Z$ $n$ $.$ Хотя для последнего также используется обозначение $C$ $n$ $, следует различать геометрическую и абстрактную C$ $n$ : существуют другие группы симметрии того же абстрактного типа группы, которые геометрически отличаются, см. циклические группы симметрии в 3D .

Фундаментальная область — это сектор ⁠ ⁠ ${\tfrac {360^{\circ }}{n}}.$

Примеры без дополнительной симметрии отражения :

$n = 2$ , 180°: диада ; буквы Z, N, S; контуры, хотя и не цвета, символа инь и ян ; флаг Союза (разделенный по диагонали флага и повернутый вокруг центральной точки флага)
$n = 3$ , 120°: триада , трискелион , кольца Борромео ; иногда используетсятермин трилатеральная симметрия ;
$n = 4$ , 90°: тетрада , свастика
$n = 6$ , 60°: гексада , звезда Давида (у этой есть дополнительная симметрия отражения )
$n = 8$ , 45°: октада , восьмиугольные мукарны , сгенерированные компьютером (CG), потолок

$C n$ — группа вращений правильного $n$ -гранного многоугольника в 2D и правильной $n$ -гранной пирамиды в 3D.

Если, например, имеется вращательная симметрия относительно угла в 100°, то она также имеется относительно угла в 20°, наибольшего общего делителя 100° и 360°.

Типичным трехмерным объектом с вращательной симметрией (возможно, также с перпендикулярными осями), но без зеркальной симметрии, является пропеллер .

Примеры

Несколько осей симметрии, проходящих через одну и ту же точку

Для дискретной симметрии с несколькими осями симметрии, проходящими через одну и ту же точку, существуют следующие возможности:

В дополнение к $n$ -кратной оси, $n$ перпендикулярных 2-кратных осей: диэдральные группы $D n$ порядка $2 n$ ( $n \geq 2$ ). Это группа вращения правильной призмы или правильной бипирамиды . Хотя используются те же обозначения, геометрические и абстрактные $D n$ следует различать: существуют другие группы симметрии того же абстрактного типа группы, которые геометрически отличаются, см. группы диэдральной симметрии в 3D .
Оси 4×3 и 3×2: группа вращений $T$ порядка 12 правильного тетраэдра . Группа изоморфна знакопеременной группе $A 4$ .
Оси 3×4, 4×3 и 6×2: группа вращения O порядка 24 куба и правильного октаэдра . Группа изоморфна симметрической группе $S 4$ .
Оси 6×5, 10×3 и 15×2: группа вращения $I$ порядка 60 додекаэдра и икосаэдра . Группа изоморфна чередующейся группе $A 5$ . Группа содержит 10 версий $D 3$ и 6 версий $D 5$ (вращательные симметрии, такие как призмы и антипризмы).

В случае Платоновых тел оси 2-го порядка проходят через середины противоположных рёбер, и их число равно половине числа рёбер. Другие оси проходят через противоположные вершины и через центры противоположных граней, за исключением случая тетраэдра, где оси 3-го порядка проходят каждая через одну вершину и центр одной грани.

Вращательная симметрия относительно любого угла

Вращательная симметрия относительно любого угла является в двух измерениях круговой симметрией . Фундаментальная область — полупрямая .

В трех измерениях мы можем различать цилиндрическую симметрию и сферическую симметрию (отсутствие изменений при вращении вокруг одной оси или при любом вращении). То есть, никакой зависимости от угла при использовании цилиндрических координат и никакой зависимости от любого угла при использовании сферических координат . Фундаментальная область — это полуплоскость, проходящая через ось, и радиальная полупрямая соответственно. Осесимметричный и осесимметричный — это прилагательные , которые относятся к объекту, имеющему цилиндрическую симметрию или осесимметрию (т. е. вращательную симметрию относительно центральной оси), как у бублика ( тора ). Примером приблизительной сферической симметрии является Земля (относительно плотности и других физических и химических свойств).

