Квадрат

Правильный четырехугольник

В евклидовой геометрии квадрат — это правильный четырёхугольник , что означает, что он имеет четыре прямые стороны одинаковой длины и четыре равных угла (углы в 90 градусов , углы в π/2 радиана или прямые углы ). Его также можно определить как прямоугольник с двумя смежными сторонами одинаковой длины. Это единственный правильный многоугольник , внутренний угол , центральный угол и внешний угол которого равны (90°). Квадрат с вершинами ABCD будет обозначаться ABCD . ^[1] ${\displaystyle \square }$

Характеристика

Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда он соответствует одному из следующих условий: ^{[2] [3]}

• Прямоугольник с двумя смежными равными сторонами
• Ромб с прямым углом при вершине
• Ромб , у которого все углы равны
• Параллелограмм с одним прямым углом при вершине и двумя смежными равными сторонами
• Четырехугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами
• Четырехугольник, диагонали которого равны и являются взаимно перпендикулярными серединами (т. е. ромб с равными диагоналями)
• Выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d, площадь которого равна ^{[4] : ​​Следствие 15} ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).}$

Характеристики

Квадрат является частным случаем ромба (равные стороны, противолежащие равные углы), воздушного змея (две пары смежных равных сторон), трапеции (одна пара противолежащих сторон параллельна), параллелограмма (все противолежащие стороны параллельны), четырехугольника или тетрагона (четырехугольник) и прямоугольника (противоположные стороны равны, прямые углы), и поэтому обладает всеми свойствами всех этих фигур, а именно: ^[5]

• Все четыре внутренних угла квадрата равны (каждый равен 360°/4 = 90°, прямой угол).
• Центральный угол квадрата равен 90° (360°/4).
• Внешний угол квадрата равен 90°.
• Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам, пересекаясь под углом 90°.
• Диагональ квадрата делит его внутренний угол пополам, образуя смежные углы по 45°.
• Все четыре стороны квадрата равны.
• Противоположные стороны квадрата параллельны .

Квадрат имеет символ Шлефли {4}. Усеченный квадрат, t{4}, является восьмиугольником , {8}. Альтернированный квадрат, h{4}, является двуугольником , {2}. Квадрат является случаем n = 2 семейств n - гиперкубов и n - ортоплексов .

Периметр и площадь

Площадь квадрата равна произведению длин его сторон.

Периметр квадрата, четыре стороны которого имеют длину ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle P=4\ell }$

и площадь А равна

${\displaystyle A=\ell ^{2}.}$^[1]

Поскольку четыре в квадрате равно шестнадцати, то квадрат четыре на четыре имеет площадь, равную его периметру. Единственный другой четырехугольник с таким свойством — это прямоугольник три на шесть.

В классические времена вторая степень описывалась в терминах площади квадрата, как в приведенной выше формуле. Это привело к использованию термина квадрат для обозначения возведения во вторую степень.

Площадь также можно рассчитать с помощью диагонали d по формуле

${\displaystyle A={\frac {d^{2}}{2}}.}$

В терминах радиуса описанной окружности R площадь квадрата равна

${\displaystyle A=2R^{2};}$

поскольку площадь круга равна площади, заполняющей описанную вокруг него окружность . ${\displaystyle \pi R^{2},}$ ${\displaystyle 2/\pi \approx 0.6366}$

В терминах радиуса вписанной окружности r площадь квадрата равна

${\displaystyle A=4r^{2};}$

следовательно, площадь вписанного круга равна площади квадрата. ${\displaystyle \pi /4\approx 0.7854}$

Поскольку это правильный многоугольник , квадрат — это четырехугольник наименьшего периметра, охватывающий заданную площадь. Двойственно, квадрат — это четырехугольник, содержащий наибольшую площадь в пределах заданного периметра. ^[6] Действительно, если A и P — это площадь и периметр, охватываемые четырехугольником, то выполняется следующее изопериметрическое неравенство :

${\displaystyle 16A\leq P^{2}}$

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом.

Другие факты

• Диагонали квадрата (примерно 1,414) умножены на длину стороны квадрата. Это значение, известное как квадратный корень из 2 или постоянная Пифагора, ^[1] было первым числом, иррациональность которого была доказана . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• Квадрат также можно определить как параллелограмм с равными диагоналями, делящими углы пополам.
• Если фигура является одновременно прямоугольником (прямые углы) и ромбом (равные длины сторон), то она является квадратом.
• Квадрат имеет большую площадь, чем любой другой четырехугольник с тем же периметром. ^[7]
• Квадратная мозаика — одна из трех правильных мозаик плоскости (другие — равносторонний треугольник и правильный шестиугольник ).
• Квадрат входит в два семейства многогранников в двух измерениях: гиперкуб и кросс-политоп . Символ Шлефли для квадрата — {4}.
• Квадрат — высокосимметричный объект. Имеет четыре линии отражательной симметрии и вращательную симметрию 4-го порядка (через 90°, 180° и 270°). Его группа симметрии — диэдральная группа  D ₄ .
• Квадрат можно вписать внутрь любого правильного многоугольника. Единственный другой многоугольник с таким свойством — равносторонний треугольник .
• Если вписанная окружность квадрата ABCD имеет точки касания E на AB , F на BC , G на CD и H на DA , то для любой точки P на вписанной окружности, ^[8]

