Гиперболическая группа

Математическая концепция

В теории групп , точнее в геометрической теории групп , гиперболическая группа , также известная как словесная гиперболическая группа или гиперболическая группа Громова , представляет собой конечно порожденную группу, снабженную словесной метрикой , удовлетворяющей определенным свойствам, абстрагированным от классической гиперболической геометрии . Понятие гиперболической группы было введено и разработано Михаилом Громовым  (1987). Вдохновение пришло из различных существующих математических теорий: гиперболической геометрии, а также низкомерной топологии (в частности, результатов Макса Дена относительно фундаментальной группы гиперболической римановой поверхности и более сложных явлений в трехмерной топологии ) и комбинаторной теории групп . В очень влиятельной (более 1000 ссылок ^[1] ) главе 1987 года Громов предложил широкомасштабную исследовательскую программу. Идеи и основополагающий материал в теории гиперболических групп также вытекают из работ Джорджа Мостоу , Уильяма Терстона , Джеймса У. Кэннона , Элияху Рипса и многих других.

Определение

Пусть будет конечно порожденной группой, а будет ее графом Кэли относительно некоторого конечного набора генераторов. Набор наделен своей графовой метрикой (в которой ребра имеют длину один, а расстояние между двумя вершинами равно минимальному числу ребер в пути, соединяющем их), которая превращает его в пространство длины . Тогда группа называется гиперболической, если является гиперболическим пространством в смысле Громова. Короче говоря, это означает, что существует такое , что любой геодезический треугольник в является -тонким, как показано на рисунке справа (тогда пространство называется -гиперболическим). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

Априори это определение зависит от выбора конечного порождающего множества . То, что это не так, следует из двух следующих фактов: ${\displaystyle S}$

• Графы Кэли, соответствующие двум конечным порождающим множествам, всегда квазиизометричны друг другу;
• любое геодезическое пространство, квазиизометричное геодезическому пространству Громова-гиперболическому, само является пространством Громова-гиперболическим.

Таким образом, мы можем законно говорить о конечно порождённой группе , являющейся гиперболической, не ссылаясь на порождающее множество. С другой стороны, пространство, которое является квазиизометричным -гиперболическому пространству, само является -гиперболическим для некоторых , но последнее зависит как от исходного , так и от квазиизометрии, поэтому не имеет смысла говорить о том, что оно -гиперболично. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \delta '>0}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \delta }$

Замечания

Лемма Шварца –Милнора ^[2] утверждает, что если группа действует собственно разрывно и с компактным фактором (такое действие часто называют геометрическим ) на собственном пространстве с длиной , то она конечно порождена, и любой граф Кэли для является квазиизометричным . Таким образом, группа является (конечно порожденной и) гиперболической тогда и только тогда, когда она имеет геометрическое действие на собственном гиперболическом пространстве. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$

Если — подгруппа с конечным индексом (т. е. множество конечно), то включение индуцирует квазиизометрию на вершинах любого локально конечного графа Кэли из в любой локально конечный граф Кэли из . Таким образом, является гиперболическим тогда и только тогда, когда он сам является таковым. В более общем случае, если две группы соизмеримы , то одна из них является гиперболической тогда и только тогда, когда она является таковой. ${\displaystyle G'\subset G}$ ${\displaystyle G/G'}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G}$

Примеры

Элементарные гиперболические группы

Простейшими примерами гиперболических групп являются конечные группы (графы Кэли которых имеют конечный диаметр, следовательно, -гиперболические с диаметром, равным этому). ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

Другой простой пример дает бесконечная циклическая группа : граф Кэли относительно порождающего множества является прямой, поэтому все треугольники являются отрезками прямых, а граф является -гиперболическим. Отсюда следует, что любая группа, которая является виртуально циклической (содержит копию конечного индекса), также является гиперболической, например бесконечная диэдральная группа . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Члены этого класса групп часто называют элементарными гиперболическими группами (терминология адаптирована из терминологии действий на гиперболической плоскости).

