Уравнение Бесселя возникает при нахождении разделимых решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических или сферических координатах . Поэтому функции Бесселя особенно важны для многих задач распространения волн и статических потенциалов. При решении задач в цилиндрических системах координат получаются функции Бесселя целого порядка ( α = n ); в сферических задачах получают полуцелые порядки ( α = n +1/2). Например:
Поскольку это линейное дифференциальное уравнение второго порядка, должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств удобны различные рецептуры этих растворов. Различные варианты обобщены в таблице ниже и описаны в следующих разделах.
Функции Бесселя второго рода и сферические функции Бесселя второго рода иногда обозначаются N n и nn соответственно, а не Y n и y n . [2] [3]
Функции Бесселя первого рода: J α
График функции Бесселя первого рода J n ( z ) с n = 0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 iГрафик функции Бесселя первого рода J α ( x ) для целых порядков α = 0, 1, 2
Функции Бесселя первого рода, обозначаемые как J α ( x ) , являются решениями дифференциального уравнения Бесселя. Для целого или положительного α функции Бесселя первого рода конечны в начале координат ( x = 0 ); в то время как для отрицательных нецелых α функции Бесселя первого рода расходятся при приближении x к нулю. Можно определить функцию, умноженную на ряд Маклорена (обратите внимание, что α не обязательно должно быть целым числом, а нецелые степени не допускаются в ряду Тейлора), что можно найти, применив метод Фробениуса к уравнению Бесселя: [ 4]
Для нецелого числа α функции J α ( x ) и J − α ( x ) линейно независимы и, следовательно, являются двумя решениями дифференциального уравнения. С другой стороны, для целого порядка n справедливо следующее соотношение (гамма-функция имеет простые полюса для каждого из неположительных целых чисел): [5]
Это означает, что два решения больше не являются линейно независимыми. В этом случае второе линейно независимое решение оказывается функцией Бесселя второго рода, как обсуждается ниже.
Интегралы Бесселя
Другое определение функции Бесселя для целых значений n возможно с использованием интегрального представления: [6]
[7]
Именно этот подход использовал Бессель и из этого определения вывел несколько свойств функции. Определение может быть расширено до нецелых порядков с помощью одного из интегралов Шлефли для Re( x ) > 0 : [6] [8] [9] [10] [11]
Через полиномы Лагерра L k и произвольно выбранный параметр t функция Бесселя может быть выражена как [13]
Функции Бесселя второго рода: Y α
График функции Бесселя второго рода Y n ( z ) с n = 0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i
Функции Бесселя второго рода, обозначаемые Y α ( x ) , иногда обозначаемые вместо этого N α ( x ) , являются решениями дифференциального уравнения Бесселя, имеющими особенность в начале координат ( x = 0 ) и многозначными . Их иногда называют функциями Вебера , поскольку они были введены Х. М. Вебером (1873), а также функциями Неймана после Карла Неймана . [14]
Для нецелого числа α Y α ( x ) связано с J α ( x ) соотношением
В случае целочисленного порядка n функция определяется путем достижения предела, когда нецелое значение α стремится к n :
Если n — целое неотрицательное число, мы имеем ряд [15]
График функции Бесселя второго рода Y α ( x ) для целых порядков α = 0, 1, 2
Существует также соответствующая интегральная формула (при Re( x ) > 0 ): [17]
В случае, когда n = 0 ,
Y α ( x ) необходим как второе линейно независимое решение уравнения Бесселя, когда α является целым числом. Но Y α ( x ) имеет большее значение. Его можно рассматривать как «естественного» партнера J α ( x ) . См. также подраздел о функциях Ханкеля ниже.
Более того , когда α — целое число, как и в случае с функциями первого рода, справедливо следующее соотношение:
И J α ( x ) , и Y α ( x ) являются голоморфными функциями x на комплексной плоскости , разрезанной вдоль отрицательной вещественной оси. Когда α является целым числом, функции Бесселя J являются целыми функциями x . Если x зафиксирован на ненулевом значении, то функции Бесселя являются целыми функциями от α .
Функции Бесселя второго рода, когда α — целое число, являются примером решения второго рода в теореме Фукса .
