Номер гармоники

Сумма первых n обратных целых чисел; 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/н

Номер гармоники с (красная линия) с его асимптотическим пределом (синяя линия) где – константа Эйлера – Маскерони . ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n=\lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \gamma +\ln(x)}$ ${\displaystyle \gamma }$

В математике n - е гармоническое число представляет собой сумму обратных величин первым n натуральных чисел :

$${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$$

Начиная с n = 1 , начинается последовательность номеров гармоник:

$${\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {11}{6}},{\frac {25}{12}},{\frac {137}{60}},\dots }$$

Числа гармоник связаны со средним гармоническим числом тем, что n -й номер гармоники также в n раз превышает среднее гармоническое первых n положительных целых чисел.

Гармонические числа изучаются с древности и играют важную роль в различных разделах теории чисел . Их иногда называют гармоническими рядами , они тесно связаны с дзета-функцией Римана и появляются в выражениях различных специальных функций .

Числа гармоник примерно приближаются к функции натурального логарифма ^{[1] : 143} , и, таким образом, соответствующий гармонический ряд растет без ограничений, хотя и медленно. В 1737 году Леонард Эйлер использовал расхождение гармонического ряда , чтобы предоставить новое доказательство бесконечности простых чисел . Его работа была расширена Бернхардом Риманом в 1859 году на комплексную плоскость , что привело непосредственно к знаменитой гипотезе Римана о распределении простых чисел .

Когда стоимость большого количества предметов имеет распределение по закону Ципфа , общая стоимость n наиболее ценных предметов пропорциональна n -му номеру гармоники. Это приводит к множеству удивительных выводов относительно « длинного хвоста» и теории сетевой стоимости .

Теорема Бертрана -Чебышева подразумевает, что, за исключением случая n = 1 , числа гармоник никогда не являются целыми числами. ^[2]

Тождества с номерами гармоник

По определению числа гармоник удовлетворяют рекуррентному соотношению

$${\displaystyle H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}.}$$

Гармонические числа связаны с числами Стирлинга первого рода соотношением

$${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].}$$

Функции

$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{n}}{n!}}(\log x-H_{n})}$$

$${\displaystyle f_{n}'(x)=f_{n-1}(x).}$$

$${\displaystyle f_{1}(x)=x(\log x-1)}$$

Номера гармоник удовлетворяют тождествам рядов

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n}$$

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n.}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{x}\log y\ dy=x\log x-x}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{x}(\log y)^{2}\ dy=x(\log x)^{2}-2x\log x+2x.}$$

Тождества с участием π

Существует несколько бесконечных суммаций, включающих числа гармоник и степени π : ^{[3] [ нужен лучший источник ]}

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n\cdot 2^{n}}}={\frac {1}{12}}\pi ^{2}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}={\frac {11}{360}}\pi ^{4}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{n^{2}}}={\frac {17}{360}}\pi ^{4}}$$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}={\frac {1}{72}}\pi ^{4}}$$

Расчет

Интегральное представление, данное Эйлером ^[4], имеет вид

$${\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}$$

Вышеприведенное равенство вытекает из простого алгебраического тождества

$${\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}.}$$

Используя замену x = 1 − u , другое выражение для H _n :

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\[6pt]&=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}$$

График, демонстрирующий связь между гармоническими числами и натуральным логарифмом . Номер гармоники H _n можно интерпретировать как сумму Римана интеграла: ${\displaystyle \int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}=\ln(n+1).}$

Номер n- й гармоники примерно равен натуральному логарифму n . Причина в том, что сумма аппроксимируется интегралом

$${\displaystyle \int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}\,dx,}$$

ln n

Значения последовательности H _n − ln n монотонно убывают к пределу

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma ,}$$

γ ≈ 0,5772156649постоянная Эйлера–Машерониасимптотическое разложение

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}\\&=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,\end{aligned}}}$$

