Конус — это трехмерная геометрическая форма , которая плавно сужается от плоского основания (часто, но не обязательно круглого) к точке, называемой вершиной или вершиной .
Конус формируется набором отрезков , полупрямых или линий , соединяющих общую точку (вершину) со всеми точками основания, находящегося в плоскости , не содержащей вершину. В зависимости от автора основание может быть ограничено кругом , любой одномерной квадратичной формой на плоскости, любой замкнутой одномерной фигурой или любым из вышеперечисленных плюс всеми заключенными в них точками. Если заключенные точки включены в основу, конус представляет собой сплошной объект ; в противном случае это двумерный объект в трехмерном пространстве. В случае твердого объекта граница, образованная этими линиями или частичными линиями, называется боковой поверхностью ; если боковая поверхность неограничена, то это коническая поверхность .
В случае отрезков конус не выходит за пределы основания, а в случае полупрямых — бесконечно далеко. В случае линий конус простирается бесконечно далеко в обе стороны от вершины, и в этом случае его иногда называют двойным конусом.. Любая половина двойного конуса на одной стороне вершины называется покровом .
Ось конуса — это прямая линия (если она есть), проходящая через вершину, относительно которой основание (и весь конус) имеет круговую симметрию .
В обычном использовании в элементарной геометрии конусы считаются прямоугольными , где круговой означает, что основание представляет собой круг , а прямой означает, что ось проходит через центр основания под прямым углом к его плоскости. [1] Если конус прямоугольный, то пересечение плоскости с боковой поверхностью представляет собой коническое сечение . Однако в целом основание может иметь любую форму [2] , а вершина может лежать где угодно (хотя обычно предполагается, что основание ограничено и, следовательно, имеет конечную площадь , а вершина лежит вне плоскости основания). Противопоставлением правых конусов являются косые конусы, у которых ось проходит через центр основания неперпендикулярно. [3]
Конус с многоугольным основанием называется пирамидой .
В зависимости от контекста «конус» может также означать выпуклый конус или проективный конус .
Конусы также могут быть обобщены на более высокие измерения .
Периметр основания конуса называется «директрисой», а каждый из отрезков между направляющей и вершиной является «образующей» или «образующей линией» боковой поверхности. (О связи между этим смыслом термина «директриса» и директрисой конического сечения см. Сферы Одуванчика .)
«Радиус основания» круглого конуса — это радиус его основания; часто это называют просто радиусом конуса. Апертура прямого кругового конуса — это максимальный угол между двумя образующими линиями ; если образующая составляет угол θ к оси, апертура равна 2 θ . В оптике угол θ называетсяполовину угла конуса, чтобы отличить его от апертуры.
Конус, часть которого, включая его вершину, отрезана плоскостью, называется усеченным конусом ; если плоскость усечения параллельна основанию конуса, это называется усеченной конусом . [1] Эллиптический конус — это конус с эллиптическим основанием. [1] Обобщенный конус — это поверхность, созданная набором линий, проходящих через вершину и каждую точку на границе (см. также визуальную оболочку ).
Объем любого конического тела равен одной трети произведения площади основания на высоту [4]
В современной математике эту формулу можно легко вычислить с помощью математического анализа — с точностью до масштабирования это интеграл
Центр масс конического тела с одинаковой плотностью находится на четверти пути от центра основания до вершины, на прямой линии, соединяющей их.
Для круглого конуса радиусом r и высотой h основанием является круг площади , поэтому формула объема принимает вид [6]
Наклонная высота прямого кругового конуса — это расстояние от любой точки окружности его основания до вершины через отрезок линии, проходящий вдоль поверхности конуса. Оно определяется выражением , где – радиус основания, – высота. Это можно доказать с помощью теоремы Пифагора .
Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса равна где - радиус круга в нижней части конуса и - наклонная высота конуса. [4] Площадь поверхности нижнего круга конуса такая же, как и у любого круга, . Таким образом, общую площадь поверхности прямого кругового конуса можно выразить следующим образом:
Круглый сектор получается разворачиванием поверхности одного покрова конуса:
Поверхность конуса можно параметризовать как
где – угол «вокруг» конуса, а – «высота» вдоль конуса.
Правый сплошной круговой конус с высотой и отверстием , ось которого является осью координат, а вершина - началом координат, параметрически описывается как
где диапазон превышает , и соответственно.
В неявной форме одно и то же тело определяется неравенствами
где
В более общем смысле, правый круговой конус с вершиной в начале координат, осью, параллельной вектору , и апертурой задается неявным векторным уравнением где
где и обозначает скалярное произведение .
В декартовой системе координат эллиптический конус является геометрическим местом уравнения вида [7]
Это аффинный образ единичного прямокруглого конуса с уравнением. Из того факта, что аффинный образ конического сечения является коническим сечением того же типа (эллипс, парабола,...), получаем:
Очевидно, что любой прямой круговой конус содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно в общем случае (см. круговой раздел ).
Пересечение эллиптического конуса с концентрической сферой представляет собой сферический конус .
В проективной геометрии цилиндр — это просто конус, вершина которого обращена в бесконечность . [8] Интуитивно, если оставить основание фиксированным и принять предел, когда вершина уходит в бесконечность, получится цилиндр, угол стороны которого увеличивается как арктанс , в пределе образуя прямой угол . Это полезно при определении вырожденных коник , которые требуют рассмотрения цилиндрических коник.
По мнению ГБ Хальстеда , конус генерируется аналогично конике Штейнера , только с использованием проективности и осевых карандашей (не в перспективе), а не проективных диапазонов, используемых для коники Штейнера:
«Если два копунктуальных непрямых осевых пучка проективны, но не перспективны, то места пересечения коррелирующих плоскостей образуют «коническую поверхность второго порядка», или «конус». [9]
Определение конуса можно распространить на более высокие измерения; см. выпуклый конус . В этом случае говорят, что выпуклое множество C в вещественном векторном пространстве является конусом (с вершиной в начале координат), если для каждого вектора x в C и каждого неотрицательного действительного числа a вектор ax находится в C . [2] В этом контексте аналоги круглых конусов обычно не являются чем-то особенным; на самом деле часто интересуются многогранными конусами .
Еще более общим понятием является топологический конус , который определяется в произвольных топологических пространствах.