Функции Ханкеля: H(1) α, Ч(2) α
График функции Ганкеля первого рода H(1) н( x ) с n = −0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 iГрафик функции Ганкеля второго рода H(2) н( x ) с n = −0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i
Другой важной формулировкой двух линейно независимых решений уравнения Бесселя являются функции Ганкеля первого и второго рода , H(1) α( х ) и Н(2) α( x ) , определенный как [18]
где я — мнимая единица . Эти линейные комбинации известны также как функции Бесселя третьего рода ; это два линейно независимых решения дифференциального уравнения Бесселя. Они названы в честь Германа Ханкеля .
Эти формы линейной комбинации удовлетворяют многочисленным простым на вид свойствам, таким как асимптотические формулы или интегральные представления. Здесь «простой» означает появление множителя вида e i f (x) . Для действительных , где , действительные значения, функции Бесселя первого и второго рода являются соответственно действительной и мнимой частями первой функции Ганкеля и действительной и отрицательной мнимой частями второй функции Ганкеля. Таким образом, приведенные выше формулы являются аналогами формулы Эйлера с заменой H(1) α( х ) , Ч(2) α( x ) для и , для , , как явно показано в асимптотическом разложении.
Функции Ханкеля используются для выражения цилиндрических волновых решений уравнения цилиндрических волн, распространяющихся наружу и внутрь, соответственно (или наоборот, в зависимости от соглашения о знаках для частоты ).
Используя предыдущие соотношения, их можно выразить как
Если α является целым числом, необходимо вычислить предел. Следующие соотношения действительны независимо от того, является ли α целым числом или нет: [19]
В частности, если α = m +1/2где m — неотрицательное целое число, из приведенных выше соотношений прямо следует, что
Они полезны при разработке сферических функций Бесселя (см. ниже).
Функции Ханкеля допускают следующие интегральные представления при Re( x ) > 0 : [20]
Функции Бесселя действительны даже для комплексных аргументов x , а важным частным случаем является случай чисто мнимого аргумента. В этом случае решения уравнения Бесселя называются модифицированными функциями Бесселя (или иногда гиперболическими функциями Бесселя ) первого и второго рода и определяются как [21]
ααxI α ( x )J α ( x )(−1) m
может быть выражено через функции Ганкеля:
Используя эти две формулы, можно получить результат + , широко известный как интеграл Николсона или формула Николсона, и дать следующее
при условии, что условие Re( x ) > 0 выполнено. Также можно показать, что
только тогда, когда | Ре(α) | <1/2и Re(x) ≥ 0 , но не тогда, когда x = 0 . [22]
Мы можем выразить первую и вторую функции Бесселя через модифицированные функции Бесселя (они справедливы, если − π < arg z ≤π/2): [23]
I α ( x ) и K α ( x ) являются двумя линейно независимыми решениями модифицированного уравнения Бесселя : [24]
В отличие от обычных функций Бесселя, которые колеблются как функции вещественного аргумента, I α и K α являются экспоненциально растущими и убывающими функциями соответственно. Как и обычная функция Бесселя Jα , функция Iα обращается в ноль при x = 0 при α > 0 и конечна при x = 0 при α = 0 . Аналогично, K α расходится в точке x = 0 с особенностью логарифмического типа для K 0 , и1/2Γ(| α |)(2/ x ) | α | в противном случае. [25]
Две интегральные формулы для модифицированных функций Бесселя: (для Re( x ) > 0 ): [26]
Функции Бесселя можно описать как преобразования Фурье степеней квадратичных функций. Например (для Re(ω) > 0 ):
Это можно доказать, показав равенство приведенному выше интегральному определению для K 0 . Это делается путем интегрирования замкнутой кривой в первом квадранте комплексной плоскости.
Модифицированные функции Бесселя K 1/3 и K 2/3 могут быть представлены в виде быстро сходящихся интегралов [27]
Модифицированная функция Бесселя полезна для представления распределения Лапласа как смеси нормальных распределений в экспоненциальном масштабе.
