Гармонический ряд (математика)

Расходящаяся сумма всех положительных единичных дробей

В математике гармонический ряд — это бесконечный ряд , образованный суммированием всех положительных единичных дробей :

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots .}$$

Сумма первых членов ряда равна примерно , где – натуральный логарифм , – константа Эйлера – Маскерони . Поскольку логарифм имеет сколь угодно большие значения, гармонический ряд не имеет конечного предела: это расходящийся ряд . Его расходимость была доказана в 14 веке Николь Орем с использованием предшественника теста конденсации Коши для сходимости бесконечных рядов. Также можно доказать, что оно расходится, сравнивая сумму с интегралом в соответствии с интегральным тестом на сходимость . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ln n+\gamma }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$

Приложения гармонического ряда и его частичных сумм включают доказательство Эйлера о том, что существует бесконечно много простых чисел , анализ проблемы коллекционера купонов о том, сколько случайных испытаний необходимо, чтобы получить полный набор ответов, связные компоненты случайных графов , проблема укладки блоков: насколько далеко за край таблицы может выступать стек блоков , а также анализ среднего случая алгоритма быстрой сортировки .

История

Волна и ее гармоники с длинами волн ${\displaystyle 1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots }$

Название гармонического ряда происходит от понятия обертонов или гармоник в музыке : длины волн обертонов колеблющейся струны равны , , , и т. д. основной длине волны струны . ^{[1] [2]} Каждый член гармонического ряда после первого является средним гармоническим значением соседних членов, поэтому члены образуют гармоническую прогрессию ; Фразы «гармоническое среднее» и «гармоническая прогрессия» также происходят из музыки. ^[2] Помимо музыки, гармонические последовательности также пользуются определенной популярностью среди архитекторов. Особенно это было в период барокко , когда архитекторы использовали их для установления пропорций планов этажей , фасадов и для установления гармонических отношений между внутренними и внешними архитектурными деталями церквей и дворцов. ^[3] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

Расходимость гармонического ряда была впервые доказана в 1350 году Николь Орем . ^{[2] [4]} Работа Орема и одновременная работа Ричарда Суайнсхеда над другой серией ознаменовали первое появление бесконечных рядов, отличных от геометрических, в математике. ^[5] Однако это достижение кануло в безвестность. ^[6] Дополнительные доказательства были опубликованы в 17 веке Пьетро Менголи ^{[2] [7]} и Якобом Бернулли . ^{[8] [9] [10]} Бернулли поблагодарил своего брата Иоганна Бернулли за нахождение доказательства, ^[10] и позже оно было включено в собрание сочинений Иоганна Бернулли. ^[11]

Частичные суммы гармонических рядов были названы гармоническими числами и получили свои обычные обозначения в 1968 году Дональдом Кнутом . ^[12] ${\displaystyle H_{n}}$

Определение и расхождение

Гармонический ряд – это бесконечный ряд.

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }$$

единичные долирасходящийся рядчастичные суммы^{[13][1] [13]}

Сравнительный тест

Один из способов доказать расхождение — сравнить гармонический ряд с другим расходящимся рядом, где каждый знаменатель заменяется следующей по величине степенью двойки :

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{3}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{5}}&&+{\frac {1}{6}}&&+{\frac {1}{7}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{9}}&&+\cdots \\[5pt]{}\geq 1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}&&+\cdots \\[5pt]\end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[5pt]{}={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots .\end{aligned}}}$$

)положительного целого числа ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}$$

Николь Орем^[13]конденсации Коши^[14]

Интегральный тест

Прямоугольники, площадь которых задана гармоническим рядом, и гипербола, проходящая через верхние левые углы этих прямоугольников. ${\displaystyle y=1/x}$

Доказать, что гармонический ряд расходится, можно, сравнивая его сумму с несобственным интегралом . В частности, рассмотрим расположение прямоугольников, показанное на рисунке справа. Каждый прямоугольник имеет ширину 1 единицу и высоту, поэтому, если гармонический ряд сходится, то общая площадь прямоугольников будет равна сумме гармонического ряда. Кривая остается полностью ниже верхней границы прямоугольников, поэтому площадь под кривой (в диапазоне от единицы до бесконечности, охватываемом прямоугольниками) будет меньше площади объединения прямоугольников. Однако площадь под кривой определяется расходящимся несобственным интегралом , ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty .}$$