Bk _—Бернулли

Генерирующие функции

Производящая функция для чисел гармоник:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},}$$

zнатуральный логарифм

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=-e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{\frac {(-z)^{k}}{k!}}=e^{z}\operatorname {Ein} (z)}$$

zэкспоненциальный интеграл

$${\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\mathrm {E} _{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z}$$

zнеполная гамма-функция

Арифметические свойства

Гармонические числа обладают несколькими интересными арифметическими свойствами. Хорошо известно, что является целым числом тогда и только тогда , когда , результат, который часто приписывают Тайзингеру. ^[5] Действительно, используя 2-адическую оценку , нетрудно доказать, что числитель является нечетным числом, а знаменатель - четным числом. Точнее, ${\textstyle H_{n}}$ ${\textstyle n=1}$ ${\textstyle n\geq 2}$ ${\textstyle H_{n}}$ ${\textstyle H_{n}}$

$${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{2^{\lfloor \log _{2}(n)\rfloor }}}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$$

${\textstyle a_{n}}$ ${\textstyle b_{n}}$

Как следствие теоремы Вольстенхолма , для любого простого числа числитель делится на . Более того, Эйзенштейн ^[6] доказал, что для всех нечетных простых чисел справедливо ${\displaystyle p\geq 5}$ ${\displaystyle H_{p-1}}$ ${\textstyle p^{2}}$ ${\textstyle p}$

$${\displaystyle H_{(p-1)/2}\equiv -2q_{p}(2){\pmod {p}}}$$

частное Фермапростое число Вифериха ${\textstyle q_{p}(2)=(2^{p-1}-1)/p}$ ${\textstyle p}$ ${\displaystyle H_{(p-1)/2}}$ ${\textstyle p}$

В 1991 году Ишваратасан и Левин ^[7] определили это множество всех натуральных чисел , числитель которых делится на простое число. Они доказали, что ${\displaystyle J_{p}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle p.}$

$${\displaystyle \{p-1,p^{2}-p,p^{2}-1\}\subseteq J_{p}}$$

гармонические простые числа ${\displaystyle p\geq 5,}$ ${\textstyle p}$ ${\displaystyle J_{p}}$

Эсваратасан и Левин также предположили, что это конечное множество для всех простых чисел и что существует бесконечно много гармонических простых чисел. Бойд ^[8] подтвердил, что оно конечно для всех простых чисел, кроме 83, 127 и 397; и он дал эвристику, предполагающую, что плотность гармонических простых чисел в множестве всех простых чисел должна быть . Санна ^[9] показал, что имеет нулевую асимптотическую плотность , а Бин-Линг Ву и Юн-Гао Чен ^[10] доказали, что число элементов, не превышающих , не превосходит , для всех . ${\displaystyle J_{p}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle J_{p}}$ ${\displaystyle p=547}$ ${\displaystyle 1/e}$ ${\displaystyle J_{p}}$ ${\displaystyle J_{p}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 3x^{{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{25\log p}}}}$ ${\displaystyle x\geq 1}$

Приложения

Номера гармоник появляются в нескольких формулах расчета, таких как дигамма-функция.

$${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma .}$$

nγ

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(H_{n}-\ln(n)\right)},}$$

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)}}$$

В 2002 году Джеффри Лагариас доказал ^[11] , что гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что

$${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+(\log H_{n})e^{H_{n}},}$$

целого числа n ≥ 1n > 1σ ( n )делителей.

Собственные значения нелокальной задачи

$${\displaystyle \lambda \varphi (x)=\int _{-1}^{1}{\frac {\varphi (x)-\varphi (y)}{|x-y|}}\,dy}$$

полиномами Лежандра^[12] ${\displaystyle \lambda =2H_{n}}$ ${\displaystyle H_{0}=0}$ ${\displaystyle \varphi (x)=P_{n}(x)}$

Обобщения

Обобщенные числа гармоник

Номер n- й обобщенной гармоники порядка m определяется выражением

$${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}.}$$

(В некоторых источниках это также может обозначаться или ) ${\textstyle H_{n}^{(m)}}$ ${\textstyle H_{m}(n).}$

Особый случай m = 0 дает. Особый случай m = 1 сводится к обычному номеру гармоники: ${\displaystyle H_{n,0}=n.}$

$${\displaystyle H_{n,1}=H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$$