Модифицированную функцию Бесселя второго рода также называли следующими именами (ныне редкими):
График сферической функции Бесселя первого рода j n ( z ) с n = 0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3DГрафик сферической функции Бесселя второго рода y n ( z ) с n = 0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3DСферические функции Бесселя первого рода, j n ( x ) , для n = 0, 1, 2Сферические функции Бесселя второго рода, y n ( x ) , для n = 0, 1, 2
При решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах методом разделения переменных радиальное уравнение имеет вид
Два линейно независимых решения этого уравнения называются сферическими функциями Бесселя j n и y n и связаны с обычными функциями Бесселя J n и Y n соотношением [29]
y n также обозначается nn или η n ; некоторые авторы называют эти функции сферическими функциями Неймана .
Из связей с обычными функциями Бесселя непосредственно видно, что:
Сферические функции Бесселя также можно записать в виде (Формулы Рэлея )[30]
Нулевая сферическая функция Бесселя j 0 ( x ) также известна как (ненормированная) функция sinc . Первые несколько сферических функций Бесселя: [31]
[32]
Генерирующая функция
Сферические функции Бесселя имеют производящие функции [33]
Дифференциальные отношения
В дальнейшем f n представляет собой любое из j n , y n , h(1) н, ч(2) ндля n = 0, ±1, ±2, ... [34]
Сферические функции Ханкеля: h(1) н, ч(2) н
График сферической функции Ганкеля первого рода h(1) н( x ) с n = -0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 iГрафик сферической функции Ханкеля второго рода h(2) н( x ) с n = −0,5 в комплексной плоскости от −2 − 2 i до 2 + 2 i
Существуют также сферические аналоги функций Ганкеля:
Фактически, существуют простые выражения в замкнутой форме для функций Бесселя полуцелого порядка через стандартные тригонометрические функции и, следовательно, для сферических функций Бесселя. В частности, для неотрицательных целых чисел n :
и ч(2) нявляется комплексно-сопряженным этим (для вещественного x ). Отсюда, например, следует, что j 0 ( x ) =грех х/Икси y 0 ( Икс ) знак равно -потому что х/Икс, и так далее.
Функции Риккати – Бесселя лишь незначительно отличаются от сферических функций Бесселя:
Комплексный график функций Риккати–Бесселя Sn от −2 − 2 i до 2 + 2 i
Они удовлетворяют дифференциальному уравнению
Например, такого рода дифференциальное уравнение появляется в квантовой механике при решении радиальной составляющей уравнения Шредингера с гипотетическим цилиндрическим бесконечным потенциальным барьером. [35] Это дифференциальное уравнение и решения Риккати-Бесселя также возникают в задаче рассеяния электромагнитных волн сферой, известной как рассеяние Ми после первого опубликованного решения Ми (1908). См., например, Du (2004) [36] для ознакомления с последними разработками и ссылками.
Следуя Дебаю ( 1909 ) , обозначения ψn , χn иногда используются вместо Sn , Cn .
Асимптотические формы
Функции Бесселя имеют следующие асимптотики . Для малых аргументов получается, если не является отрицательным целым числом: [4]
Когда α является отрицательным целым числом, мы имеем
Для функции Бесселя второго рода имеем три случая:
Для больших действительных аргументов z ≫ | α 2 -1/4| , невозможно написать истинную асимптотическую форму для функций Бесселя первого и второго рода (если только α не является полуцелым ), потому что они имеют нули вплоть до бесконечности, что должно быть точно сопоставлено любым асимптотическим разложением. Однако для заданного значения arg z можно написать уравнение, содержащее член порядка | г | −1 : [37]
(Для α =1/2последние члены в этих формулах полностью выпадают; см. сферические функции Бесселя выше.)
