постоянная Эйлера

Связывает логарифм и гармонический ряд.

Постоянное значение, используемое в математике

Площадь синей области сходится к постоянной Эйлера.

Константа Эйлера (иногда называемая константой Эйлера-Машерони ) — математическая константа , обычно обозначаемая строчной греческой буквой гамма ( γ ), определяемая как предельная разница между гармоническим рядом и натуральным логарифмом , обозначаемым здесь log :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(-\log n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\[5px]&=\int _{1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}\right)\,dx.\end{aligned}}}$$

Здесь ⌊ ⌋ представляет функцию пола .

Числовое значение постоянной Эйлера с точностью до 50 десятичных знаков составляет: ^[1]

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 ... 

Нерешенная задача по математике :

Иррациональна ли постоянная Эйлера? Если да, то трансцендентно ли оно?

(еще нерешенные задачи по математике)

История

Константа впервые появилась в 1734 году в статье швейцарского математика Леонарда Эйлера под названием De Progressionibus Harmonicis Observes (Индекс Энестрема 43). Эйлер использовал обозначения C и O для константы. В 1790 году итальянский математик Лоренцо Маскерони использовал для константы обозначения А и а . Обозначение γ нигде не встречается в трудах Эйлера или Маскерони и было выбрано позже, возможно, из-за связи константы с гамма-функцией . ^[2] Например, немецкий математик Карл Антон Бретшнайдер использовал обозначение γ в 1835 году, ^[3] а Огастес Де Морган использовал его в учебнике, опубликованном частями с 1836 по 1842 год. ^[4]

Появления

Константа Эйлера появляется, среди прочего, в следующих местах (где «*» означает, что эта запись содержит явное уравнение):

• Выражения, включающие экспоненциальный интеграл *
• Преобразование Лапласа * натурального логарифма
• Первый член разложения в ряд Лорана для дзета-функции Римана *, где он является первой из констант Стилтьеса *
• Расчеты дигамма-функции
• Формула произведения гамма-функции
• Асимптотическое разложение гамма-функции для малых аргументов.
• Неравенство для функции Эйлера
• Скорость роста функции делителя
• О размерной регуляризации диаграмм Фейнмана в квантовой теории поля
• Расчет постоянной Мейселя–Мертенса
• Третья теорема Мертенса *
• Решение второго рода уравнения Бесселя
• При регуляризации/ перенормировке гармонического ряда как конечной величины
• Среднее значение распределения Гамбеля
• Информационная энтропия распределений Вейбулла и Леви и , неявно, распределения хи-квадрат для одной или двух степеней свободы.
• Ответ на задачу коллекционера купонов *
• В некоторых формулировках закона Ципфа
• Определение интеграла косинуса *
• Нижние оценки простого разрыва
• Верхняя граница энтропии Шеннона в квантовой теории информации ^[5]
• Модель Фишера-Орра генетики адаптации в эволюционной биологии ^[6]

Характеристики

Алгебраическое или трансцендентное число γ не доказано . На самом деле неизвестно даже, является ли γ иррациональным . Используя анализ непрерывных дробей , Папаниколау в 1997 году показал, что если γ рационально , то его знаменатель должен быть больше 10 ²⁴⁴⁶⁶³ . ^{[7] [8]} Повсеместное распространение γ , выявленное большим количеством приведенных ниже уравнений, делает иррациональность γ главным открытым вопросом в математике. ^[9]

Однако определенный прогресс был достигнут. Курт Малер показал в 1968 году, что число трансцендентно (здесь и — функции Бесселя ). ^{[10] [2]} В 2009 году Александр Аптекарев доказал, что по крайней мере одна из констант Эйлера γ и константы Эйлера-Гомпертца δ иррациональна; ^[11] Танги Ривоал доказал в 2012 году, что по крайней мере один из них трансцендентален. ^{[12] [2]} В 2010 году М. Рам Мурти и Н. Сарадха показали, что не более одного из чисел вида ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}{\frac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$

$${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{a+kq}}\right)-{\frac {\log {(a+nq})}{q}}\right)}$$

при q ≥ 2 и 1 ≤ a < q является алгебраическим; это семейство включает частный случай γ (2,4) =γ/4. ^{[2] [13]} В 2013 году М. Рам Мурти и А. Зайцева нашли другое семейство, содержащее γ , которое основано на суммах обратных целых чисел, не делящихся на фиксированный список простых чисел, с тем же свойством. ^{[2] [14]}