Свободные группы и группы, действующие на деревьях

Пусть будет конечным множеством и будет свободной группой с порождающим множеством . Тогда граф Кэли относительно является локально конечным деревом и, следовательно, 0-гиперболическим пространством. Таким образом, является гиперболической группой. ${\displaystyle S=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F}$

В более общем смысле мы видим, что любая группа , которая действует собственно разрывно на локально конечном дереве (в данном контексте это означает в точности, что стабилизаторы вершин в конечны), является гиперболической. Действительно, это следует из того факта, что имеет инвариантное поддерево, на котором она действует с компактным фактором, и леммы Сварца—Милнора. Такие группы фактически являются виртуально свободными (т.е. содержат конечно порожденную свободную подгруппу конечного индекса), что дает еще одно доказательство их гиперболичности. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Интересным примером является модулярная группа : она действует на дереве, заданном 1-скелетом ассоциированного разбиения гиперболической плоскости , и имеет конечную свободную от индекса подгруппу (на двух образующих) индекса 6 (например, множество матриц, в которых сводится к тождеству по модулю 2, является такой группой). Обратите внимание на интересную особенность этого примера: она действует надлежащим образом разрывно на гиперболическом пространстве ( гиперболической плоскости ), но действие не является кокомпактным (и, действительно, не является квазиизометричным гиперболической плоскости). ${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Фуксовы группы

Обобщая пример модулярной группы, фуксова группа — это группа, допускающая собственно разрывное действие на гиперболической плоскости (эквивалентно, дискретную подгруппу ). Гиперболическая плоскость является -гиперболическим пространством, и, следовательно, лемма Сварца—Милнора говорит нам, что кокомпактные фуксовы группы являются гиперболическими. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \delta }$

Примерами таких являются фундаментальные группы замкнутых поверхностей отрицательной эйлеровой характеристики . Действительно, эти поверхности могут быть получены как факторы гиперболической плоскости, как следует из теоремы Пуанкаре—Кёбе об униформизации .

Другое семейство примеров кокомпактных фуксовых групп дают треугольные группы : все они, за исключением конечного числа, являются гиперболическими.

Отрицательная кривизна

Обобщая пример замкнутых поверхностей, фундаментальные группы компактных римановых многообразий со строго отрицательной секционной кривизной являются гиперболическими. Например, кокомпактные решетки в ортогональной или унитарной группе, сохраняющие форму сигнатуры, являются гиперболическими. ${\displaystyle (n,1)}$

Дальнейшее обобщение дают группы, допускающие геометрическое действие на пространстве CAT(k) , когда — любое отрицательное число. ^[3] Существуют примеры, которые не соизмеримы ни с одной из предыдущих конструкций (например, группы, действующие геометрически на гиперболических зданиях ). ${\displaystyle k}$

Небольшие группы отмены

Группы, имеющие представления, которые удовлетворяют условиям малого сокращения, являются гиперболическими. Это дает источник примеров, которые не имеют геометрического происхождения, как те, что приведены выше. Фактически, одной из мотиваций первоначального развития гиперболических групп было дать более геометрическую интерпретацию малого сокращения.

Случайные группы

В некотором смысле, "большинство" конечно представленных групп с большими определяющими соотношениями являются гиперболическими. Для количественного описания того, что это означает, см. Случайная группа .

Не примеры

• Простейшим примером группы, которая не является гиперболической, является свободная абелева группа ранга 2. Действительно, она квазиизометрична евклидовой плоскости , которая, как легко видеть, не является гиперболической (например, из-за существования гомотетий ). ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$
• В более общем смысле любая группа, которая содержит в качестве подгруппы , не является гиперболической. ^{[4] [5]} В частности, решетки в полупростых группах Ли более высокого ранга и фундаментальные группы нетривиальных дополнений узлов попадают в эту категорию и, следовательно, не являются гиперболическими. Это также относится к группам классов отображений замкнутых гиперболических поверхностей. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\setminus K)}$
• Группы Баумслага –Солитера B ( m , n ) и любая группа, содержащая подгруппу, изоморфную некоторой B ( m , n ), не являются гиперболическими (поскольку B (1,1) = , это обобщает предыдущий пример). ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$
• Неравномерная решетка в простой группе Ли ранга 1 является гиперболической тогда и только тогда, когда группа изогенна ( эквивалентно, ассоциированное симметричное пространство является гиперболической плоскостью). Примером этого являются гиперболические группы узлов . Другим примером являются группы Бианки , например . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}({\sqrt {-1}})}$

