В математике монодромия — это изучение того, как объекты из математического анализа , алгебраической топологии , алгебраической геометрии и дифференциальной геометрии ведут себя, когда они «бегут» вокруг сингулярности . Как следует из названия, фундаментальное значение монодромии происходит от «бега по кругу поодиночке». Она тесно связана с покрывающими картами и их вырождением в разветвление ; аспект, порождающий явление монодромии, заключается в том, что некоторые функции, которые мы хотим определить, не могут быть однозначными , когда мы «бежим по кругу» по пути, окружающему сингулярность. Неудача монодромии может быть измерена путем определения группы монодромии : группы преобразований, действующих на данные, которые кодируют то, что происходит, когда мы «бежим по кругу» в одном измерении. Отсутствие монодромии иногда называют полидромией . [1]
Пусть X — связное и локально связное топологическое пространство с базой x , и пусть — покрытие со слоем . Для петли γ: [0, 1] → X с базой в x обозначим подъем под отображением покрытия, начинающийся в точке , через . Наконец, мы обозначаем через конечную точку , которая в общем случае отличается от . Существуют теоремы, утверждающие, что эта конструкция дает хорошо определенное групповое действие фундаментальной группы π 1 ( X , x ) на F , и что стабилизатором является в точности , то есть элемент [γ] фиксирует точку в F тогда и только тогда, когда он представлен образом петли в с базой в . Это действие называется действием монодромии , а соответствующий гомоморфизм π 1 ( X , x ) → Aut( H * ( F x )) в группу автоморфизмов на F — алгебраическая монодромия . Образ этого гомоморфизма — группа монодромии . Существует еще одно отображение π 1 ( X , x ) → Diff( F x )/Is( F x ), образ которого называется топологической группой монодромии .
Эти идеи впервые были явно выражены в комплексном анализе . В процессе аналитического продолжения функция, которая является аналитической функцией F ( z ) в некотором открытом подмножестве E проколотой комплексной плоскости, может быть продолжена обратно в E , но с другими значениями. Например, возьмем
затем аналитическое продолжение против часовой стрелки по кругу
приведет к возврату не к F ( z ), а
В этом случае группа монодромии является бесконечной циклической , а покрывающее пространство является универсальным покрытием проколотой комплексной плоскости. Это покрытие можно визуализировать как геликоид (как определено в статье о геликоиде), ограниченный ρ > 0. Покрывающее отображение является вертикальной проекцией, в некотором смысле схлопывающей спираль очевидным образом, чтобы получить проколотую плоскость.
Одно важное приложение — дифференциальные уравнения , где одно решение может давать дальнейшие линейно независимые решения посредством аналитического продолжения . Линейные дифференциальные уравнения , определенные в открытом связном множестве S в комплексной плоскости, имеют группу монодромии, которая (точнее) является линейным представлением фундаментальной группы S , суммируя все аналитические продолжения вокруг петель внутри S. Обратная задача построения уравнения (с регулярными особенностями ) по заданному представлению — это задача Римана–Гильберта .
Для регулярной (и в частности фуксовой) линейной системы в качестве генераторов группы монодромии обычно выбирают операторы M j , соответствующие петлям, каждая из которых обходит только один из полюсов системы против часовой стрелки. Если индексы j выбраны таким образом, что они увеличиваются от 1 до p + 1 при обходе базовой точки по часовой стрелке, то единственным соотношением между генераторами является равенство . Проблема Делиня–Симпсона — это следующая задача реализации: для каких кортежей классов сопряженности в GL( n , C ) существуют неприводимые кортежи матриц M j из этих классов, удовлетворяющие указанному выше соотношению? Проблема была сформулирована Пьером Делинем , а Карлос Симпсон первым получил результаты по ее решению. Аддитивная версия задачи о вычетах фуксовых систем была сформулирована и исследована Владимиром Костовым. Проблема рассматривалась и другими авторами для групп матриц, отличных от GL( n , C ). [2]
В случае накрывающего отображения мы рассматриваем его как частный случай расслоения и используем свойство гомотопического подъема , чтобы «следовать» путям на базовом пространстве X (для простоты мы предполагаем, что оно путями связно ), поскольку они поднимаются в покрытие C. Если мы следуем по петле с основанием в x в X , которую мы поднимаем, чтобы начать в c выше x , мы закончим в некоторой точке c* снова выше x ; вполне возможно, что c ≠ c* , и для кодирования этого рассматривается действие фундаментальной группы π 1 ( X , x ) как группы перестановок на множестве всех c , как группы монодромии в этом контексте.
В дифференциальной геометрии аналогичную роль играет параллельный перенос . В главном расслоении B над гладким многообразием M соединение допускает «горизонтальное» движение от волокон выше m в M к соседним. Эффект при применении к петлям, основанным на m , заключается в определении группы голономии трансляций волокна в m ; если структурная группа B — G , то это подгруппа G , которая измеряет отклонение B от произведения расслоения M × G.
Аналогично фундаментальному группоиду можно избавиться от выбора базовой точки и определить группоид монодромии. Здесь мы рассматриваем (гомотопические классы) подъемы путей в базовом пространстве X расслоения . Результат имеет структуру группоида над базовым пространством X . Преимущество в том, что мы можем отказаться от условия связности X .
Более того, конструкция может быть обобщена и на слоения : рассмотрим (возможно, сингулярное) слоение M. Тогда для каждого пути в листе M мы можем рассмотреть его индуцированный диффеоморфизм на локальных трансверсальных сечениях через конечные точки. Внутри односвязной карты этот диффеоморфизм становится уникальным и особенно каноническим между различными трансверсальными сечениями, если мы перейдем к ростку диффеоморфизма вокруг конечных точек. Таким образом, он также становится независимым от пути (между фиксированными конечными точками) внутри односвязной карты и, следовательно, инвариантен относительно гомотопии.
Пусть F ( x ) обозначает поле рациональных функций от переменной x над полем F , которое является полем дробей кольца многочленов F [ x ] . Элемент y = f ( x ) из F ( x ) определяет конечное расширение поля [ F ( x ) : F ( y )].
Это расширение в общем случае не является Галуа, но имеет замыкание Галуа L ( f ). Ассоциированная группа Галуа расширения [ L ( f ) : F ( y )] называется группой монодромии f .
В случае F = C вступает в действие теория римановой поверхности и допускает геометрическую интерпретацию, данную выше. В случае, когда расширение [ C ( x ) : C ( y )] уже является расширением Галуа, связанная с ним группа монодромии иногда называется группой преобразований палубы .
Это связано с теорией Галуа о накрывающих пространствах, приводящей к теореме о существовании Римана.