^[13]

На рисунке справа сдвиг каждого прямоугольника влево на 1 единицу приведет к созданию последовательности прямоугольников, граница которых находится ниже кривой, а не над ней. Это показывает, что частные суммы гармонического ряда отличаются от интеграла на величину, ограниченную сверху и снизу единицей площади первого прямоугольника:

$${\displaystyle \int _{1}^{N+1}{\frac {1}{x}}\,dx<\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{i}}<\int _{1}^{N}{\frac {1}{x}}\,dx+1.}$$

Обобщая этот аргумент, можно сказать, что любая бесконечная сумма значений ${\displaystyle n}$тестом на сходимость^[15]

Частичные суммы

Сложение первых членов гармонического ряда дает частичную сумму , называемую гармоническим номером и обозначаемую : ^[12] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}}$

$${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$$

Темпы роста

Эти числа растут очень медленно, с логарифмическим ростом , как видно из интегрального теста. ^[15] Точнее, по формуле Эйлера–Маклорена ,

$${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\varepsilon _{n}}$$

постоянная Эйлера – Маскерони^[16] ${\displaystyle \gamma \approx 0.5772}$ ${\displaystyle 0\leq \varepsilon _{n}\leq 1/8n^{2}}$ ${\displaystyle n}$

Делимость

Никакие гармонические числа не являются целыми числами, за исключением . ^{[17] [18]} Один из способов доказать, что это не целое число, — рассмотреть высшую степень двойки в диапазоне от 1 до . Если – наименьшее общее кратное чисел от 1 до , то можно переписать в виде суммы дробей с равными знаменателями. ${\displaystyle H_{1}=1}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle 2^{k}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{k}}$

$${\displaystyle H_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {M/i}{M}}}$$

а(когда )^[17][18] ${\displaystyle M/2^{k}}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle M}$

Другое доказательство того, что гармонические числа не являются целыми числами, заключается в том, что знаменатель должен делиться на все простые числа, большие , и использует постулат Бертрана для доказательства того, что этот набор простых чисел непуст. Тот же аргумент более убедительно подразумевает, что, за исключением , и , ни одно гармоническое число не может иметь конечное десятичное представление. ^[17] Была высказана гипотеза, что каждое простое число делит числители только конечного подмножества гармонических чисел, но это остается недоказанным. ^[19] ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle H_{1}=1}$ ${\displaystyle H_{2}=1.5}$ ${\displaystyle H_{6}=2.45}$

Интерполяция

Дигамма -функция комплексных чисел

Дигамма -функция определяется как логарифмическая производная гамма -функции.

$${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\big (}\Gamma (x){\big )}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}$$

интерполяциюдигамма. ^[20][21] ${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$

Приложения

Многие известные математические задачи имеют решения, включающие гармонический ряд и его частичные суммы.

Пересечение пустыни

Решение задачи о джипе для , показывающее количество топлива на каждом складе и в джипе на каждом этапе ${\displaystyle n=3}$

Задача о джипах или задача о пересечении пустыни включена в сборник задач 9-го века Алкуина « Propositiones ad Acuendos Juvenes» (сформулированный в терминах верблюдов, а не джипов), но с неверным решением. ^[22] Задача состоит в том, как далеко в пустыню может проехать и вернуться джип, начиная с базы с большим количеством топлива, доставляя часть топлива в пустыню и оставляя его на складах. Оптимальное решение предполагает размещение складов на расстоянии от начальной точки и друг от друга, где - диапазон расстояний, которые джип может преодолеть с одной загрузкой топлива. При каждой поездке от базы и обратно джип размещает еще один склад, по пути дозаправляясь на других складах и помещая как можно больше топлива на новый склад, оставляя при этом достаточно для себя, чтобы вернуться на предыдущий. склады и база. Следовательно, общее расстояние, пройденное за 1-й рейс, равно ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {r}{2n}},{\tfrac {r}{2(n-1)}},{\tfrac {r}{2(n-2)}},\dots }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\frac {r}{2n}}+{\frac {r}{2(n-1)}}+{\frac {r}{2(n-2)}}+\cdots ={\frac {r}{2}}H_{n},}$$

