Генераторная установка группы

Концепция абстрактной алгебры

Корни пятой степени из единицы в комплексной плоскости образуют группу при умножении. Каждый неидентичный элемент генерирует группу.

В абстрактной алгебре порождающий набор группы — это такое подмножество группового множества, что каждый элемент группы может быть выражен как комбинация (при групповой операции) конечного числа элементов подмножества и их обратных .

Другими словами, если это подмножество группы , то подгруппа, порожденная , является наименьшей подгруппой , содержащей каждый элемент из , что равно пересечению всех подгрупп, содержащих элементы ; эквивалентно, это подгруппа всех элементов, которую можно выразить как конечное произведение элементов in и их обратных. (Обратите внимание, что обратные элементы необходимы только в том случае, если группа бесконечна; в конечной группе обратный элемент может быть выражен как степень этого элемента.) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

Если , то мы говорим, что порождает , а элементы в называются генераторами или генераторами групп . Если – пустое множество, то – тривиальная группа , поскольку мы считаем пустое произведение тождественным. ${\displaystyle G=\langle S\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle \{e\}}$

Когда в , имеется только один элемент , его обычно записывают как . В этом случае – циклическая подгруппа степеней , циклическая группа , и мы говорим, что эта группа порождается . То же самое, что сказать, что элемент порождает группу, равносильно утверждению, что это соответствует всей группе . Для конечных групп это также эквивалентно утверждению, что группа имеет порядок . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |G|}$

Группе может потребоваться бесконечное количество генераторов. Например, аддитивная группа рациональных чисел не является конечно порожденной. Он генерируется обратными значениями всех целых чисел, но любое конечное число этих генераторов можно удалить из порождающего набора, не переставая быть порождающим набором. В таком случае все элементы в порождающем наборе, тем не менее, являются «непорождающими элементами», как и фактически все элементы всей группы — см. подгруппу Фраттини ниже. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Если является топологической группой , то подмножество называется множеством топологических образующих , если оно плотно в , т. е. замыканием является вся группа . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$ ${\displaystyle G}$

Конечно сгенерированная группа

Если конечна, то группа называется конечно порожденной . В частности, легко описывается структура конечно порожденных абелевых групп . Многие теоремы, верные для конечно порожденных групп, неверны для групп вообще. Доказано, что если конечная группа порождается подмножеством , то каждый элемент группы может быть выражен словом из алфавита длины, меньшей или равной порядку группы. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G=\langle S\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Любая конечная группа конечно порождена, поскольку . Складываемые целые числа являются примером бесконечной группы, которая конечно порождается как 1, так и -1, но складываемая группа рациональных чисел не может быть конечно порожденной. Никакая несчетная группа не может быть конечно порождена. Например, складываемая группа действительных чисел . ${\displaystyle \langle G\rangle =G}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$

Различные подмножества одной и той же группы могут быть порождающими подмножествами. Например, если и являются целыми числами с НОД ( p ,  q ) = 1 , то также генерирует группу целых чисел, добавляемых по тождеству Безу . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \{p,q\}}$

Хотя верно, что каждый фактор конечно порожденной группы конечно порожден (образы генераторов в факторе дают конечный порождающий набор), подгруппа конечно порожденной группы не обязательно должна быть конечно порожденной. Например, пусть – свободная группа в двух образующих, и (которая, очевидно, конечно порождена, поскольку ), и пусть – подмножество, состоящее из всех элементов вида для некоторого натурального числа . изоморфна свободной группе по счетному бесконечному числу образующих и поэтому не может быть конечно порождена . Однако каждая подгруппа конечно порожденной абелевой группы сама по себе конечно порождена. На самом деле можно сказать больше: класс всех конечно порожденных групп замкнут относительно расширений . Чтобы убедиться в этом, возьмем порождающий набор для (конечно порожденной) нормальной подгруппы и фактора. Тогда образующие нормальной подгруппы вместе с прообразами образующих фактора порождают группу. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle G=\langle \{x,y\}\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle y^{n}xy^{-n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \langle S\rangle }$