Предел при n → ∞ конечен, если m > 1 , с обобщенным гармоническим числом, ограниченным и сходящимся к дзета-функции Римана. ${\textstyle H_{n,m}}$

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }H_{n,m}=\zeta (m).}$$

Наименьшее натуральное число k такое, что k ⁿ не делит ни знаменатель обобщенного гармонического числа H ( k , n ), ни знаменатель чередующегося обобщенного гармонического числа H ' ( k , n ), равно для n = 1, 2, .. . :

77, 20, 94556602, 42, 444, 20, 104, 42, 76, 20, 77, 110, 3504, 20, 903, 42, 1107, 20, 104, 42, 77, 20, 2948, 110, 136, 20, 76, 42, 903, 20, 77, 42, 268, 20, 7004, 110, 1752, 20, 19203, 42, 77, 20, 104, 42, 76, 20, 370, 110, 1107, 20, ... (последовательность A128670 в OEIS )

Соответствующая сумма встречается при изучении чисел Бернулли ; гармонические числа появляются также при изучении чисел Стирлинга . ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}}$

Некоторые интегралы от чисел обобщенных гармоник:

$${\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,2}\,dx=a{\frac {\pi ^{2}}{6}}-H_{a}}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,3}\,dx=aA-{\frac {1}{2}}H_{a,2},}$$

Aпостоянная Апери ζ

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k,m}=(n+1)H_{n,m}-H_{n,m-1}{\text{ for }}m\geq 0.}$$

Каждое обобщенное гармоническое число порядка m можно записать как функцию чисел гармоник порядка, используя ${\displaystyle m-1}$

$${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {H_{k,m-1}}{k(k+1)}}+{\frac {H_{n,m-1}}{n}}}$$

${\displaystyle H_{4,3}={\frac {H_{1,2}}{1\cdot 2}}+{\frac {H_{2,2}}{2\cdot 3}}+{\frac {H_{3,2}}{3\cdot 4}}+{\frac {H_{4,2}}{4}}}$

Производящая функция для чисел обобщенных гармоник:

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {\operatorname {Li} _{m}(z)}{1-z}},}$$

полилогарифм| г | < 1m = 1 ${\displaystyle \operatorname {Li} _{m}(z)}$

Дробный аргумент для обобщенных чисел гармоник можно ввести следующим образом:

Для каждого целого числа, целого или нет, мы имеем полигамма-функции: ${\displaystyle p,q>0}$ ${\displaystyle m>1}$

$${\displaystyle H_{q/p,m}=\zeta (m)-p^{m}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(q+pk)^{m}}}}$$

дзета-функция Римана ${\displaystyle \zeta (m)}$

$${\displaystyle H_{a,m}=H_{a-1,m}+{\frac {1}{a^{m}}}.}$$

$${\displaystyle H_{{\frac {1}{4}},2}=16-8G-{\tfrac {5}{6}}\pi ^{2}}$$

Gконстанта Каталана

$${\displaystyle H_{{\frac {1}{2}},2}=4-{\tfrac {\pi ^{2}}{3}}}$$

$${\displaystyle H_{{\frac {3}{4}},2}=8G+{\tfrac {16}{9}}-{\tfrac {5}{6}}\pi ^{2}}$$

$${\displaystyle H_{{\frac {1}{4}},3}=64-27\zeta (3)-\pi ^{3}}$$

$${\displaystyle H_{{\frac {1}{2}},3}=8-6\zeta (3)}$$

$${\displaystyle H_{{\frac {3}{4}},3}={({\tfrac {4}{3}})}^{3}-27\zeta (3)+\pi ^{3}}$$

В частном случае мы получаем ${\displaystyle p=1}$

$${\displaystyle H_{n,m}=\zeta (m,1)-\zeta (m,n+1),}$$

дзета-функция Гурвица ${\displaystyle \zeta (m,n)}$

Формулы умножения

Теорема умножения применима к гармоническим числам. Используя полигамма- функции, получаем

$${\displaystyle H_{2x}={\frac {1}{2}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{2}}}\right)+\ln 2,}$$

$${\displaystyle H_{3x}={\frac {1}{3}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{3}}}+H_{x-{\frac {2}{3}}}\right)+\ln 3,}$$

$${\displaystyle H_{nx}={\frac {1}{n}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{n}}}+H_{x-{\frac {2}{n}}}+\cdots +H_{x-{\frac {n-1}{n}}}\right)+\ln n.}$$