гармоники^[23] ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Например, в версии проблемы Алкуина : верблюд может нести 30 мер зерна и может проехать одну лейку, съев при этом одну меру, где лейка — это единица расстояния, примерно равная 2,3 км (1,4 мили). Проблема в том , что имеется 90 мер зерна, достаточно для снабжения трех рейсов. При стандартной постановке задачи о пересечении пустыни верблюд мог бы проехать лейки и вернуться, разместив зернохранилище в 5 лейках от базы при первом рейсе и в 12,5 лейках от базы при втором рейсе. Однако вместо этого Алкуин задает немного другой вопрос: сколько зерна можно перевезти на расстояние в 30 лейков без последнего обратного пути, и либо застревает в пустыне, либо не учитывает количество зерна, потребляемого верблюдом на своем пути. обратные поездки. ^[22] ${\displaystyle r=30}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle {\tfrac {30}{2}}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{1}})=27.5}$

Укладка блоков

Проблема укладки блоков : блоки, выровненные в соответствии с гармоническим рядом, могут выступать за край стола на номера гармоник.

В задаче о штабелировании блоков необходимо разместить стопку одинаковых прямоугольных блоков, по одному на слой, так, чтобы они свисали как можно дальше от края стола, не падая. Верхний блок можно разместить так, чтобы его длина выходила за пределы следующего нижнего блока. Если он размещен таким образом, следующий нижний блок должен располагаться так, чтобы большая часть его длины выступала за пределы следующего нижнего блока, чтобы центр масс двух верхних блоков поддерживался и они не опрокидывались. Третий блок необходимо разместить так, чтобы большая часть его длины выходила за пределы следующего нижнего блока и так далее. Таким образом, можно разместить блоки таким образом, чтобы они выходили за пределы таблицы, где находится номер гармоники . ^{[24] [25]} Расхождение гармонического ряда подразумевает, что нет предела тому, насколько далеко за пределы таблицы может простираться стек блоков. ^[25] Для стопок с одним блоком на слой лучшее решение невозможно, но значительно большего выступа можно достичь, используя стопки с более чем одним блоком на слой. ^[26] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}H_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Подсчет простых чисел и делителей

В 1737 году Леонард Эйлер заметил, что как формальная сумма гармонический ряд равен произведению Эйлера , в котором каждый член представляет собой простое число :

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\cdots \right)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-1/p}},}$$

распределительного законафакторизациямигеометрической прогрессии ${\displaystyle \mathbb {P} }$

$${\displaystyle \ln \prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-1/p}}=\sum _{p\in \mathbb {P} }\ln {\frac {1}{1-1/p}}=\sum _{p\in \mathbb {P} }\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)=\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{p}}+K.}$$

рядом Тейлорасуществует бесконечно много простых чисел^[27][28]двойной логарифмтеорем Мертенса^[29]числа. теорема^[28] ${\displaystyle K}$

Другая проблема теории чисел, тесно связанная с гармоническим рядом, касается среднего числа делителей чисел в диапазоне от 1 до , формализованного как средний порядок функции делителя : ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{i}}\right\rfloor \leq {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {n}{i}}=H_{n}.}$$

Питер Густав Лежен Дирихлебольших О обозначениепроблема делителей Дирихле^[30] ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle \ln n+2\gamma -1+O(1/{\sqrt {n}})}$

Сбор купонов

График зависимости количества предметов от ожидаемого количества попыток, необходимых для сбора всех предметов

Некоторые распространенные игры или развлечения включают повторение случайного выбора из набора предметов до тех пор, пока не будут выбраны все возможные варианты; к ним относятся сбор коллекционных карточек ^{[31] [32]} и завершение бинго parkrun , цель которого состоит в том, чтобы получить все 60 возможных чисел секунд во времени из последовательности бегущих событий. ^[33] Более серьезные применения этой проблемы включают выборку всех вариантов производимого продукта для контроля его качества , ^[34] и связность случайных графов . ^[35] В ситуациях этой формы, как только из общего количества равновероятных предметов осталось собрать предметы , вероятность сбора нового предмета в результате одного случайного выбора равна и ожидаемое количество случайных выборов, необходимых до тех пор, пока новый товар собран . . Суммирование всех значений от нуля до 1 показывает, что общее ожидаемое количество случайных выборов, необходимых для сбора всех предметов , равно , где – номер гармоники . ^[36] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k/n}$ ${\displaystyle n/k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle nH_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Анализ алгоритмов

Анимация версии быстрой сортировки для среднего случая, с рекурсивными подзадачами, обозначенными заштрихованными стрелками, и с опорными точками (красные элементы и синие линии), выбранными в качестве последнего элемента в каждой подзадаче.