Примеры

• Мультипликативная группа целых чисел по модулю 9 , U ₉  = {1, 2, 4, 5, 7, 8} , представляет собой группу всех целых чисел, относительно простых с 9 при умножении по модулю  9 . Обратите внимание, что 7 не является генератором U ₉ , поскольку 2 является генератором, поскольку
    ${\displaystyle \{7^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\},}$
  
    ${\displaystyle \{2^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.}$

• С другой стороны, Sn , симметрическая группа степени n , не порождается ни одним элементом (не является циклической ), когда _n > 2. Однако в этих случаях Sn всегда может быть порождена двумя перестановками _, которые записаны в обозначение цикла как (1 2) и (1 2 3 ...  n ) . Например, 6 элементов S ₃ могут быть сгенерированы из двух генераторов (1 2) и (1 2 3), как показано в правой части следующих уравнений (композиция ведется слева направо):

е = (1 2)(1 2)

(1 2) = (1 2)

(1 3) = (1 2)(1 2 3)

(2 3) = (1 2 3)(1 2)

(1 2 3) = (1 2 3)

(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

• Бесконечные группы также могут иметь конечные порождающие множества. Аддитивная группа целых чисел имеет 1 в качестве порождающего набора. Элемент 2 не является генератором, так как нечетные числа будут отсутствовать. Двухэлементное подмножество {3, 5} является порождающим множеством, поскольку (−5) + 3 + 3 = 1 (фактически, любая пара взаимно простых чисел является таковой, как следствие тождества Безу ).

• Группа диэдра n-угольника ( имеющего порядок 2n ) порождается набором { r , s } , где r представляет вращение на 2 π / n , а s — любое отражение через линию симметрии. ^[1]

• Циклическая группа порядка , и корни ^th из единицы порождены одним элементом (фактически эти группы изоморфны друг другу). ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$

• Представление группы определяется как набор генераторов и набор отношений между ними, поэтому любой из примеров, перечисленных на этой странице, содержит примеры порождающих наборов. ^[3]

Бесплатная группа

Самая общая группа, порожденная набором, — это группа, свободно порожденная набором . Каждая группа, порожденная, изоморфна фактору этой группы, и это свойство используется при выражении представления группы . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Подгруппа Фраттини

Интересная сопутствующая тема — это негенераторы . Элемент группы не является генератором, если каждый набор, содержащий его , продолжает генерировать, когда его удаляют из . В целых числах со сложением единственным негенератором является 0. Набор всех негенераторов образует подгруппу , подгруппу Фраттини . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$

Полугруппы и моноиды

Если полугруппа или моноид , можно все еще использовать понятие порождающего набора . — это порождающий набор полугруппы/моноида if — наименьшая полугруппа/моноид, содержащая . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

Определения порождающего множества группы, использующие конечные суммы, данные выше, необходимо немного видоизменить, когда речь идет о полугруппах или моноидах. Действительно, в этом определении больше не должно использоваться понятие обратной операции. Набор называется порождающим набором полугруппы, если каждый элемент является конечной суммой элементов . Аналогично, набор называется порождающим набором моноида, если каждый ненулевой элемент является конечной суммой элементов . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$

Например, {1} — это моноидный генератор множества натуральных чисел . Множество {1} также является полугрупповым генератором положительных натуральных чисел . Однако целое число 0 не может быть выражено как (непустая) сумма единиц, поэтому {1} ​​не является генератором полугруппы натуральных чисел. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{>0}}$

Аналогично, хотя {1} является групповым генератором набора целых чисел , {1} не является генератором моноида набора целых чисел. Действительно, целое число −1 не может быть выражено как конечная сумма единиц. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Смотрите также

• Генерирующий набор для связанных значений в других структурах
• Презентация группы
• Примитивный элемент (конечное поле)
• Граф Кэли

Примечания

1. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. п. 25. ISBN 9780471452348. ОСЛК  248917264.
2. Даммит и Фут 2004, стр. 54
3. Даммит и Фут 2004, с. 26

Рекомендации

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4, МР  1878556, Збл  0984.00001
• Коксетер, HSM; Мозер, WOJ (1980). Генераторы и соотношения для дискретных групп . Спрингер. ISBN 0-387-09212-9.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Групповые генераторы». Математический мир .