Связь с гамма-функцией

γ связана с дигамм-функцией Ψ и, следовательно, с производной гамма -функции Γ , когда обе функции оцениваются как 1. Таким образом:

$${\displaystyle -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).}$$

Это соответствует пределам:

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)\\&=\lim _{z\to 0}\left(\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right).\end{aligned}}}$$

Дальнейшие предельные результаты: ^[15]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Предел, связанный с бета-функцией (выраженный через гамма-функции ), равен

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\log {\big (}\Gamma (k+1){\big )}.\end{aligned}}}$$

Связь с дзета-функцией

γ также можно выразить как бесконечную сумму , члены которой включают дзета-функцию Римана , оцениваемую как положительные целые числа:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\log {\frac {4}{\pi }}+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}}$$

Другие серии, связанные с дзета-функцией, включают:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\tfrac {3}{2}}-\log 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}{\big (}\zeta (m)-1{\big )}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n-1}{2n}}-\log n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{mn}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\log 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Член ошибки в последнем уравнении является быстро убывающей функцией n . В результате формула хорошо подходит для эффективного вычисления константы с высокой точностью.

Другими интересными пределами, равными константе Эйлера, являются антисимметричные пределы: ^[16]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)\\&=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)\\&=\lim _{s\to 0}{\frac {\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}}\end{aligned}}}$$

и следующая формула, установленная в 1898 году де ла Валле-Пуссеном :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)}$$

где ⌈ ⌉ — потолочные кронштейны. Эта формула показывает, что если взять любое положительное целое число n и разделить его на каждое положительное целое число k меньшее n , то средняя доля, на которую частное n / k не дотягивает до следующего целого числа, стремится к γ (а не к 0,5), поскольку n стремится к бесконечность.

С этим тесно связано выражение рационального дзета-ряда . Взяв отдельно первые несколько членов приведенного выше ряда, можно получить оценку предела классического ряда:

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}\right),}$$

где ζ ( s , k ) — дзета-функция Гурвица . Сумма в этом уравнении включает в себя номера гармоник H _n . Разложение некоторых членов дзета-функции Гурвица дает:

$${\displaystyle H_{n}=\log(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon ,}$$

0 < ε <1/252 н ⁶.

γ также можно выразить следующим образом, где A — константа Глейшера–Кинкелина :

$${\displaystyle \gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi )+{\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)}$$

γ также можно выразить следующим образом, что можно доказать, выразив дзета-функцию в виде ряда Лорана :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(-n+\zeta {\Bigl (}{\frac {n+1}{n}}{\bigr )}\right)}$$

Интегралы

γ равен значению ряда определенных интегралов :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log x\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\log \left(\log {\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx-\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\log x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\,dx,\\&=\int _{0}^{1}H_{x}\,dx,\\&={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }\log \left(1+{\frac {\log \left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)dt\\&=1-\int _{0}^{1}\{1/x\}dx\end{aligned}}}$$

H _xдробный номер гармоникидробная ${\displaystyle \{1/x\}}$ ${\displaystyle 1/x}$

Третью формулу в списке интегралов можно доказать следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}+x-1}{x[e^{x}-1]}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[e^{x}-1]}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!}}dx\\[2pt]&=\int _{0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{e^{x}-1}}dx\\[2pt]&=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}m!\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}\\[2pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{n}}-\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]=\gamma \end{aligned}}}$$

Интеграл во второй строке уравнения обозначает значение функции Дебая +∞ , которое равно m !  ζ ( м + 1) .

Определенные интегралы, в которых появляется γ , включают:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\log x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\log 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\end{aligned}}}$$

γ можно выразить , используя частный случай формулы Хаджикостаса в виде двойного интеграла ^{[9] [17]} с эквивалентным рядом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right).\end{aligned}}}$$

Интересное сравнение Сондоу ^[17] — двойной интеграл и знакопеременный ряд

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Он показывает этот журнал4/πможно рассматривать как «переменную постоянную Эйлера».

Две константы также связаны парой рядов ^[18]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\\\log {\frac {4}{\pi }}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}},\end{aligned}}}$$

где N ₁ ( n ) и N ₀ ( n ) — количество единиц и нулей соответственно в разложении n по основанию 2 .