${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$

• Если - расстояние от произвольной точки плоскости до i -й вершины квадрата, а - радиус описанной окружности квадрата, то ^[9] ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$

• Если и — расстояния от произвольной точки плоскости до центра тяжести квадрата и его четырех вершин соответственно, то ^[10] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$

и

${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),}$

где - радиус описанной окружности квадрата. ${\displaystyle R}$

Координаты и уравнения

${\displaystyle |x|+|y|=2}$построено в декартовых координатах .

Координаты вершин квадрата с вертикальными и горизонтальными сторонами, с центром в начале координат и длиной стороны 2 равны (±1, ±1), в то время как внутренняя часть этого квадрата состоит из всех точек ( x _i , y _i ) с −1 < x _i < 1 и −1 < y _i < 1. Уравнение

${\displaystyle \max(x^{2},y^{2})=1}$

определяет границу этого квадрата. Это уравнение означает " x ² или y ² , в зависимости от того, что больше, равно 1". Радиус описанной окружности этого квадрата (радиус окружности, проведенной через вершины квадрата) равен половине диагонали квадрата и равен Тогда описанная окружность имеет уравнение ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2.}$

Альтернативно уравнение

${\displaystyle \left|x-a\right|+\left|y-b\right|=r.}$

может также использоваться для описания границы квадрата с центральными координатами ( a , b ) и горизонтальным или вертикальным радиусом r . Таким образом, квадрат имеет форму топологического шара в соответствии с метрикой расстояния L 1 .

Строительство

Следующие анимации показывают, как построить квадрат с помощью циркуля и линейки . Это возможно, так как 4 = 2 ² , степень двойки .

Квадрат в данной описанной окружности

Симметрия

Диэдральные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров). Циклические симметрии в средней колонке обозначены как g для их центрального порядка инерции. Полная симметрия квадрата обозначена r8 , а отсутствие симметрии обозначено a1 .

Квадрат имеет симметрию Dih ₄ порядка 8. Имеется 2 диэдральные подгруппы: Dih ₂ , Dih ₁ и 3 циклические подгруппы : Z ₄ , Z ₂ и Z ₁ .

Квадрат является частным случаем многих четырехугольников с более низкой симметрией:

• Прямоугольник с двумя смежными равными сторонами
• Четырехугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами
• Параллелограмм с одним прямым углом и двумя смежными равными сторонами
• Ромб с прямым углом
• Ромб, у которого все углы равны
• Ромб с равными диагоналями

Эти 6 симметрий выражают 8 различных симметрий на квадрате. Джон Конвей обозначает их буквой и порядком группы. ^[11]

Каждая подгруппа симметрии допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных четырехугольников . r8 — полная симметрия квадрата, a1 — отсутствие симметрии. d4 — симметрия прямоугольника , p4 — симметрия ромба . Эти две формы являются дуальными друг другу и имеют половину порядка симметрии квадрата. d2 — симметрия равнобедренной трапеции , p2 — симметрия воздушного змея . g2 определяет геометрию параллелограмма .

Только подгруппа g4 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как квадрат с направленными ребрами .

Квадраты, вписанные в треугольники

Каждый остроугольный треугольник имеет три вписанных квадрата (квадраты внутри него, такие, что все четыре вершины квадрата лежат на стороне треугольника, так что две из них лежат на одной стороне, и, следовательно, одна сторона квадрата совпадает с частью стороны треугольника). В прямоугольном треугольнике два квадрата совпадают и имеют вершину в прямом углу треугольника, так что прямоугольный треугольник имеет только два различных вписанных квадрата. Тупоугольный треугольник имеет только один вписанный квадрат, со стороной, совпадающей с частью самой длинной стороны треугольника.

Доля площади треугольника, заполненная квадратом, не превышает 1/2.

Квадратура круга

Квадратура круга , предложенная древними геометрами , представляет собой задачу построения квадрата с той же площадью, что и заданный круг , используя лишь конечное число шагов с помощью циркуля и линейки .

В 1882 году было доказано, что эта задача невыполнима вследствие теоремы Линдемана–Вейерштрасса , которая доказывает, что число пи ( π ) является трансцендентным числом, а не алгебраическим иррациональным числом ; то есть оно не является корнем никакого многочлена с рациональными коэффициентами.