Характеристики

Алгебраические свойства

• Гиперболические группы удовлетворяют альтернативе Титса : они либо виртуально разрешимы (этой возможности удовлетворяют только элементарные гиперболические группы), либо имеют подгруппу, изоморфную неабелевой свободной группе.
• Неэлементарные гиперболические группы не являются простыми в очень сильном смысле: если — неэлементарная гиперболическая группа, то существует бесконечная подгруппа такая, что и обе бесконечны. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\triangleleft G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$
• Неизвестно, существует ли гиперболическая группа, которая не является финитно аппроксимируемой .

Геометрические свойства

• Неэлементарные (бесконечные и не практически циклические) гиперболические группы всегда имеют экспоненциальную скорость роста (это следствие альтернативы Титса).
• Гиперболические группы удовлетворяют линейному изопериметрическому неравенству . ^[6]

Гомологические свойства

• Гиперболические группы всегда конечно представлены . Фактически можно явно построить комплекс ( комплекс Рипса ), который стягиваем и на котором группа действует геометрически ^[7], так что он имеет тип F _∞ . Когда группа не имеет кручения, действие свободно, показывая, что группа имеет конечную когомологическую размерность .
• В 2002 году И. Минеев показал, что гиперболические группы — это в точности те конечно порождённые группы, для которых отображение сравнения между ограниченными когомологиями и обычными когомологиями сюръективно во всех степенях или, что эквивалентно, в степени 2. ^[8]

Алгоритмические свойства

• Гиперболические группы имеют разрешимую проблему слова . Они являются биавтоматическими и автоматическими . ^[9] Действительно, они являются строго геодезически автоматическими , то есть в группе существует автоматическая структура, где язык, принимаемый акцептором слова, является множеством всех геодезических слов.
• В 2010 году было показано, что гиперболические группы имеют разрешимую отмеченную проблему изоморфизма. ^[10] Примечательно, что это означает, что проблема изоморфизма, проблемы орбит (в частности, проблема сопряженности) и проблема Уайтхеда являются разрешимыми.
• Кэннон и Свенсон показали, что гиперболические группы с 2-сферой на бесконечности имеют естественное правило подразделения . ^[11] Это связано с гипотезой Кэннона .

Обобщения

Относительно гиперболические группы

Относительно гиперболические группы — это класс, обобщающий гиперболические группы. Очень грубо ^[12] является гиперболической относительно набора подгрупп, если она допускает ( не обязательно кокомпактное ) собственно разрывное действие на собственном гиперболическом пространстве , которое является «хорошим» на границе и таким, что стабилизаторы в точек на границе являются подгруппами в . Это интересно, когда и действие на не являются элементарными (в частности , бесконечно: например, каждая группа является гиперболической относительно себя посредством своего действия на одну точку!). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Интересные примеры в этом классе включают в себя, в частности, неравномерные решетки в полупростых группах Ли ранга 1 , например, фундаментальные группы некомпактных гиперболических многообразий конечного объема. Непримерами являются решетки в группах Ли более высокого ранга и группы классов отображений.

Ацилиндрически гиперболические группы

Еще более общим понятием является понятие цилиндрически гиперболической группы. ^[13] Ацилиндричность действия группы на метрическом пространстве является ослаблением собственной разрывности действия. ^[14] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Группа называется цилиндрически гиперболической, если она допускает неэлементарное цилиндрическое действие на ( не обязательно собственном ) гиперболическом пространстве Громова. Это понятие включает отображение групп классов через их действия на комплексах кривых . Решетки в группах Ли более высокого ранга (все еще!) не цилиндрически гиперболические.