В 4D непрерывная или дискретная вращательная симметрия относительно плоскости соответствует соответствующей вращательной симметрии 2D в каждой перпендикулярной плоскости, относительно точки пересечения. Объект также может иметь вращательную симметрию относительно двух перпендикулярных плоскостей, например, если он является декартовым произведением двух вращательно-симметричных 2D фигур, как в случае, например, дуоцилиндра и различных правильных дуопризм .

Вращательная симметрия с трансляционной симметрией

Двукратная вращательная симметрия вместе с одинарной трансляционной симметрией является одной из групп Фриза . Ротоцентр — это фиксированная или инвариантная точка вращения. ^{[3] На}примитивную ячейку приходится два ротоцентра .

Вместе с двойной трансляционной симметрией группы вращения представляют собой следующие группы обоев с осями на примитивную ячейку:

p2 (2222): 4×2-кратное; группа вращения параллелограммной , прямоугольной и ромбической решеток .
p3 (333): 3×3-кратно; не является группой вращения какой-либо решетки (каждая решетка перевернута одинаково, но это не относится к данной симметрии); это, например, группа вращения правильной треугольной мозаики с попеременно окрашенными равносторонними треугольниками.
p4 (442): 2×4-кратный, 2×2-кратный; группа вращения квадратной решетки .
p6 (632): 1×6-кратный, 2×3-кратный, 3×2-кратный; группа вращения гексагональной решетки.
2-кратные ротоцентры (включая возможные 4-кратные и 6-кратные), если они вообще присутствуют, образуют трансляцию решетки, равную трансляционной решетке, масштабированной с коэффициентом 1/2. В случае трансляционной симметрии в одном измерении применяется аналогичное свойство, хотя термин «решетка» не применяется.
3-кратные ротоцентры (включая возможные 6-кратные), если они вообще присутствуют, образуют правильную гексагональную решетку, равную трансляционной решетке, повернутой на 30° (или, что эквивалентно, на 90°) и масштабированной в коэффициент ${\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}$
Четырехкратные ротоцентры, если они вообще присутствуют, образуют правильную квадратную решетку, равную трансляционной решетке, повернутой на 45° и масштабированной в коэффициент ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$
Шестикратные ротоцентры, если они вообще присутствуют, образуют правильную гексагональную решетку, которая является трансляцией трансляционной решетки.

Масштабирование решетки делит число точек на единицу площади на квадрат масштабного фактора. Таким образом, число 2-, 3-, 4- и 6-кратных ротоцентров на примитивную ячейку составляет 4, 3, 2 и 1 соответственно, снова включая 4-кратность как частный случай 2-кратности и т. д.

3-кратная вращательная симметрия в одной точке и 2-кратная в другой (или то же самое в 3D относительно параллельных осей) подразумевает группу вращения p6, т.е. двойную трансляционную симметрию и 6-кратную вращательную симметрию в некоторой точке (или, в 3D, параллельной оси). Расстояние трансляции для симметрии, созданной одной такой парой ротоцентров, умножено на их расстояние. $2{\sqrt {3}}$

Смотрите также

Ссылки

^ Вращательная симметрия сфер Вайнгартена в однородных трехмерных многообразиях. Хосе А. Гальвес, Пабло Мира
^ Топологические связанные состояния в континууме в массивах диэлектрических сфер. Дмитрий Н. Максимов, Институт физики им. Л. В. Киренского, Красноярск, Россия
^ Лёб, АЛ (1971). Цвет и симметрия , Wiley-Interscience, Нью-Йорк, стр. 2. ISBN 9780471543350 , OCLC 163904

Вейль, Герман (1982) [1952]. Симметрия . Принстон: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.

Внешние ссылки

Медиа, связанные с вращательной симметрией на Wikimedia Commons
Примеры вращательной симметрии из книги «Математика — это весело»