У нас также есть интеграл Каталана 1875 года ^[19]

$${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\right)\,dx.}$$

Расширения серии

В общем,

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\log(n+\alpha )\right)\equiv \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}(\alpha )}$$

для любого α > − n . Однако скорость сходимости этого разложения существенно зависит от α . В частности, γ _n (1/2) демонстрирует гораздо более быструю сходимость, чем обычное разложение γ _n (0) . ^{[20] [21]} Это потому, что

$${\displaystyle {\frac {1}{2(n+1)}}<\gamma _{n}(0)-\gamma <{\frac {1}{2n}},}$$

пока

$${\displaystyle {\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\gamma _{n}(1/2)-\gamma <{\frac {1}{24n^{2}}}.}$$

Несмотря на это, существуют другие разложения в ряды, которые сходятся быстрее, чем это; некоторые из них обсуждаются ниже.

Эйлер показал, что следующий бесконечный ряд приближается к γ :

$${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-\log \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right).}$$

Ряд для γ эквивалентен ряду Нильсена , найденному в 1897 году: ^{[15] [22]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k+1}}.}$$

В 1910 году Вакка обнаружил тесно связанные серии ^{[23] [24] [25] [26] [27] [15] [28]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}\\[5pt]&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}-{\tfrac {1}{11}}+\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots ,\end{aligned}}}$$

где log ₂ — логарифм по основанию 2, а ⌊  ⌋ — это нижняя функция .

В 1926 году он нашел вторую серию:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma +\zeta (2)&=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)\\[5pt]&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

Из разложения Мальмстена – Куммера для логарифма гамма-функции ^[29] получаем:

$${\displaystyle \gamma =\log \pi -4\log \left(\Gamma ({\tfrac {3}{4}})\right)+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}.}$$

Важное расширение постоянной Эйлера принадлежит Фонтане и Маскерони .

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|G_{n}|}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {19}{2880}}+{\frac {3}{800}}+\cdots ,}$$

Gn _—Грегори^{[15] [28] [30]}k = 1

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{k-1}-\log k+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!|G_{n}|}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}&&\\&=H_{k-1}-\log k+{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{12k(k+1)}}+{\frac {1}{12k(k+1)(k+2)}}+{\frac {19}{120k(k+1)(k+2)(k+3)}}+\cdots &&\end{aligned}}}$$

сходящийся для k = 1, 2, ...

Аналогичным рядом с числами Коши второго рода C _n является ^{[28] [31]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}}{n\,(n+1)!}}=1-{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{72}}-{\frac {1}{32}}-{\frac {251}{14400}}-{\frac {19}{1728}}-\ldots }$$

Благушин (2018) нашел интересное обобщение ряда Фонтаны – Маскерони.

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1}$$

где ψn ₍ a ) — полиномы Бернулли второго рода , определяемые производящей функцией

$${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{s}}{\log(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s),\qquad |z|<1.}$$

Для любого рационального а этот ряд содержит только рациональные члены. Например, при a = 1 это становится ^{[32] [33]}

$${\displaystyle \gamma ={\frac {3}{4}}-{\frac {11}{96}}-{\frac {1}{72}}-{\frac {311}{46080}}-{\frac {5}{1152}}-{\frac {7291}{2322432}}-{\frac {243}{100352}}-\ldots }$$

$${\displaystyle \gamma =-\log(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1}$$

и

$${\displaystyle \gamma =-{\frac {2}{1+2a}}\left\{\log \Gamma (a+1)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{n}}\right\},\qquad \Re (a)>-1}$$

где Γ( a ) — гамма-функция . ^[30]

Серия, связанная с алгоритмом Акиямы – Танигавы:

$${\displaystyle \gamma =\log(2\pi )-2-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}G_{n}(2)}{n}}=\log(2\pi )-2+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{540}}+{\frac {17}{2880}}+{\frac {41}{12600}}+\ldots }$$

где G _n (2) – коэффициенты Грегори второго порядка. ^[30]

В виде ряда простых чисел :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\log n-\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}\right).}$$

Асимптотические разложения

γ равен следующим асимптотическим формулам (где H _n — номер n -й гармоники ):

• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log n-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+\cdots }$( Эйлер )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{2}}}+\cdots }\right)}$( Негой )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-{\frac {\log n+\log(n+1)}{2}}-{\frac {1}{6n(n+1)}}+{\frac {1}{30n^{2}(n+1)^{2}}}-\cdots }$( Чезаро )

Третью формулу еще называют расширением Рамануджана .