Неевклидова геометрия

В неевклидовой геометрии квадраты в более общем смысле представляют собой многоугольники с четырьмя равными сторонами и равными углами.

В сферической геометрии квадрат — это многоугольник, стороны которого — дуги большой окружности равного расстояния, которые встречаются под равными углами. В отличие от квадрата плоской геометрии, углы такого квадрата больше прямого угла. Большие сферические квадраты имеют большие углы.

В гиперболической геометрии квадраты с прямыми углами не существуют. Напротив, квадраты в гиперболической геометрии имеют углы, меньшие прямых. Большие гиперболические квадраты имеют меньшие углы.

Примеры:

Перечеркнутый квадрат

Перечеркнутый квадрат

Пересеченный квадрат — это огранка квадрата, самопересекающийся многоугольник, созданный путем удаления двух противоположных сторон квадрата и повторного соединения его двумя диагоналями. Он имеет половину симметрии квадрата, Dih ₂ , порядок 4. Он имеет то же расположение вершин , что и квадрат, и является вершинно-транзитивным . Он выглядит как два треугольника 45-45-90 с общей вершиной, но геометрическое пересечение не считается вершиной.

Перекрещенный квадрат иногда сравнивают с галстуком-бабочкой или бабочкой . Перекрещенный прямоугольник , как грань прямоугольника, относится к обоим частным случаям перекрещенных четырехугольников . ^[12]

Внутренняя часть перечеркнутого квадрата может иметь плотность полигонов ±1 в каждом треугольнике, в зависимости от ориентации намотки (по часовой стрелке или против часовой стрелки).

Квадрат и перечеркнутый квадрат имеют следующие общие свойства:

• Противоположные стороны имеют одинаковую длину.
• Две диагонали имеют одинаковую длину.
• Имеет две линии отражательной симметрии и вращательную симметрию 2-го порядка (на 180°).

Он существует в вершинной фигуре однородного звездчатого многогранника — тетрагемигексаэдра .

Графики

3-симплекс (3D)

Полный граф K ₄ часто рисуется как квадрат со всеми 6 возможными соединенными ребрами, поэтому выглядит как квадрат с обеими нарисованными диагоналями. Этот граф также представляет собой ортографическую проекцию 4 вершин и 6 ребер правильного 3- симплекса ( тетраэдра ).

Смотрите также

• Математический портал

• Куб
• Теорема Пифагора
• Квадратная решетка
• Квадратное число
• Квадратный корень
• Возведение квадрата в квадрат
• Сквиркл
• Единица измерения квадрат

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Square". Wolfram MathWorld . Получено 2020-09-02 .
2. Залман Усискин и Дженнифер Гриффин, «Классификация четырехугольников. Исследование определения», Information Age Publishing, 2008, стр. 59, ISBN 1-59311-695-0 . 
3. "Набор задач 1.3". jwilson.coe.uga.edu . Получено 2017-12-12 .
4. Йозефссон, Мартин, «Свойства равнодиагональных четырехугольников». Архивировано 27 сентября 2022 г. на форуме Wayback Machine Geometricorum , 14 (2014), 129–144.
5. "Четырехугольники - квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, параллелограмм". www.mathsisfun.com . Получено 2020-09-02 .
6. Чакериан, ГД «Искаженный взгляд на геометрию». Гл. 7 в Mathematical Plums (редактор Р. Хонсбергер). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.
7. Лундсгаард Хансен, Мартин. «Вагн Лундсгаард Хансен». www2.mat.dtu.dk. ​Проверено 12 декабря 2017 г.
8. "Уроки геометрии, задача 331. Квадрат, точка на вписанной окружности, точки касания. Учитель математики, магистр. Колледж, подготовка к SAT. Электронное обучение, онлайн-репетитор по математике, система управления обучением". gogeometry.com . Получено 12.12.2017 .
9. Пак, Пу-Сун. «Расстояния правильных многогранников», Forum Geometricorum 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf Архивировано 10 октября 2016 г. на Wayback Machine
10. Месхишвили, Мамука (2021). «Циклические средние расстояний правильных многоугольников» (PDF) . Международный журнал геометрии . 10 : 58–65.
11. Джон Х. Конвей, Хайди Бергиль, Хаим Гудман-Штраус, (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275–278) 
12. Уэллс, Кристофер Дж. «Четырехугольники». www.technologyuk.net . Получено 12 декабря 2017 г.

Внешние ссылки

• Анимированный курс (Построение, Окружность, Площадь)
• Определение и свойства квадрата С интерактивным апплетом
• Анимированный апплет, иллюстрирующий площадь квадрата