Алгоритм быстрой сортировки набора элементов можно проанализировать с помощью гармонических чисел. Алгоритм работает, выбирая один элемент в качестве «опорной точки», сравнивая его со всеми остальными и рекурсивно сортируя два подмножества элементов, сравнение которых помещает их перед опорной точкой и после нее. Либо в среднем случае сложности (с предположением, что все входные перестановки одинаково вероятны), либо в ожидаемом временном анализе входных данных для наихудшего случая со случайным выбором опорной точки все элементы с равной вероятностью будут выбраны в качестве опорной точки. . В таких случаях можно вычислить вероятность того, что два элемента когда-либо будут сравниваться друг с другом на протяжении всей рекурсии, как функцию количества других элементов, которые разделяют их в окончательном отсортированном порядке. Если элементы и разделены другими элементами, то алгоритм будет выполнять сравнение между ними и только тогда, когда по ходу рекурсии он выбирает или в качестве опорной точки перед выбором любого другого элемента между ними. Поскольку каждый из этих предметов с равной вероятностью будет выбран первым, это происходит с вероятностью . Общее ожидаемое количество сравнений, которое контролирует общее время работы алгоритма, затем может быть рассчитано путем суммирования этих вероятностей по всем парам, что дает ^[37] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k+2}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{k+2}}}$

$${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}\sum _{k=0}^{i-2}{\frac {2}{k+2}}=\sum _{i=1}^{n-1}2H_{i}=O(n\log n).}$$

сравнительной модели сортировки,линейное время^[38]

Похожие серии

Переменный гармонический ряд

Первые четырнадцать частичных сумм чередующихся гармонических рядов (отрезки черной линии) показаны сходящимися к натуральному логарифму 2 (красная линия).

Сериал

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$$

знакопеременный гармонический рядусловно сходитсяпризнаку знака знакопеременного рядаабсолютно сходитсянатуральный логарифм числа 2^[39]

Явно асимптотическое разложение ряда имеет вид

$${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}=H_{2n}-H_{n}=\ln 2-{\frac {1}{2n}}+O(n^{-2})}$$

Использование чередующихся знаков только с нечетными долями единицы дает родственный ряд - формулу Лейбница для π ^[40]

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$$

Дзета-функция Римана

Дзета -функция Римана на самом деле определяется сходящимся рядом ${\displaystyle x>1}$

$${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}={\frac {1}{1^{x}}}+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+\cdots ,}$$

аналитического продолженияголоморфной функциикомплексных чисел , за исключением случаев ,простой полюсрешениепроблемыконстанту Апери ,Роджер Аперииррациональным числомдействительной частью ,гипотезой Римана^[41] ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$ ${\displaystyle \zeta (3)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Случайный гармонический ряд

Случайный гармонический ряд – это

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}$$

независимыми и одинаково распределенными случайными величинамивероятностью . с вероятностью 1теорему Колмогорова о трех рядахней максимальное неравенство Колмогороваслучайную величину , функция плотности вероятностики ибольшеменьше . значениях плотность. ^{[42] [43]} ${\displaystyle s_{n}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle -3}$ ${\displaystyle \pm 2}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}-\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon <10^{-42}}$

Обедненный гармонический ряд

Можно показать, что обедненный гармонический ряд, из которого удалены все члены, в которых цифра 9 появляется где-либо в знаменателе, сходится к значению 22,92067 66192 64150 34816 ... . ^[44] Фактически, когда удаляются все члены, содержащие какую-либо конкретную строку цифр (в любом основании ), ряд сходится. ^[45]