Для обобщенных чисел гармоник имеем

$${\displaystyle H_{2x,2}={\frac {1}{2}}\left(\zeta (2)+{\frac {1}{2}}\left(H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{2}},2}\right)\right)}$$

$${\displaystyle H_{3x,2}={\frac {1}{9}}\left(6\zeta (2)+H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{3}},2}+H_{x-{\frac {2}{3}},2}\right),}$$

дзета-функция Римана ${\displaystyle \zeta (n)}$

Гипергармонические числа

Следующее обобщение обсуждалось Дж. Х. Конвеем и Р. К. Гаем в их книге «Книга чисел» 1995 года . ^{[1] : 258} Лет

$${\displaystyle H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}}.}$$

гипергармоническое числоrr>0

$${\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}.}$$

${\displaystyle H_{n}^{(1)}}$ ${\displaystyle H_{n}}$

Гармонические числа для действительных и комплексных значений

Формулы, приведенные выше,

$${\displaystyle H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}\,dt=-\sum _{k=1}^{\infty }{x \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}}$$

аналитического продолженияxдигамм-функцией.

$${\displaystyle H_{x}=\psi (x+1)+\gamma ,}$$

ψ ( x )γпостоянная Эйлера–Машерони

$${\displaystyle H_{x,2}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{x \choose k}H_{k}.}$$

Ряд Тейлора для чисел гармоник равен

$${\displaystyle H_{x}=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\zeta (k)\;x^{k-1}\quad {\text{ for }}|x|<1}$$

дзета-функция Римана ${\displaystyle \zeta }$

Альтернативная асимптотическая формулировка

При попытке аппроксимировать  H _x для комплексного числа  x эффективно сначала вычислить  H _m для некоторого большого целого числа  m . Используйте это как приближение значения  H _{m + x} . Затем используйте рекурсивное соотношение H _n = H _{n −1} + 1/ n назад  m раз, чтобы развернуть его до приближения для  H _x . Более того, это приближение является точным в пределе, когда  m стремится к бесконечности.

В частности, для фиксированного целого числа  n это тот случай, когда

$${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+n}-H_{m}\right]=0.}$$

Если  n не является целым числом, невозможно сказать, верно ли это уравнение, поскольку мы еще (в этом разделе) не определили числа гармоник для нецелых чисел. Однако мы получаем уникальное расширение гармонических чисел до нецелых чисел, настаивая на том, что это уравнение продолжает выполняться, когда произвольное целое число  n заменяется произвольным комплексным числом  x ,

$${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+x}-H_{m}\right]=0\,.}$$

H _x

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m}-(H_{m+x}-H_{x})\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)-\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{x+k}}\right)\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{m}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)=x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(x+k)}}\,.\end{aligned}}}$$

Этот бесконечный ряд сходится для всех комплексных чисел  x , за исключением целых отрицательных чисел, что не удается, поскольку попытка использовать рекурсивное соотношение H _n = H _{n −1} + 1/ n в обратном направлении через значение  n = 0 включает деление на ноль. Согласно этой конструкции, функция, определяющая номер гармоники для комплексных значений, является единственной функцией, которая одновременно удовлетворяет условиям (1) H ₀ = 0 , (2) H _x = H _{x −1} + 1/ x для всех комплексных чисел  x, кроме неположительные целые числа и (3) lim _{m →+∞} ( H _{m + x} − H _m ) = 0 для всех комплексных значений  x .