Асимптотики функций Ганкеля:
Их можно распространить на другие значения arg z, используя уравнения, связывающие H(1) α( ze im π ) и H(2) α( ze im π ) в H(1) α( z ) и H(2) α( з ) . [38]
Интересно, что хотя функция Бесселя первого рода является средним из двух функций Ганкеля, J α ( z ) не является асимптотической по отношению к среднему из этих двух асимптотических форм, когда z отрицательно (потому что ни одна, ни другая не будет там правильно, в зависимости от используемого аргумента z ). Но асимптотики функций Ханкеля позволяют записать асимптотики функций Бесселя первого и второго рода для комплексных (невещественных) z при условии, что | г | стремится к бесконечности при постоянном фазовом угле arg z (с использованием квадратного корня, имеющего положительную действительную часть):
Бесконечные ряды функций Бесселя в том виде, в каком они возникают во многих физических системах и в замкнутом виде определяются рядом Сунга. [42] Например, когда N = 3: . В более общем смысле ряд Сунга и чередующийся ряд Сунга записываются как:
Разложение в ряд с помощью функций Бесселя ( ряд Каптейна ) имеет вид
Поскольку уравнение Бесселя становится эрмитовым (самосопряженным), если оно делится на x , решения должны удовлетворять соотношению ортогональности для соответствующих граничных условий. В частности, отсюда следует, что:
Модифицированные функции Бесселя подчиняются аналогичным соотношениям:
Рекуррентное соотношение читается
C αI αe αi π K α
трансцендентность
В 1929 году Карл Людвиг Зигель доказал, что J ν ( x ) , J ' ν ( x ) и логарифмическая производнаяJ' ν ( x )/Дж ν ( Икс )являются трансцендентными числами, когда ν рационально, а x алгебраический и ненулевой. [49] Из того же доказательства также следует, что K ν ( x ) трансцендентно при тех же предположениях. [50]
Сам Бессель первоначально доказал, что для неотрицательных целых чисел n уравнение J n ( x ) = 0 имеет бесконечное число решений относительно x . [53] Однако, когда функции J n ( x ) изображены на одном и том же графике, ни один из нулей не совпадает для разных значений n , за исключением нуля при x = 0 . Это явление известно как гипотеза Бурже в честь французского математика XIX века, изучавшего функции Бесселя. В частности, он утверждает, что для любых целых чисел n ≥ 0 и m ≥ 1 функции J n ( x ) и J n + m ( x ) не имеют общих нулей, кроме одного в точке x = 0 . Гипотезу доказал Карл Людвиг Зигель в 1929 году. [54]
трансцендентность
В 1929 году Сигел доказал, что, когда ν рационально , все ненулевые корни J ν (x) и J ' ν (x) трансцендентны [55] , как и все корни K ν (x) . [50] Также известно, что все корни высших производных при n ≤ 18 трансцендентны, за исключением специальных значений и . [55]
Численные подходы
Численные исследования нулей функции Бесселя см. в Gil, Segura & Temme (2007), Kravanja et al. (1998) и Молер (2004).
Числовые значения
Первый ноль в J 0 (т.е. j 0,1 , j 0,2 и j 0,3 ) встречается при аргументах примерно 2,40483, 5,52008 и 8,65373 соответственно. [56]
^ Виленский, Майкл; Браун, Джордан; Хейзелтон, Брина (июнь 2023 г.). «Почему и когда ожидать распределения гауссовских ошибок в эпоху реионизации измерений спектра мощности на частоте 21 см». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 521 (4): 5191–5206. arXiv : 2211.13576 . doi : 10.1093/mnras/stad863.
^ аб Темме, Нико М. (1996). Специальные функции: введение в классические функции математической физики (2-е печатное изд.). Нью-Йорк: Уайли. стр. 228–231. ISBN0471113131.
^ «Функции Бесселя первого и второго рода» (PDF) . mhtlab.uwaterloo.ca . п. 3. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 24 мая 2022 г.
^ Цифровая библиотека математических функций NIST, (10.8.1). Доступ онлайн: 25 октября 2016 г.
^ Хоконов, М.Х. (2004). «Каскадные процессы потери энергии за счет испускания жестких фотонов». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 99 (4): 690–707. Бибкод : 2004JETP...99..690K. дои : 10.1134/1.1826160. S2CID 122599440.. Получено по формулам И. С. Градштейна и И. М. Рыжика , Таблица интегралов, рядов и произведений (Физматгиз, Москва, 1963; Academic Press, Нью-Йорк, 1980).
^ Упоминается как таковой в: Тейхроу, Д. (1957). «Смесь нормальных распределений с различными дисперсиями» (PDF) . Анналы математической статистики . 28 (2): 510–512. дои : 10.1214/aoms/1177706981 .
^ Абрамовиц и Стегун, с. 437, 10.1.1.
^ Абрамовиц и Стегун, с. 439, 10.1.25, 10.1.26.
^ Абрамовиц и Стегун, с. 438, 10.1.11.
^ Абрамовиц и Стегун, с. 438, 10.1.12.
^ Абрамовиц и Стегун, с. 439, 10.1.39.