Рекомендации

1. Райс, Адриан (2011). «Гармонический ряд: Букварь». В Джардине, Дик; Шелл-Геллаш, Эми (ред.). Математические капсулы времени: исторические модули для класса математики . Примечания МАА. Том. 77. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. стр. 269–276. ISBN 978-0-88385-984-1.
2. Куллман, Дэвид Э. (май 2001 г.). «Что гармонического в гармоническом ряду?». Математический журнал колледжа . 32 (3): 201–203. дои : 10.2307/2687471. JSTOR  2687471.
3. Херси, Джордж Л. (2001). Архитектура и геометрия в эпоху барокко . Издательство Чикагского университета. стр. 11–12, 37–51. ISBN 978-0-226-32783-9.
4. Орем, Николь (ок. 1360). Quaestiones super Geometriam Euclidis [ Вопросы, касающиеся геометрии Евклида ] (на латыни).
5. Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история . Тексты для студентов по математике (3-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 182. дои : 10.1007/978-1-4419-6053-5. ISBN 978-1-4419-6052-8. МР  2667826.
6. Дербишир, Джон (2003). Основная одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема математики . Вашингтон, округ Колумбия: Джозеф Генри Пресс. п. 10. ISBN 0-309-08549-7. МР  1968857.
7. Менголи, Пьетро (1650). «Praefatio [Предисловие]». Novae Quadaturae arithmeticae, seu De adde Fractionum [ Новая арифметическая квадратура (т. е. интегрирование), или О сложении дробей ] (на латыни). Болонья: Джакомо Монти.Доказательство Менголи проводится от противного: Обозначим через сумму ряда. Сгруппируйте члены ряда в тройки: . Поскольку при , , то , что невозможно ни при каком конечном . Следовательно, ряд расходится. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=1+({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}})+({\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{7}})+\cdots }$ ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x-1}}+{\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{x+1}}>{\tfrac {3}{x}}}$ ${\displaystyle S>1+{\tfrac {3}{3}}+{\tfrac {3}{6}}+{\tfrac {3}{9}}+\cdots =1+1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\cdots =1+S}$ ${\displaystyle S}$
8. Бернулли, Джейкоб (1689). Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis Earumque summa finita [ Арифметические утверждения о бесконечных рядах и их конечных суммах ]. Базель: Дж. Конрад.
9. Бернулли, Якоб (1713). Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis [ Теория вывода, посмертный труд. С «Трактатом о бесконечных сериях… ». Базель: Турнейсен. стр. 250–251.
   Из стр. 250, реквизит. 16:

   " XVI. Summa serei infinitaharmonicè Progressionalium, &c. est infinita. Id primus deprehendit Frater:… ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}}$ "

   [16. Сумма бесконечного ряда гармонической прогрессии бесконечна. Мой брат впервые обнаружил это…] ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+\cdots }$

