Выражение в закрытой форме

Математическая формула, включающая заданный набор операций.

В математике выражение находится в замкнутой форме , если оно образовано константами , переменными и конечным набором основных функций , связанных арифметическими операциями ( +, −, ×, ÷ и целыми степенями ) и композицией функций . Обычно разрешенными функциями являются корень n- й степени , показательная функция , логарифм и тригонометрические функции . ^[1] Однако набор основных функций зависит от контекста.

Проблема закрытой формы возникает, когда вводятся новые способы определения математических объектов , таких как пределы , ряды и интегралы : для заданного объекта, определенного с помощью таких инструментов, естественная проблема состоит в том, чтобы найти, если возможно, выражение этого объекта в замкнутой форме. , то есть выражение этого объекта в терминах предыдущих способов его определения.

Пример: корни многочленов

Квадратичная формула

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

является замкнутой формой решения общего квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

В более общем смысле, в контексте полиномиальных уравнений , замкнутая форма решения — это решение в радикалах ; то есть выражение в закрытой форме, для которого разрешенными функциями являются только корни n -й степени и операции с полями (+-/*). Фактически теория поля позволяет показать, что если решение полиномиального уравнения имеет замкнутую форму, включающую экспоненты, логарифмы или тригонометрические функции, то оно имеет и замкнутую форму, не включающую эти функции. ^{[ нужна цитата ]}

Имеются выражения в радикалах для всех решений уравнений кубической (3-й степени) и уравнений четвертой степени (4-й степени). Однако их редко пишут явно, поскольку они слишком сложны, чтобы быть полезными.

В более высоких степенях теорема Абеля – Руффини утверждает, что существуют уравнения, решения которых не могут быть выражены в радикалах и, следовательно, не имеют замкнутых форм. Простейшим примером является уравнение. Теория Галуа предоставляет алгоритмический метод определения того, может ли конкретное полиномиальное уравнение быть решено в радикалах. ${\displaystyle x^{5}-x+1.}$

Символическая интеграция

Символическое интегрирование состоит по существу из поиска замкнутых форм первообразных функций, заданных выражениями в замкнутой форме. В этом контексте основными функциями, используемыми для определения замкнутых форм, обычно являются логарифмы , показательная функция и корни полинома . Функции, имеющие замкнутую форму для этих основных функций, называются элементарными функциями и включают тригонометрические функции , обратные тригонометрические функции , гиперболические функции и обратные гиперболические функции .

Таким образом, фундаментальная проблема символического интегрирования состоит в том, чтобы, учитывая элементарную функцию, заданную выражением в замкнутой форме, решить, является ли ее первообразная элементарной функцией, и, если да, найти выражение в замкнутой форме для этой первообразной.

Для рациональных функций ; то есть для дробей двух полиномиальных функций ; первообразные не всегда являются рациональными дробями, но всегда представляют собой элементарные функции, которые могут включать логарифмы и корни многочленов. Обычно это доказывается разложением на частичные дроби . Необходимость логарифмов и многочленных корней иллюстрируется формулой

${\displaystyle \int {\frac {f(x)}{g(x)}}\,dx=\sum _{\alpha \in \operatorname {Roots} (g(x))}{\frac {f(\alpha )}{g'(\alpha )}}\ln(x-\alpha ),}$

что справедливо, если и являются взаимно простыми многочленами, такими, что не содержат квадратов и ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \deg f<\deg g.}$

Альтернативные определения

Изменение определения «хорошо известное» для включения дополнительных функций может изменить набор уравнений с решениями в замкнутой форме. Многие кумулятивные функции распределения не могут быть выражены в замкнутой форме, если не считать хорошо известными специальные функции, такие как функция ошибок или гамма-функция . Уравнение пятой степени можно решить, если включить в него общие гипергеометрические функции , хотя решение слишком сложно с алгебраической точки зрения, чтобы быть полезным. Для многих практических компьютерных приложений вполне разумно предположить, что гамма-функция и другие специальные функции хорошо известны, поскольку численные реализации широко доступны.