^ Абрамовиц и Стегун, с. 439, 10.1.23, 10.1.24.
^ Гриффитс. Введение в квантовую механику, 2-е издание, с. 154.
^ Сунг, С.; Ховден, Р. (2022). «О бесконечных рядах функций Бесселя первого рода». arXiv : 2211.01148 [math-ph].
^ Абрамовиц и Стегун, с. 363, 9.1.82 и далее.
↑ Уотсон, Дж.Н. (25 августа 1995 г.). Трактат по теории функций Бесселя. Издательство Кембриджского университета. ISBN9780521483919. Проверено 25 марта 2018 г. - через Google Книги.
^ Сигел, Карл Л. (2014). «Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen». О некоторых применениях диофантовых приближений: перевод Клеменса Фукса « Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen» Карла Людвига Зигеля с комментариями и статьей «Целочисленные точки на кривых: теорема Зигеля после доказательства Зигеля Клеменса Фукса и Умберто Заньера» (на немецком языке) . Высшая нормальная школа. стр. 81–138. дои : 10.1007/978-88-7642-520-2_2. ISBN978-88-7642-520-2.
^ аб Джеймс, РД (ноябрь 1950 г.). «Обзор: Карл Людвиг Зигель, Трансцендентные числа». Бюллетень Американского математического общества . 56 (6): 523–526. дои : 10.1090/S0002-9904-1950-09435-X .
^ аб Абрамовиц и Стегун, с. 363, 9.1.74.
^ Трусделл, К. (1950). «О теоремах сложения и умножения для специальных функций». Труды Национальной академии наук . 1950 (12): 752–757. Бибкод : 1950PNAS...36..752T. дои : 10.1073/pnas.36.12.752 . ПМЦ 1063284 . ПМИД 16578355.
^ Бессель, Ф. (1824) «Untersuruchung des Theils der Planetarischen Störungen», Berlin Abhandlungen , статья 14.
^ Уотсон, стр. 484–485.
^ аб Лорх, Ли; Малдун, Мартин Э. (1995). «Трансцендентность нулей высших производных функций, включающих функции Бесселя». Международный журнал математики и математических наук . 18 (3): 551–560. дои : 10.1155/S0161171295000706 .
Пресс, WH ; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.5. Функции Бесселя целого порядка», Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, заархивировано из оригинала 03 февраля 2021 г. , получено 28 сентября 2022 г..
B Испания, М.Г. Смит, Функции математической физики , Van Nostand Reinhold Company, Лондон, 1970. Глава 9 посвящена функциям Бесселя.
Н. М. Темме, Специальные функции. Введение в классические функции математической физики , John Wiley and Sons, Inc., Нью-Йорк, 1996. ISBN 0-471-11313-1 . Глава 9 посвящена функциям Бесселя.
Уотсон, Дж. Н. , Трактат по теории функций Бесселя, второе издание , (1995) Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-48391-3 .
Вебер, Генрих (1873), «Ueber eine Darstellung willkürlicher Functionen durch Bessel'sche Functionen», Mathematische Annalen , 6 (2): 146–161, doi : 10.1007/BF01443190, S2CID 122409461.
Гил, А.; Сегура, Дж.; Темме, Нью-Мексико (2007). Численные методы для специальных функций . Общество промышленной и прикладной математики.
Краванья, П.; Рагос, О.; Врахатис, Миннесота; Зафиропулос, Ф.А. (1998), «ZEBEC: Пакет математического программного обеспечения для вычисления простых нулей функций Бесселя вещественного порядка и комплексного аргумента», Computer Physics Communications , 113 (2–3): 220–238, Бибкод : 1998CoPhC.113. .220K, doi :10.1016/S0010-4655(98)00064-2
Страницы функций Wolfram с функциями Бесселя J и Y, а также модифицированными функциями Бесселя I и K. Страницы содержат формулы, средства оценки функций и калькуляторы для построения графиков.
Функции Бесселя Jν, Yν, Iν и Kν в справочнике Librow Function.
Ф.В.Дж. Олвер, Л.К. Максимон, Функции Бесселя (глава 10 Цифровой библиотеки математических функций).
Молер, CB (2004). Численные вычисления с MATLAB (PDF) . Общество промышленной и прикладной математики. Архивировано из оригинала (PDF) 8 августа 2017 г.