геликоид

Математическая форма

Геликоид с α  = 1, −1 ≤  ρ  ≤ 1 и − π  ≤  θ  ≤  π .

Геликоид , также известный как спиральная поверхность , после плоскости и катеноида , является третьей минимальной известной поверхностью .

Описание

Он был описан Эйлером в 1774 году и Жаном Батистом Мёнье в 1776 году. Его название происходит от его сходства со спиралью : для каждой точки геликоида существует спираль, содержащаяся в геликоиде, которая проходит через эту точку. Поскольку считается, что плоскостной диапазон простирается на отрицательную и положительную бесконечность, внимательное наблюдение показывает появление двух параллельных или зеркальных плоскостей в том смысле, что если проследить наклон одной плоскости, можно увидеть, что соплоскость обошла или обошла. пропущено, хотя на самом деле соплоскость прослеживается и с противоположной точки зрения.

Геликоид также является линейчатой ​​поверхностью (и прямым коноидом ), что означает, что это след линии. Альтернативно, для любой точки на поверхности существует линия, проходящая через нее. Действительно, в 1842 году Каталан доказал, что геликоид и плоскость являются единственными линейчатыми минимальными поверхностями . ^[1]

Геликоид также является поверхностью перемещения в смысле дифференциальной геометрии.

Геликоид и катеноид являются частями семейства минимальных поверхностей геликоид-катеноид.

Геликоид имеет форму винта Архимеда , но простирается бесконечно во всех направлениях. Его можно описать следующими параметрическими уравнениями в декартовых координатах :

${\displaystyle x=\rho \cos(\alpha \theta ),\ }$

${\displaystyle y=\rho \sin(\alpha \theta ),\ }$

${\displaystyle z=\theta ,\ }$

где ρ и θ варьируются от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности, а α является константой. Если α положительное значение, то геликоид правый, как показано на рисунке; если отрицательный, то левша.

Геликоид имеет главные кривизны . Сумма этих величин дает среднюю кривизну (нуль, поскольку геликоид является минимальной поверхностью), а произведение дает гауссову кривизну . ${\displaystyle \pm \alpha /(1+\alpha ^{2}\rho ^{2})\ }$

Геликоид гомеоморфен плоскости . Чтобы убедиться в этом, пусть α непрерывно уменьшается от заданного значения до нуля . Каждое промежуточное значение α будет описывать отдельный геликоид до тех пор, пока α = 0 не будет достигнуто и геликоид не станет вертикальной плоскостью . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

И наоборот, плоскость можно превратить в геликоид, выбрав линию или ось на плоскости, а затем повернув плоскость вокруг этой оси.

Если геликоид радиуса R вращается на угол θ вокруг своей оси, поднимаясь на высоту h , площадь поверхности определяется выражением ^[2]

${\displaystyle {\frac {\theta }{2}}\left[R{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}+c^{2}\ln \left({\frac {R+{\sqrt {R^{2}+c^{2}}}}{c}}\right)\right],\ c={\frac {h}{\theta }}.}$

Геликоид и катеноид

Анимация, показывающая превращение геликоида в катеноид.

Геликоид и катеноид являются локально изометрическими поверхностями; см. Преобразование Катеноида#Геликоида .

Смотрите также

• Обобщенный геликоид
• поверхность Дини
• Правый коноид
• Линейчатая поверхность

Примечания

1. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей в трехмерном пространстве А. Т. Фоменко , А. А. Тужилин Автор А. А. Тужилин Опубликовано книжным магазином AMS, 1991 ISBN  0-8218-4552-7 , ISBN 978-0-8218-4552-3 , п. 33 
2. Вайсштейн, Эрик В. «Геликоид». Математический мир . Проверено 8 июня 2020 г.

Внешние ссылки

• «Геликоид», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Интерактивный 3D геликоид на основе WebGL