Аналитическое выражение

Аналитическое выражение (также известное как выражение в аналитической форме или аналитическая формула ) — это математическое выражение , построенное с использованием хорошо известных операций, которые легко поддаются вычислениям. ^{[ неопределенно ] [ нужна ссылка ]} Подобно выражениям закрытой формы, набор разрешенных общеизвестных функций может варьироваться в зависимости от контекста, но всегда включает в себя основные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление), возведение в степень до действительного показателя. (включая извлечение корня n-й степени ) , логарифмы и тригонометрические функции.

Однако класс выражений, считающихся аналитическими, обычно шире, чем класс выражений в замкнутой форме. В частности, обычно допускаются специальные функции , такие как функции Бесселя и гамма-функция , а также часто бесконечные ряды и цепные дроби . С другой стороны, пределы вообще и интегралы в частности обычно исключаются. ^{[ нужна цитата ]}

Если аналитическое выражение включает в себя только алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень до рационального показателя) и рациональные константы, то его более конкретно называют алгебраическим выражением .

Сравнение разных классов выражений

Выражения замкнутой формы — важный подкласс аналитических выражений, которые содержат конечное число применений известных функций. В отличие от более широких аналитических выражений, выражения в замкнутой форме не включают бесконечные ряды или цепные дроби ; ни один из них не включает интегралы или пределы . Действительно, по теореме Стоуна-Вейерштрасса любая непрерывная функция на единичном интервале может быть выражена как предел полиномов, поэтому любой класс функций, содержащих полиномы и замкнутых в пределах, обязательно будет включать все непрерывные функции.

Точно так же говорят, что уравнение или система уравнений имеет решение в замкнутой форме тогда и только тогда, когда хотя бы одно решение может быть выражено в виде выражения в замкнутой форме; и говорят, что оно имеет аналитическое решение тогда и только тогда, когда хотя бы одно решение может быть выражено в виде аналитического выражения. Существует тонкое различие между « функцией замкнутой формы » и «числом замкнутой формы» при обсуждении «решения в замкнутой форме», обсуждаемом в (Chow 1999) и ниже. Закрытое или аналитическое решение иногда называют явным решением .

Работа с выражениями незамкнутой формы

Преобразование в выражения закрытой формы

Выражение:

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2^{n}}}}$$

геометрическую прогрессию,^[2]

$${\displaystyle f(x)=2x.}$$

Дифференциальная теория Галуа

Интеграл выражения в замкнутой форме сам по себе может выражаться или не выражаться как выражение в замкнутой форме. Это исследование называется дифференциальной теорией Галуа по аналогии с алгебраической теорией Галуа.

Основная теорема дифференциальной теории Галуа принадлежит Жозефу Лиувиллю в 1830-х и 1840-х годах и поэтому называется теоремой Лиувилля .

Стандартный пример элементарной функции, первообразная которой не имеет выражения в замкнутой форме:

$${\displaystyle e^{-x^{2}},}$$

с точностью дофункция ошибок

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.}$$

Математическое моделирование и компьютерное моделирование

Уравнения или системы, слишком сложные для решения в замкнутой форме или аналитических решений, часто можно анализировать с помощью математического моделирования и компьютерного моделирования (пример из физики см. в ^[3] ).

Номер закрытой формы

Было предложено три подполя комплексных чисел C как кодирование понятия «числа замкнутой формы»; в порядке возрастания общности это числа Лиувилля (не путать с числами Лиувилля в смысле рационального приближения), числа EL и элементарные числа . Числа Лиувилля , обозначаемые L , образуют наименьшее алгебраически замкнутое подполе C , замкнутое относительно возведения в степень и логарифма (формально, пересечение всех таких подполей) — то есть числа, которые включают явное возведение в степень и логарифмы, но допускают явные и неявные полиномы (корни полиномы); это определено в (Ритт 1948, стр. 60). Первоначально L называлось элементарными числами , но теперь этот термин используется более широко для обозначения чисел, определенных явно или неявно в терминах алгебраических операций, экспонент и логарифмов. Более узкое определение, предложенное в (Chow 1999, стр. 441–442), обозначенное E и называемое числами EL , представляет собой наименьшее подполе C , замкнутое относительно возведения в степень и логарифма - оно не обязательно должно быть алгебраически замкнутым и соответствует явным алгебраическим , экспоненциальные и логарифмические операции. «EL» означает как «экспоненциально-логарифмический», так и сокращение от «элементарный».