10. Данэм, Уильям (январь 1987 г.). «Бернулли и гармонический ряд». Математический журнал колледжа . 18 (1): 18–23. дои : 10.1080/07468342.1987.11973001. JSTOR  2686312.
11. Бернулли, Иоганн (1742). «Следствие III из De seriebus varia». Опера Омния . Лозанна и Базель: Марк-Мишель Буске и компания, том. 4, с. 8.Доказательство Иоганна Бернулли также основано на противоречии. Он использует телескопическую сумму для представления каждого члена как ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$
    $${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\Big (}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{n+2}}-{\frac {1}{n+3}}{\Big )}\cdots }$$
    $${\displaystyle ={\frac {1}{n(n+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+{\frac {1}{(n+2)(n+3)}}\cdots }$$
    Изменение порядка суммирования в соответствующих двойных рядах дает в современных обозначениях
    $${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{k(k+1)}}}$$
    $${\displaystyle =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k+1}}=S-1}$$
    .
12. Кнут, Дональд Э. (1968). «1.2.7 Числа гармоник». Искусство компьютерного программирования, Том I: Фундаментальные алгоритмы (1-е изд.). Аддисон-Уэсли. стр. 73–78.Кнут пишет о частичных суммах гармонического ряда: «Эта сумма не очень часто встречается в классической математике, и для нее не существует стандартного обозначения; но при анализе алгоритмов она всплывает почти каждый раз, когда мы оборачиваемся, и мы будет последовательно использовать этот символ ... Буква означает «гармоническое число», и мы называем его «гармоническим числом», потому что [бесконечный ряд] обычно называют гармоническим рядом». ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{n}}$
13. Кифовит, Стивен Дж.; Марки, Терра А. (весна 2006 г.). «Гармонический ряд снова и снова расходится» (PDF) . Обзор АМАТИК . Американская математическая ассоциация двухгодичных колледжей. 27 (2): 31–43.См. также неопубликованное приложение Кифовита «Еще доказательства расходимости гармонического ряда».
14. Рой, Ранджан (декабрь 2007 г.). «Обзор радикального подхода к реальному анализу Дэвида М. Брессуда». Обзор СИАМ . 49 (4): 717–719. JSTOR  20454048. Можно отметить, что тест конденсации Коши представляет собой просто расширение аргумента Орема о расходимости гармонического ряда.
15. Брессуд, Дэвид М. (2007). Радикальный подход к реальному анализу. Серия учебных материалов (2-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. стр. 137–138. ISBN 978-0-88385-747-2. МР  2284828.
16. Боас, Р.П. младший ; Ренч, Дж. В. младший (1971). «Частичные суммы гармонического ряда». Американский математический ежемесячник . 78 (8): 864–870. дои : 10.1080/00029890.1971.11992881. JSTOR  2316476. МР  0289994.
17. Хэвил, Джулиан (2003). «Глава 2: Гармонический ряд». Гамма: изучение постоянной Эйлера . Издательство Принстонского университета. стр. 21–25. ISBN 978-0-691-14133-6.
18. Ослер, Томас Дж. (ноябрь 2012 г.). «96.53 Частичные суммы рядов, которые не могут быть целыми числами». Математический вестник . 96 (537): 515–519. дои : 10.1017/S0025557200005167. JSTOR  24496876. S2CID  124359670.См., в частности, теорему 1, с. 516.
19. Санна, Карло (2016). «О -адической оценке гармонических чисел». Журнал теории чисел . 166 : 41–46. дои : 10.1016/j.jnt.2016.02.020. hdl : 2318/1622121 . МР  3486261. ${\displaystyle p}$
20. Росс, Бертрам (1978). «Пси-функция». Журнал «Математика» . 51 (3): 176–179. дои : 10.1080/0025570X.1978.11976704. JSTOR  2689999. MR  1572267.
21. Софо, Энтони; Шривастава, ХМ (2015). «Семейство сдвинутых гармонических сумм». Журнал Рамануджана . 37 : 89–108. дои : 10.1007/s11139-014-9600-9. S2CID  254990799.
22. Хэдли, Джон; Сингмастер, Дэвид (март 1992 г.). «Проблемы обострения молодежи: аннотированный перевод Propositiones ad acuendos juvenes ». Математический вестник . 76 (475): 102–126. дои : 10.2307/3620384. JSTOR  3620384. S2CID  125835186.См. задачу 52: De homine patrefamilias – Хозяин поместья, стр. 124–125.
23. Гейл, Дэвид (май 1970 г.). «Джип еще раз или джиперы дюжиной». Американский математический ежемесячник . 77 (5): 493–501. дои : 10.1080/00029890.1970.11992525. JSTOR  2317382.
24. Грэм, Рональд ; Кнут, Дональд Э .; Паташник, Орен (1989). «6.3 Гармонические числа». Конкретная математика (2-е изд.). Аддисон-Уэсли . стр. 272–278. ISBN 978-0-201-55802-9.