Эту последнюю формулу можно использовать, чтобы показать, что

$${\displaystyle \int _{0}^{1}H_{x}\,dx=\gamma ,}$$

γконстанта Эйлера–Машерониn

$${\displaystyle \int _{0}^{n}H_{x}\,dx=n\gamma +\ln(n!).}$$

Специальные значения для дробных аргументов

Существуют следующие специальные аналитические значения для дробных аргументов от 0 до 1, определяемые интегралом

$${\displaystyle H_{\alpha }=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{\alpha }}{1-x}}\,dx\,.}$$

Дополнительные значения могут быть сгенерированы из рекуррентного отношения.

$${\displaystyle H_{\alpha }=H_{\alpha -1}+{\frac {1}{\alpha }}\,,}$$

$${\displaystyle H_{1-\alpha }-H_{\alpha }=\pi \cot {(\pi \alpha )}-{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{1-\alpha }}\,.}$$

Например:

$${\displaystyle H_{\frac {1}{2}}=2-2\ln {2}}$$

$${\displaystyle H_{\frac {1}{3}}=3-{\tfrac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\tfrac {3}{2}}\ln {3}}$$

$${\displaystyle H_{\frac {2}{3}}={\tfrac {3}{2}}(1-\ln {3})+{\sqrt {3}}{\tfrac {\pi }{6}}}$$

$${\displaystyle H_{\frac {1}{4}}=4-{\tfrac {\pi }{2}}-3\ln {2}}$$

$${\displaystyle H_{\frac {3}{4}}={\tfrac {4}{3}}-3\ln {2}+{\tfrac {\pi }{2}}}$$

$${\displaystyle H_{\frac {1}{6}}=6-{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\tfrac {3}{2}}\ln {3}}$$

$${\displaystyle H_{\frac {1}{8}}=8-{\tfrac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{\pi +\ln \left(2+{\sqrt {2}}\right)-\ln \left(2-{\sqrt {2}}\right)\right\}}$$

$${\displaystyle H_{\frac {1}{12}}=12-3\left(\ln {2}+{\tfrac {\ln {3}}{2}}\right)-\pi \left(1+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)+2{\sqrt {3}}\ln \left({\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\right)}$$

Для натуральных чисел p и q с p < q мы имеем:

$${\displaystyle H_{\frac {p}{q}}={\frac {q}{p}}+2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {q-1}{2}}\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi pk}{q}}\right)\ln \left({\sin \left({\frac {\pi k}{q}}\right)}\right)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {\pi p}{q}}\right)-\ln \left(2q\right)}$$

Связь с дзета-функцией Римана

Некоторые производные дробных чисел гармоник имеют вид

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}H_{x}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}n!\left[\zeta (n+1)-H_{x,n+1}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,2}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}(n+1)!\left[\zeta (n+2)-H_{x,n+2}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,3}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}{\frac {1}{2}}(n+2)!\left[\zeta (n+3)-H_{x,n+3}\right].\end{aligned}}}$$

А используя ряд Маклорена , мы имеем для x < 1, что

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{n}\zeta (n+1)\\[5pt]H_{x,2}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)x^{n}\zeta (n+2)\\[5pt]H_{x,3}&={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)(n+2)x^{n}\zeta (n+3).\end{aligned}}}$$

Для дробных аргументов от 0 до 1 и для a > 1,

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1/a}&={\frac {1}{a}}\left(\zeta (2)-{\frac {1}{a}}\zeta (3)+{\frac {1}{a^{2}}}\zeta (4)-{\frac {1}{a^{3}}}\zeta (5)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,2}&={\frac {1}{a}}\left(2\zeta (3)-{\frac {3}{a}}\zeta (4)+{\frac {4}{a^{2}}}\zeta (5)-{\frac {5}{a^{3}}}\zeta (6)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,3}&={\frac {1}{2a}}\left(2\cdot 3\zeta (4)-{\frac {3\cdot 4}{a}}\zeta (5)+{\frac {4\cdot 5}{a^{2}}}\zeta (6)-{\frac {5\cdot 6}{a^{3}}}\zeta (7)+\cdots \right).\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Оценщик Уоттерсона
• Д Тадзимы
• Проблема коллекционера купонов
• Проблема с джипом
• Задача 100 заключенных
• Дзета-функция Римана
• Список сумм обратных величин
• Частота ложных открытий # Процедура Бенджамини – Йекутиэли
• Проблема с укладкой блоков