Является ли число числом замкнутой формы, зависит от того, является ли оно трансцендентным . Формально числа Лиувилля и элементарные числа содержат алгебраические числа и включают некоторые, но не все, трансцендентные числа. Напротив, числа EL не содержат все алгебраические числа, но включают некоторые трансцендентные числа. Числа в замкнутой форме можно изучать с помощью трансцендентной теории чисел , в которой основным результатом является теорема Гельфонда-Шнайдера , а основным открытым вопросом является гипотеза Шануэля .

Численные расчеты

Для целей числовых вычислений использование замкнутой формы вообще не обязательно, поскольку можно эффективно вычислить многие пределы и интегралы. Некоторые уравнения не имеют решения в замкнутой форме, например, те, которые представляют задачу трех тел или модель Ходжкина – Хаксли . Поэтому будущие состояния этих систем необходимо рассчитывать численно.

Преобразование из числовых форм

Существует программное обеспечение, которое пытается найти выражения в замкнутой форме для числовых значений, включая RIES, ^[4] идентифицируемое в Maple ^[5] и SymPy , ^[6] Plouffe's Inverter, ^[7] и Обратный символический калькулятор . ^[8]

Смотрите также

• Алгебраическое решение  - Решение в радикалах полиномиального уравнения.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Компьютерное моделирование  - процесс математического моделирования, выполняемый на компьютере.
• Элементарная функция  – Математическая функция
• Финитарная операция  – сложение, умножение, деление,...Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Численное решение  – Исследование алгоритмов с использованием численной аппроксимации.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Функция Лиувилля  - Элементарные функции и их конечно повторные интегралы.
• Символьная регрессия  - тип регрессионного анализа.
• Школьная задача по алгебре Тарского  - Математическая задача
• Термин (логика)  – компоненты математической или логической формулы.
• Самореферентная формула Таппера  - формула, которая визуально представляет себя в виде графика.

Рекомендации

1. гиперболические функции , обратные тригонометрические функции и обратные гиперболические функции , поскольку их можно выразить через предыдущие.
2. Холтон, Глин. «Численное решение, решение в закрытой форме». Riskglossary.com . Архивировано из оригинала 4 февраля 2012 года . Проверено 31 декабря 2012 г.
3. Барсан, Виктор (2018). «Решения Зиверта трансцендентных уравнений, обобщенные функции Ламберта и физические приложения». Открытая физика . 16 : 232–242. дои : 10.1515/phys-2018-0034 . Архивировано из оригинала 3 ноября 2023 г.
4. Мунафо, Роберт. «РИС - Найдите алгебраические уравнения по их решению». МРОБ . Проверено 30 апреля 2012 г.
5. «Определить». Онлайн-справка Maple . Мэйплсофт . Проверено 30 апреля 2012 г.
6. «Идентификация номера». Документация SymPy . Архивировано из оригинала 6 июля 2018 г. Проверено 1 декабря 2016 г.
7. "Инвертор Плауфа" . Архивировано из оригинала 19 апреля 2012 года . Проверено 30 апреля 2012 г.
8. «Обратный символьный калькулятор» . Архивировано из оригинала 29 марта 2012 года . Проверено 30 апреля 2012 г.

дальнейшее чтение

• Ритт, Дж. Ф. (1948), Интегрирование в конечных терминах
• Чоу, Тимоти Ю. (май 1999 г.), «Что такое число закрытой формы?», American Mathematical Monthly , 106 (5): 440–448, arXiv : math/9805045 , doi : 10.2307/2589148, JSTOR  2589148
• Джонатан М. Борвейн и Ричард Э. Крэндалл (январь 2013 г.), «Закрытые формы: что это такое и почему нас это волнует», Уведомления Американского математического общества , 60 (1): 50–65, doi : 10.1090/noti936

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Решение в закрытой форме». Математический мир .
• Нейронные сети непрерывного времени закрытой формы