Алабдулмохсин вывел замкнутые выражения для сумм ошибок этих аппроксимаций. ^[31] Он показал, что (теорема A.1):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }\log n+\gamma -H_{n}+{\frac {1}{2n}}&={\frac {\log(2\pi )-1-\gamma }{2}}\\\sum _{n=1}^{\infty }\log {\sqrt {n(n+1)}}+\gamma -H_{n}&={\frac {\log(2\pi )-1}{2}}-\gamma \\\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\Big (}\log n+\gamma -H_{n}{\Big )}&={\frac {\log \pi -\gamma }{2}}\end{aligned}}}$$

Экспоненциальный

Константа e ^γ важна в теории чисел. Некоторые авторы обозначают эту величину просто как γ ′ . e ^γ соответствует следующему пределу , где p _n — n -е простое число :

$${\displaystyle e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}.}$$

Это подтверждает третью теорему Мертенса . ^[34] Числовое значение e ^γ : ^[35]

1,78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343 ... .

Другие бесконечные произведения , относящиеся к e ^γ , включают:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{1+{\frac {\gamma }{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-1+{\frac {1}{2n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\\{\frac {e^{3+2\gamma }}{2\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-2+{\frac {2}{n}}}\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$$

Эти продукты являются результатом G -функции Барнса .

Кроме того,

$${\displaystyle e^{\gamma }={\sqrt {\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}}\cdot {\sqrt[{5}]{\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}}\cdots }$$

где n- й множитель — это корень ( n + 1) -й степени из

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.}$$

Это бесконечное произведение, впервые открытое Сером в 1926 году, было переоткрыто Сондоу с помощью гипергеометрических функций . ^[36]

Также верно, что ^[37]

$${\displaystyle {\frac {e^{\frac {\pi }{2}}+e^{-{\frac {\pi }{2}}}}{\pi e^{\gamma }}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(e^{-{\frac {1}{n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)\right).}$$

Непрерывная дробь

Начинается разложение γ в непрерывную дробь [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...], [38] который ^не имеет явного шаблон. Известно, что непрерывная дробь имеет не менее 475 006 членов ^[7] и имеет бесконечное число членов тогда и только тогда, когда γ иррационально.

Обобщения

abm( x ) знак равно γ _{- x}

Обобщенные константы Эйлера имеют вид

$${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x^{\alpha }}}\,dx\right),}$$

для 0 < α <1 , где γ является частным случаем α = 1 . ^[39] Это можно далее обобщить до

$${\displaystyle c_{f}=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}f(k)-\int _{1}^{n}f(x)\,dx\right)}$$

для некоторой произвольной убывающей функции f . Например,

$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(\log x)^{n}}{x}}}$$

порождает константы Стилтьеса , и

$${\displaystyle f_{a}(x)=x^{-a}}$$

дает

$${\displaystyle \gamma _{f_{a}}={\frac {(a-1)\zeta (a)-1}{a-1}}}$$

где опять предел

$${\displaystyle \gamma =\lim _{a\to 1}\left(\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}\right)}$$

появляется.

Двумерным предельным обобщением является константа Массера – Грамена.

Константы Эйлера–Лемера задаются суммированием обратных чисел в общем классе по модулю: ^[13]

$${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{x\to \infty }\left(\sum _{0<n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {1}{n}}-{\frac {\log x}{q}}\right).}$$

Основные свойства:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\gamma (0,q)={\frac {\gamma -\log q}{q}},\\&\sum _{a=0}^{q-1}\gamma (a,q)=\gamma ,\\&q\gamma (a,q)=\gamma -\sum _{j=1}^{q-1}e^{-{\frac {2\pi aij}{q}}}\log \left(1-e^{\frac {2\pi ij}{q}}\right),\end{aligned}}}$$

и если наибольший общий делитель НОД( a , q ) = d , то

$${\displaystyle q\gamma (a,q)={\frac {q}{d}}\gamma \left({\frac {a}{d}},{\frac {q}{d}}\right)-\log d.}$$

Опубликованные цифры

Эйлер первоначально рассчитал значение константы с точностью до 6 знаков после запятой. В 1781 году он вычислил ее с точностью до 16 знаков после запятой. Маскерони попытался вычислить константу до 32 десятичных знаков, но допустил ошибки в 20–22 и 31–32 знаках после запятой; начиная с 20-й цифры, он вычислил ... 181 12090082 39 , когда правильное значение равно ... 065 12090082 40 .

