Выворот сферы

Топологическая операция выворачивания сферы наизнанку без сгиба.

Поверхность Морена , вид «сверху».

Процесс выворота сферы, как описано в ^[1]

Выворот бумажной сферы и поверхность Морена

Бумажная поверхность Морена (выворот сферы на полпути) с гексагональной симметрией

В дифференциальной топологии выворот сферы — это процесс выворачивания сферы наизнанку в трехмерном пространстве (слово «выворот» означает «выворот наизнанку»). Примечательно, что таким образом можно плавно и непрерывно выворачивать сферу наизнанку (позволяя самопересечения поверхности сферы), не разрезая, не разрывая ее и не создавая складок. Это удивительно как для нематематиков, так и для тех, кто понимает регулярную гомотопию , и может рассматриваться как настоящий парадокс ; это то, что, хотя и верно, на первый взгляд кажется ложным.

Точнее, пусть

${\displaystyle f\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

быть стандартным вложением ; тогда существует регулярная гомотопия погружений

${\displaystyle f_{t}\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

такие, что ƒ ₀  =  ƒ и ƒ ₁  = − ƒ .

История

Доказательство существования выворота сферы без складок было впервые создано Стивеном Смейлом  (1957). Трудно представить конкретный пример такого поворота, хотя были созданы некоторые цифровые анимации , которые несколько облегчают его. Первый пример был продемонстрирован усилиями нескольких математиков, в том числе Арнольда С. Шапиро и слепого Бернара Морена . С другой стороны, гораздо легче доказать существование такого «поворота», что и сделал Смейл.

Наставник Смейла Рауль Ботт сначала сказал Смейлу, что результат явно неправильный (Levy 1995). Его рассуждения заключались в том, что при таком «повороте» должна сохраняться степень отображения Гаусса — в частности, из этого следует, что такого поворота S ¹ в R ² не существует . Но степени отображения Гаусса для вложений f и −f в R3 равны 1 и не имеют противоположных знаков, как можно было бы ошибочно предположить ^. Степень отображения Гаусса всех погружений S ² в R ³ равна 1, поэтому препятствия нет. Термин «веридический парадокс», возможно, более уместен на этом уровне: до работы Смейла не было документально подтвержденных попыток аргументировать за или против выворота S ² , а более поздние попытки были задним числом, поэтому никогда не было исторического парадокса, связанного с выворот сферы, а лишь понимание тонкостей ее визуализации теми, кто впервые сталкивается с этой идеей.

См. h -принцип для дальнейших обобщений.

Доказательство

Первоначальное доказательство Смейла было косвенным: он отождествлял (регулярные гомотопические) классы погружений сфер с гомотопической группой многообразия Стифеля . Поскольку гомотопическая группа, соответствующая погружениям в , равна нулю, стандартное вложение и вложение наизнанку должны быть регулярными гомотопными. В принципе, доказательство можно развернуть и получить явную регулярную гомотопию, но сделать это непросто. ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Существует несколько способов создания явных примеров и математической визуализации :

Минимаксная выворотная сфера; см. страницу видео на Wikimedia Commons для описания содержания видео.

• Половинчатые модели : они состоят из совершенно особых гомотопий. Это оригинальный метод, впервые использованный Шапиро и Филлипсом с использованием поверхности Боя , а затем усовершенствованный многими другими. Исходные гомотопии половинной модели были построены вручную и работали топологически, но не были минимальными. Фильм, созданный Нельсоном Максом в течение семи лет и основанный на сетчатых моделях Чарльза Пью (впоследствии украденных с математического факультета Беркли), стал для своего времени «тур де сил» в области компьютерной графики и установил эталон компьютерной анимации на протяжении многих лет. Более недавнее и окончательное графическое усовершенствование (1980-е годы) — это минимаксные вывороты , которые представляют собой вариационный метод и состоят из особых гомотопий (они представляют собой кратчайшие пути относительно энергии Уиллмора ). В свою очередь, понимание поведения энергии Уиллмора требует понимания решений дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка, и поэтому визуально красивые и запоминающиеся изображения опровергают некоторые очень глубокие математические аспекты, выходящие за рамки оригинального абстрактного доказательства Смейла.

Выворот сферы с использованием гофр Терстона; см. страницу видео на Wikimedia Commons для описания содержания видео.

• Гофры Терстона : это топологический метод и общий; он берет гомотопию и возмущает ее так, что она становится регулярной гомотопией. Это проиллюстрировано в компьютерной графике анимации « Снаружи внутри», разработанной в Центре геометрии под руководством Сильвио Леви, Делле Максвелл и Тамары Мюнцнер . ^[2]
• Объединив вышеуказанные методы, полную выворотную сферу можно описать системой замкнутых уравнений, обеспечивающих минимальную топологическую сложность ^[1]

Вариации

• Шестимерная сфера в семимерном евклидовом пространстве допускает выворот. ^[3] Учитывая очевидный случай 0-мерной сферы (две различные точки) на прямой и описанный выше случай двумерной сферы, существует только три случая, когда сфера, вложенная в евклидово пространство, допускает выворот. ${\displaystyle S^{6}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

Галерея шагов выворота

Открытая модель с нейлоновыми струнами.

Смотрите также

• Теорема Уитни – Граустейна

Рекомендации

1. Беднорц, Адам; Беднорц, Витольд (2019). «Аналитический выворот сферы с использованием линейчатых поверхностей». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 64 : 59–79. arXiv : 1711.10466 . doi :10.1016/j.difgeo.2019.02.004. S2CID  119687494.
2. «Снаружи внутри: Введение». Геометрический центр . Проверено 21 июня 2017 г.
3. Горюнов, Виктор В. (1997). «Локальные инварианты отображений поверхностей в трехмерное пространство». Математические семинары Арнольда–Гельфанда . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. стр. 223–255. ISBN 0-8176-3883-0.

Библиография

• Иэн Р. Эйчисон (2010) «Холиверс»: целостный выворот 2-сферы в R^3, препринт. arXiv: 1008.0916.
• Джон Б. Этнайр (2004) Обзор «h-принципов и гибкости в геометрии», MR 1982875.
• Фрэнсис, Джордж К. (2007), Топологическая книжка с картинками , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-34542-0, МР  2265679
• Джордж К. Фрэнсис и Бернар Морен (1980) «Выворот сферы Арнольда Шапиро», Mathematical Intelligencer 2 (4): 200–3.
• Леви, Сильвио (1995), «Краткая история выворотов сфер», Создание волн , Уэлсли, Массачусетс: AK Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-049-2, МР  1357900
• Макс, Нельсон (1977) «Выворачивая сферу наизнанку», https://www.crcpress.com/Turning-a-Sphere-Inside-Out-DVD/Max/9781466553941. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine.
• Энтони Филлипс (май 1966 г.) «Выворачивание поверхности наизнанку», Scientific American , стр. 112–120.
• Смейл, Стивен (1958), «Классификация погружений двух сфер», Труды Американского математического общества , 90 (2): 281–290, doi : 10.2307/1993205 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1993205, MR  0104227

Внешние ссылки

• История выворотов сфер, заархивированная 11 июля 2020 г. в Wayback Machine.
• «Выворачивание сферы наизнанку»
• Программное обеспечение для визуализации выворота сферы
• Математическая визуализация: топология. Выворот сферы холивёрса (анимация Povray)
• Выворот сферы деНеве/Хиллса: видео и интерактивная модель
• Проект Патрика Массо по формализации доказательства в средстве доказательства теорем бережливого производства.
• Интерактивное исследование метода выворота сферы Адама Беднорца и Витольда Беднорца.
• Снаружи внутри: видеоисследование выворота сферы, созданное Центром геометрии Университета Миннесоты .