25. Шарп, RT (1954). «Задача 52: Нависающие домино» (PDF) . Журнал Пи Му Эпсилон . 1 (10): 411–412.
26. Патерсон, Майк ; Перес, Юваль ; Торуп, Миккель ; Винклер, Питер ; Цвик, Ури (2009). «Максимальный вылет». Американский математический ежемесячник . 116 (9): 763–787. дои : 10.4169/000298909X474855. МР  2572086. S2CID  1713091.
27. Эйлер, Леонард (1737). «Различные наблюдения относительно бесконечных серий». Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (на латыни). 9 : 160–188.
28. Рубинштейн-Сальцедо, Саймон (2017). «Мог ли Эйлер предположить теорему о простых числах?». Журнал «Математика» . 90 (5): 355–359. arXiv : 1701.04718 . дои : 10.4169/math.mag.90.5.355. JSTOR  10.4169/math.mag.90.5.355. MR  3738242. S2CID  119165483.
29. Поллак, Пол (2015). «Эйлер и частичные суммы простых гармонических рядов». Элементы математики . 70 (1): 13–20. дои : 10.4171/EM/268. МР  3300350.
30. Цанг, Кай-Ман (2010). «Недавний прогресс в решении проблемы делителей Дирихле и среднего квадрата дзета-функции Римана». Наука Китай . 53 (9): 2561–2572. Бибкод : 2010ScChA..53.2561T. дои : 10.1007/s11425-010-4068-6. hdl : 10722/129254 . MR  2718848. S2CID  6168120.
31. Маунселл, Ф.Г. (октябрь 1938 г.). «Проблема картофилии». Математический вестник . 22 (251): 328–331. дои : 10.2307/3607889. JSTOR  3607889. S2CID  126381029.
32. Герке, Оке (апрель 2013 г.). «Сколько мне будет стоить собрать коллекцию футбольных коллекционных карточек?». Преподавание статистики . 35 (2): 89–93. дои : 10.1111/test.12005. S2CID  119887116.
33. Паркер, Мэтт (12 февраля 2022 г.). «Проблема коллекционера купонов (с Джеффом Маршаллом)». Стендап-математика . YouTube.
34. Луко, Стивен Н. (март 2009 г.). «Проблема коллекционера купонов» и контроль качества». Инженерия качества . 21 (2): 168–181. дои : 10.1080/08982110802642555. S2CID  109194745.
35. Фриз, Алан ; Каронский, Михал (2016). «4.1 Связь». Введение в случайные графы . Издательство Кембриджского университета, Кембридж. стр. 64–68. дои : 10.1017/CBO9781316339831. ISBN 978-1-107-11850-8. МР  3675279.
36. Исаак, Ричард (1995). «8.4 Проблема сборщика купонов решена». Удовольствия вероятности . Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 80–82. дои : 10.1007/978-1-4612-0819-8. ISBN 0-387-94415-Х. МР  1329545.
37. Кормен, Томас Х .; Лейзерсон, Чарльз Э .; Ривест, Рональд Л .; Штейн, Клиффорд (2009) [1990]. «Глава 7: Быстрая сортировка». Введение в алгоритмы (3-е изд.). MIT Press и McGraw-Hill. стр. 170–190. ISBN 0-262-03384-4.
38. Кормен и др. (2009), раздел 8.1, «Нижние границы сортировки», стр. 191–193.
39. Френиче, Франсиско Дж. (2010). «О теореме Римана о перестановке знакопеременного гармонического ряда» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 117 (5): 442–448. дои : 10.4169/000298910X485969. JSTOR  10.4169/000298910x485969. МР  2663251. S2CID  20575373.
40. Содди, Ф. (1943). «Три бесконечных гармонических ряда и их суммы (с актуальной ссылкой на ряды Ньютона и Лейбница для π {\displaystyle \pi })». Труды Королевского общества . 182 (989): 113–129. Бибкод : 1943RSPSA.182..113S. дои : 10.1098/rspa.1943.0026 . MR  0009207. S2CID  202575422.
41. Бомбьери, Э. (2010). «Классическая теория дзета- и -функций». Миланский математический журнал . 78 (1): 11–59. дои : 10.1007/s00032-010-0121-8. МР  2684771. S2CID  120058240. ${\displaystyle L}$
42. Шмуланд, Байрон (май 2003 г.). «Случайный гармонический ряд» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 110 (5): 407–416. дои : 10.2307/3647827. JSTOR  3647827.
43. Беттин, Сандро; Молтени, Джузеппе; Санна, Карло (2018). «Малые значения знаковых гармонических сумм». Comptes Rendus Mathématique . 356 (11–12): 1062–1074. arXiv : 1806.05402 . doi :10.1016/j.crma.2018.11.007. hdl : 2434/634047. MR  3907571. S2CID  119160796.
44. Бэйли, Роберт (май 1979 г.). «Суммы обратных целых чисел, в которых отсутствует данная цифра». Американский математический ежемесячник . 86 (5): 372–374. дои : 10.1080/00029890.1979.11994810. JSTOR  2321096.
45. Шмельцер, Томас; Бэйли, Роберт (июнь 2008 г.). «Подведение итогов любопытного, медленно сходящегося ряда». Американский математический ежемесячник . 115 (6): 545–540. дои : 10.1080/00029890.2008.11920559. JSTOR  27642532. S2CID  11461182.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гармонический ряд». Математический мир .