Рекомендации

• Бретшнайдер, Карл Антон (1837) [1835]. «Теории логарифмов интегралиса, новая линия». Журнал Крелля (на латыни). 17 : 257–285.
• Хэвил, Джулиан (2003). Гамма: изучение постоянной Эйлера . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-09983-5.
• Рам Мурти, М.; Сарадха, Н. (2010). «Константы Эйлера – Лемера и гипотеза Эрдеша». Журнал теории чисел . 130 (12): 2671–2681. дои : 10.1016/j.jnt.2010.07.004 . ISSN  0022-314X.

Сноски

1. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001620 (Десячное разложение константы Эйлера (или константы Эйлера-Машерони), гамма)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
2. Lagarias, Джеффри К. (октябрь 2013 г.). «Константа Эйлера: работа Эйлера и современные разработки». Бюллетень Американского математического общества . 50 (4): 556. arXiv : 1303.1856 . дои : 10.1090/s0273-0979-2013-01423-x. S2CID  119612431.
3. Бретшнайдер 1837, « γ = c = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3... » на стр. 260.
4. Де Морган, Август (1836–1842). Дифференциальное и интегральное исчисление . Лондон: Болдуин и Крэддок. « γ » на стр. 578.
5. Кейвс, Карлтон М .; Фукс, Кристофер А. (1996). «Квантовая информация: сколько информации в векторе состояния?». Дилемма Эйнштейна, Подольского и Розена – 60 лет спустя . Израильское физическое общество. arXiv : Quant-ph/9601025 . Бибкод : 1996quant.ph..1025C. ISBN 9780750303941. ОСЛК  36922834.
6. Конналлон, Тим; Ходжинс, Кэтрин А. (октябрь 2021 г.). «Аллен Орр и генетика адаптации». Эволюция . 75 (11): 2624–2640. дои : 10.1111/evo.14372. PMID  34606622. S2CID  238357410.
7. Хайбле, Бруно; Папаниколау, Томас (1998). «Быстрая многоточечная оценка рядов рациональных чисел». В Бюлере, Джо П. (ред.). Алгоритмическая теория чисел . Конспекты лекций по информатике. Том. 1423. Спрингер. стр. 338–350. дои : 10.1007/bfb0054873. ISBN 9783540691136.
8. Папаниколау, Т. (1997). Entwurf und Entwicklung einer objektorientierten Bibliothek für programische Zahlentheorie (Диссертация) (на немецком языке). Университет Саара.
9. См. также Сондоу, Джонатан (2003). «Критерии иррациональности постоянной Эйлера». Труды Американского математического общества . 131 (11): 3335–3344. arXiv : math.NT/0209070 . doi : 10.1090/S0002-9939-03-07081-3. S2CID  91176597.
10. Малер, Курт; Морделл, Луи Джоэл (4 июня 1968 г.). «Применения теоремы А.Б. Шидловского». Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 305 (1481): 149–173. Бибкод : 1968RSPSA.305..149M. дои : 10.1098/rspa.1968.0111. S2CID  123486171.
11. Аптекарев, А.И. (28 февраля 2009 г.). «О линейных формах, содержащих константу Эйлера». arXiv : 0902.1768 [math.NT].
12. Ривоал, Танги (2012). «Об арифметической природе значений гамма-функции, константы Эйлера и константы Гомпертца». Мичиганский математический журнал . 61 (2): 239–254. дои : 10.1307/mmj/1339011525 . ISSN  0026-2285.
13. Рам Мурти и Сарадха 2010.
14. Мурти, М. Рам; Зайцева, Анастасия (2013). «Трансцендентность обобщенных констант Эйлера». Американский математический ежемесячник . 120 (1): 48–54. doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.01.048. ISSN  0002-9890. JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.120.01.048. S2CID  20495981.
15. Кремер, Стефан (2005). Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen (на немецком языке). Геттингенский университет.
16. Сондоу, Джонатан (1998). «Антисимметричная формула для постоянной Эйлера». Журнал «Математика» . 71 (3): 219–220. дои : 10.1080/0025570X.1998.11996638. Архивировано из оригинала 4 июня 2011 г. Проверено 29 мая 2006 г.
17. Сондоу, Джонатан (2005). «Двойные интегралы для постоянной Эйлера и аналога формулы Хаджикостаса». Американский математический ежемесячник . 112 (1): 61–65. arXiv : math.CA/0211148 . дои : 10.2307/30037385. JSTOR  30037385. ${\displaystyle \log {\frac {4}{\pi }}}$
18. Сондоу, Джонатан (1 августа 2005a). Новый рациональный ряд типа Вакка для постоянной Эйлера и ее «переменного» аналога . arXiv : math.NT/0508042 . ${\displaystyle \log {\frac {4}{\pi }}}$