Примечания

1. Джон Х., Конвей; Ричард К., Гай (1995). Книга чисел . Коперник.
2. Грэм, Рональд Л.; Кнут, Дональд Э.; Паташник, Орен (1994). Конкретная математика . Аддисон-Уэсли.
3. Сондоу, Джонатан и Вайсштейн, Эрик В. «Гармоническое число». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
4. Сандифер, К. Эдвард (2007), Как Эйлер сделал это, Спектр MAA, Математическая ассоциация Америки, стр. 206, ISBN 9780883855638.
5. Вайсштейн, Эрик В. (2003). CRC Краткая математическая энциклопедия . Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC. п. 3115. ИСБН 978-1-58488-347-0.
6. Эйзенштейн, Фердинанд Готхольд Макс (1850). «Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen, welche von zwei Elementen ahhängen und durch gewisse Linee Funktional-Gleichungen Definirt Werden». Берихте Кенигль. Преуβ. Акад. Висс. Берлин . 15 : 36–42.
7. Ишваратасан, Арулаппа; Левин, Юджин (1991). «p-целые гармонические суммы». Дискретная математика . 91 (3): 249–257. дои : 10.1016/0012-365X(90)90234-9 .
8. Бойд, Дэвид В. (1994). «Р-адическое исследование частичных сумм гармонического ряда». Экспериментальная математика . 3 (4): 287–302. CiteSeerX 10.1.1.56.7026 . дои : 10.1080/10586458.1994.10504298. 
9. Санна, Карло (2016). «О p-адической оценке гармонических чисел» (PDF) . Журнал теории чисел . 166 : 41–46. дои : 10.1016/j.jnt.2016.02.020 . hdl : 2318/1622121.
10. Чен, Юн-Гао; Ву, Бин-Лин (2017). «О некоторых свойствах гармонических чисел». Журнал теории чисел . 175 : 66–86. дои : 10.1016/j.jnt.2016.11.027.
11. Джеффри Лагариас (2002). «Элементарная проблема, эквивалентная гипотезе Римана». амер. Математика. Ежемесячно . 109 (6): 534–543. arXiv : math.NT/0008177 . дои : 10.2307/2695443. JSTOR  2695443.
12. Э.О. Так (1964). «Некоторые методы обтекания тупых тонких тел». Дж. Гидромеханика . 18 (4): 619–635. Бибкод : 1964JFM....18..619T. дои : 10.1017/S0022112064000453. S2CID  123120978.

Рекомендации

• Артур Т. Бенджамин; Грегори О. Престон; Дженнифер Дж. Куинн (2002). «Встреча Стерлинга с гармоническими числами» (PDF) . Журнал «Математика» . 75 (2): 95–103. CiteSeerX  10.1.1.383.722 . дои : 10.2307/3219141. JSTOR  3219141. Архивировано из оригинала (PDF) 17 июня 2009 г. Проверено 8 августа 2005 г.
• Дональд Кнут (1997). «Раздел 1.2.7: Гармонические числа». Искусство компьютерного программирования . Том. 1: Фундаментальные алгоритмы (Третье изд.). Аддисон-Уэсли. стр. 75–79. ISBN 978-0-201-89683-1.
• Эд Сандифер, Как это сделал Эйлер — оценка Базельской задачи. Архивировано 13 мая 2005 г. в Wayback Machine (2003).
• Пол, Питер ; Шнайдер, Карстен (2003). «Компьютерные доказательства нового семейства гармонических числовых тождеств» (PDF) . Адв. Прил. Математика . 31 (2): 359–378. дои : 10.1016/s0196-8858(03)00016-2.
• Вэньчан Чу (2004). «Тождественность биномиального коэффициента, связанная с гипотезой Бойкерса о числах Апери» (PDF) . Электронный журнал комбинаторики . 11 : N15. дои : 10.37236/1856 .
• Айхан Дил; Иштван Мезё (2008). «Симметричный алгоритм для гипергармонических чисел и чисел Фибоначчи». Прикладная математика и вычислительная техника . 206 (2): 942–951. arXiv : 0803.4388 . дои : 10.1016/j.amc.2008.10.013. S2CID  12130670.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гармоническое число». Математический мир .

Эта статья включает в себя материал из числа Harmonic на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .