В математике выражение находится в замкнутой форме , если оно образовано константами , переменными и конечным набором основных функций , связанных арифметическими операциями ( +, −, ×, ÷ и целыми степенями ) и композицией функций . Обычно разрешенными функциями являются корень n- й степени , показательная функция , логарифм и тригонометрические функции . [1] Однако набор основных функций зависит от контекста.
Проблема закрытой формы возникает, когда вводятся новые способы определения математических объектов , таких как пределы , ряды и интегралы : для заданного объекта, определенного с помощью таких инструментов, естественная проблема состоит в том, чтобы найти, если возможно, выражение этого объекта в замкнутой форме. , то есть выражение этого объекта в терминах предыдущих способов его определения.
Квадратичная формула
является замкнутой формой решения общего квадратного уравнения
В более общем смысле, в контексте полиномиальных уравнений , замкнутая форма решения — это решение в радикалах ; то есть выражение в закрытой форме, для которого разрешенными функциями являются только корни n -й степени и операции с полями (+-/*). Фактически теория поля позволяет показать, что если решение полиномиального уравнения имеет замкнутую форму, включающую экспоненты, логарифмы или тригонометрические функции, то оно имеет и замкнутую форму, не включающую эти функции. [ нужна цитата ]
Имеются выражения в радикалах для всех решений уравнений кубической (3-й степени) и уравнений четвертой степени (4-й степени). Однако их редко пишут явно, поскольку они слишком сложны, чтобы быть полезными.
В более высоких степенях теорема Абеля – Руффини утверждает, что существуют уравнения, решения которых не могут быть выражены в радикалах и, следовательно, не имеют замкнутых форм. Простейшим примером является уравнение. Теория Галуа предоставляет алгоритмический метод определения того, может ли конкретное полиномиальное уравнение быть решено в радикалах.
Символическое интегрирование состоит по существу из поиска замкнутых форм первообразных функций, заданных выражениями в замкнутой форме. В этом контексте основными функциями, используемыми для определения замкнутых форм, обычно являются логарифмы , показательная функция и корни полинома . Функции, имеющие замкнутую форму для этих основных функций, называются элементарными функциями и включают тригонометрические функции , обратные тригонометрические функции , гиперболические функции и обратные гиперболические функции .
Таким образом, фундаментальная проблема символического интегрирования состоит в том, чтобы, учитывая элементарную функцию, заданную выражением в замкнутой форме, решить, является ли ее первообразная элементарной функцией, и, если да, найти выражение в замкнутой форме для этой первообразной.
Для рациональных функций ; то есть для дробей двух полиномиальных функций ; первообразные не всегда являются рациональными дробями, но всегда представляют собой элементарные функции, которые могут включать логарифмы и корни многочленов. Обычно это доказывается разложением на частичные дроби . Необходимость логарифмов и многочленных корней иллюстрируется формулой
что справедливо, если и являются взаимно простыми многочленами, такими, что не содержат квадратов и
Изменение определения «хорошо известное» для включения дополнительных функций может изменить набор уравнений с решениями в замкнутой форме. Многие кумулятивные функции распределения не могут быть выражены в замкнутой форме, если не считать хорошо известными специальные функции, такие как функция ошибок или гамма-функция . Уравнение пятой степени можно решить, если включить в него общие гипергеометрические функции , хотя решение слишком сложно с алгебраической точки зрения, чтобы быть полезным. Для многих практических компьютерных приложений вполне разумно предположить, что гамма-функция и другие специальные функции хорошо известны, поскольку численные реализации широко доступны.
Аналитическое выражение (также известное как выражение в аналитической форме или аналитическая формула ) — это математическое выражение , построенное с использованием хорошо известных операций, которые легко поддаются вычислениям. [ неопределенно ] [ нужна ссылка ] Подобно выражениям закрытой формы, набор разрешенных общеизвестных функций может варьироваться в зависимости от контекста, но всегда включает в себя основные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление), возведение в степень до действительного показателя. (включая извлечение корня n-й степени ) , логарифмы и тригонометрические функции.
Однако класс выражений, считающихся аналитическими, обычно шире, чем класс выражений в замкнутой форме. В частности, обычно допускаются специальные функции , такие как функции Бесселя и гамма-функция , а также часто бесконечные ряды и цепные дроби . С другой стороны, пределы вообще и интегралы в частности обычно исключаются. [ нужна цитата ]
Если аналитическое выражение включает в себя только алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень до рационального показателя) и рациональные константы, то его более конкретно называют алгебраическим выражением .
Выражения замкнутой формы — важный подкласс аналитических выражений, которые содержат конечное число применений известных функций. В отличие от более широких аналитических выражений, выражения в замкнутой форме не включают бесконечные ряды или цепные дроби ; ни один из них не включает интегралы или пределы . Действительно, по теореме Стоуна-Вейерштрасса любая непрерывная функция на единичном интервале может быть выражена как предел полиномов, поэтому любой класс функций, содержащих полиномы и замкнутых в пределах, обязательно будет включать все непрерывные функции.
Точно так же говорят, что уравнение или система уравнений имеет решение в замкнутой форме тогда и только тогда, когда хотя бы одно решение может быть выражено в виде выражения в замкнутой форме; и говорят, что оно имеет аналитическое решение тогда и только тогда, когда хотя бы одно решение может быть выражено в виде аналитического выражения. Существует тонкое различие между « функцией замкнутой формы » и «числом замкнутой формы» при обсуждении «решения в замкнутой форме», обсуждаемом в (Chow 1999) и ниже. Закрытое или аналитическое решение иногда называют явным решением .
Выражение:
Интеграл выражения в замкнутой форме сам по себе может выражаться или не выражаться как выражение в замкнутой форме. Это исследование называется дифференциальной теорией Галуа по аналогии с алгебраической теорией Галуа.
Основная теорема дифференциальной теории Галуа принадлежит Жозефу Лиувиллю в 1830-х и 1840-х годах и поэтому называется теоремой Лиувилля .
Стандартный пример элементарной функции, первообразная которой не имеет выражения в замкнутой форме:
Уравнения или системы, слишком сложные для решения в замкнутой форме или аналитических решений, часто можно анализировать с помощью математического моделирования и компьютерного моделирования (пример из физики см. в [3] ).
Было предложено три подполя комплексных чисел C как кодирование понятия «числа замкнутой формы»; в порядке возрастания общности это числа Лиувилля (не путать с числами Лиувилля в смысле рационального приближения), числа EL и элементарные числа . Числа Лиувилля , обозначаемые L , образуют наименьшее алгебраически замкнутое подполе C , замкнутое относительно возведения в степень и логарифма (формально, пересечение всех таких подполей) — то есть числа, которые включают явное возведение в степень и логарифмы, но допускают явные и неявные полиномы (корни полиномы); это определено в (Ритт 1948, стр. 60). Первоначально L называлось элементарными числами , но теперь этот термин используется более широко для обозначения чисел, определенных явно или неявно в терминах алгебраических операций, экспонент и логарифмов. Более узкое определение, предложенное в (Chow 1999, стр. 441–442), обозначенное E и называемое числами EL , представляет собой наименьшее подполе C , замкнутое относительно возведения в степень и логарифма - оно не обязательно должно быть алгебраически замкнутым и соответствует явным алгебраическим , экспоненциальные и логарифмические операции. «EL» означает как «экспоненциально-логарифмический», так и сокращение от «элементарный».
Является ли число числом замкнутой формы, зависит от того, является ли оно трансцендентным . Формально числа Лиувилля и элементарные числа содержат алгебраические числа и включают некоторые, но не все, трансцендентные числа. Напротив, числа EL не содержат все алгебраические числа, но включают некоторые трансцендентные числа. Числа в замкнутой форме можно изучать с помощью трансцендентной теории чисел , в которой основным результатом является теорема Гельфонда-Шнайдера , а основным открытым вопросом является гипотеза Шануэля .
Для целей числовых вычислений использование замкнутой формы вообще не обязательно, поскольку можно эффективно вычислить многие пределы и интегралы. Некоторые уравнения не имеют решения в замкнутой форме, например, те, которые представляют задачу трех тел или модель Ходжкина – Хаксли . Поэтому будущие состояния этих систем необходимо рассчитывать численно.
Существует программное обеспечение, которое пытается найти выражения в замкнутой форме для числовых значений, включая RIES, [4] идентифицируемое в Maple [5] и SymPy , [6] Plouffe's Inverter, [7] и Обратный символический калькулятор . [8]