19. Сондоу, Джонатан; Зудилин, Вадим (2006). «Константа Эйлера, q -логарифмы и формулы Рамануджана и Госпера». Журнал Рамануджана . 12 (2): 225–244. arXiv : math.NT/0304021 . дои : 10.1007/s11139-006-0075-1. S2CID  1368088.
20. ДеТемпл, Дуэйн В. (май 1993 г.). «Более быстрая сходимость к постоянной Эйлера». Американский математический ежемесячник . 100 (5): 468–470. дои : 10.2307/2324300. ISSN  0002-9890. JSTOR  2324300.
21. Хэвил 2003, стр. 75–8.
22. Благоушин 2016.
23. Вакка, Г. (1910). «Новое аналитическое выражение для числа π и некоторые исторические соображения». Бюллетень Американского математического общества . 16 : 368–369. дои : 10.1090/S0002-9904-1910-01919-4 .
24. Глейшер, Джеймс Уитбред Ли (1910). «О серии доктора Вакки для γ ». QJ Pure Appl. Математика . 41 : 365–368.
25. Харди, GH (1912). «Заметка о серии доктора Вакки по γ ». QJ Pure Appl. Математика . 43 : 215–216.
26. Вакка, Г. (1926). «Новая серия для стоимости Эйлеро, C = 0,577...». Рендиконти, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche». Matematiche e Naturali (на итальянском языке). 6 (3): 19–20.
27. Клюйвер, JC (1927). «Об определенных сериях мистера Харди». QJ Pure Appl. Математика . 50 : 185–192.
28. Благоушин, Ярослав В. (2016). «Разложение обобщенных констант Эйлера в ряды полиномов от π ⁻² и в формальный обертывающий ряд только с рациональными коэффициентами». Дж. Теория чисел . 158 : 365–396. arXiv : 1501.00740 . дои : 10.1016/j.jnt.2015.06.012.
29. Благоушин, Ярослав В. (2014). «Повторное открытие интегралов Мальмстена, их оценка методами контурного интегрирования и некоторые связанные с этим результаты». Журнал Рамануджана . 35 (1): 21–110. дои : 10.1007/s11139-013-9528-5. S2CID  120943474.
30. Благоушин, Ярослав В. (2018). «Три замечания о представлениях Сера и Хассе для дзета-функций». ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА: Электронный журнал комбинаторной теории чисел . 18А (#А3): 1–45. arXiv : 1606.02044 . Бибкод : 2016arXiv160602044B.
31. Алабдулмохсин, Ибрагим М. (2018). Суммируемое исчисление. Комплексная теория дробных конечных сумм . Спрингер . стр. 147–8. ISBN 9783319746487.
32. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A302120 (Абсолютное значение числителей ряда, сходящегося к константе Эйлера)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
33. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A302121 (Знаменатели ряда, сходящегося к постоянной Эйлера)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
34. Рамаре, Оливье (2022). Экскурсии по мультипликативной теории чисел. Расширенные тексты Birkhäuser: Базельские учебники. Базель: Биркхойзер/Шпрингер. п. 131. дои : 10.1007/978-3-030-73169-4. ISBN 978-3-030-73168-7. MR  4400952. S2CID  247271545.
35. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A073004 (десятичное расширение exp (гамма))». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
36. Сондоу, Джонатан (2003). «Бесконечное произведение для e ^γ с помощью гипергеометрических формул для константы Эйлера γ ». arXiv : math.CA/0306008 .
37. Чой, Джунсанг; Шривастава, Ее Величество (1 сентября 2010 г.). «Интегральные представления для постоянной Эйлера – Маскерони γ ». Интегральные преобразования и специальные функции . 21 (9): 675–690. дои : 10.1080/10652461003593294. ISSN  1065-2469. S2CID  123698377.
38. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002852 (непрерывная дробь константы Эйлера)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
39. Хэвил 2003, стр. 117–18.
40. Кнут, Дональд Э. (июль 1962 г.). «Постоянная Эйлера на 1271 знаке». Математика вычислений . Американское математическое общество . 16 (79): 275–281. дои : 10.2307/2004048. JSTOR  2004048.
41. Йи, Александр Дж. (7 марта 2011 г.). «Большие вычисления». www.numberworld.org .
42. Йи, Александр Дж. «Рекорды, установленные y-cruncher». www.numberworld.org . Проверено 30 апреля 2018 г.
    Йи, Александр Дж. «y-cruncher - многопоточная Pi-программа». www.numberworld.org .
43. "Константа Эйлера-Машерони". Коллекционер Полимат . 15 февраля 2020 г.

дальнейшее чтение

• Борвейн, Джонатан М.; Дэвид М. Брэдли; Ричард Э. Крэндалл (2000). «Вычислительные стратегии для дзета-функции Римана» (PDF) . Журнал вычислительной и прикладной математики . 121 (1–2): 11. Бибкод : 2000JCoAM.121..247B. дои : 10.1016/s0377-0427(00)00336-8 .Выводит γ как сумму по дзета-функциям Римана.
• Финч, Стивен Р. (2003). Математические константы . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 94. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-81805-2.
• Герст, И. (1969). «Некоторые ряды для постоянной Эйлера». амер. Математика. Ежемесячно . 76 (3): 237–275. дои : 10.2307/2316370. JSTOR  2316370.
• Глейшер, Джеймс Уитбред Ли (1872). «К истории постоянной Эйлера». Вестник математики . 1 : 25–30. ЖФМ  03.0130.01.
• Гурдон, Ксавье; Себах, П. (2002). «Сборник формул для постоянной Эйлера γ».
• Гурдон, Ксавье; Себах, П. (2004). «Константа Эйлера: γ».
• Карацуба, Э.А. (1991). «Быстрая оценка трансцендентных функций». Пробл. Инф. Трансм . 27 (44): 339–360.
• Карацуба, Э.А. (2000). «О вычислении постоянной Эйлера γ ». Журнал числовых алгоритмов . 24 (1–2): 83–97. дои : 10.1023/А: 1019137125281. S2CID  21545868.
• Кнут, Дональд (1997). Искусство компьютерного программирования, Том. 1 (3-е изд.). Аддисон-Уэсли. стр. 75, 107, 114, 619–620. ISBN 0-201-89683-4.
• Лемер, Д.Х. (1975). «Константы Эйлера для арифметических прогрессий» (PDF) . Акта Арит . 27 (1): 125–142. дои : 10.4064/aa-27-1-125-142 .
• Лерх, М. (1897). «Новые выражения константы Эйлера». Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften . 42 :5.
• Маскерони, Лоренцо (1790). Adnotationes ad исчисление интеграла Эйлера, в quibus nonnulla проблемата ab Eulero proposita resolvuntur . Галеати, Тичини.
• Сондоу, Джонатан (2002). «Гипергеометрический подход через линейные формы, включающие логарифмы, к критериям иррациональности постоянной Эйлера». Математика Словакия . 59 : 307–314. arXiv : math.NT/0211075 . Бибкод : 2002math.....11075S. дои : 10.2478/s12175-009-0127-2. S2CID  16340929.с приложением Сергея Злобина

Внешние ссылки

• «Постоянная Эйлера». Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].
• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Эйлера – Маскерони». Математический мир .
• Джонатан Сондоу.
• Быстрые алгоритмы и метод FEE, Е. А. Карацуба (2005).
• Дополнительные формулы, в которых используется константа: Gourdon and Sebah (2004).