Группы CAT(0)

В другом направлении можно ослабить предположение о кривизне в примерах выше: группа CAT(0) — это группа, допускающая геометрическое действие на пространстве CAT(0) . Сюда входят евклидовы кристаллографические группы и равномерные решетки в группах Ли более высокого ранга.

Неизвестно, существует ли гиперболическая группа, которая не является CAT(0). ^[15]

Примечания

1. Громов, Михаил (1987). «Гиперболические группы». В Gersten, SM (ред.). Очерки по теории групп. Mathematical Sciences Research Institute Publications, т. 8. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. С. 75–263.
2. Боудич 2006, Теорема 3.6.
3. для доказательства того, что это включает предыдущие примеры, см. https://lamington.wordpress.com/2012/10/17/upper-curvature-bounds-and-catk/
4. Гис и де ла Харп 1990, гл. 8, Чел. 37.
5. Bridson & Haefliger 1999, Глава 3.Γ, Следствие 3.10..
6. Боудич 2006, (F4) в пункте 6.11.2.
7. Гис и де ла Харп 1990, Глава 4.
8. Минеев 2002.
9. Чарни 1992.
10. Дахмани и Гирардель 2011.
11. Кэннон и Свенсон 1998.
12. Боудич 2012.
13. Осин 2016.
14. Более подробно: требуется, чтобы для каждого существовало такое, что для каждых двух точек , которые находятся по крайней мере на расстоянии друг от друга, существует не более элементов, удовлетворяющих и . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle R,N>0}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle d(x,gx)<\varepsilon }$ ${\displaystyle d(y,gy)<\varepsilon }$
15. "Все ли δ-гиперболические группы CAT(0)?". Stack Exchange . 10 февраля 2015 г.

Ссылки

• Бридсон, Мартин Р .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. Том. 319. Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN 3-540-64324-9. МР  1744486.

• Боудич, Брайан (2006). Курс геометрической теории групп (PDF) . MSJ Memoirs. Том 16. Токио: Математическое общество Японии . doi :10.1142/e003. ISBN 4-931469-35-3. МР  2243589.

• Боудич, Брайан (2012). "Относительно гиперболические группы" (PDF) . Международный журнал алгебры и вычислений . 22 (3): 1250016, 66 стр. doi :10.1142/S0218196712500166. MR  2922380. S2CID  261118194.

• Кэннон, Джеймс У .; Свенсон, Эрик Л. (1998). «Распознавание дискретных групп постоянной кривизны в размерности 3». Труды Американского математического общества . 350 (2): 809–849. doi : 10.1090/S0002-9947-98-02107-2 . MR  1458317.
• Чарни, Рут (1992). «Группы Артина конечного типа являются биавтоматными». Mathematische Annalen . 292 (4): 671–683. doi :10.1007/BF01444642. MR  1157320. S2CID  120654588.
• Дахмани, Франсуа; Гирардель, Винсент (2011). «Проблема изоморфизма для всех гиперболических групп». Геометрический и функциональный анализ . 21 (2): 223–300. arXiv : 1002.2590 . doi :10.1007/s00039-011-0120-0. S2CID  115165062.
• Гис, Этьен ; де ла Арп, Пьер, ред. (1990). Sur les groupes Hyperboliques d'après Михаила Громова . Прогресс в математике (на французском языке). Том. 83. Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc. doi : 10.1007/978-1-4684-9167-8. ISBN 0-8176-3508-4. МР  1086648.
• Громов, Михаил (1987). "Гиперболические группы". В Gersten, Steve M. (ред.). Essays in Group Theory . Mathematical Sciences Research Institute Publications. Том 8. Нью-Йорк: Springer. С. 75–263. doi :10.1007/978-1-4613-9586-7_3. ISBN 0-387-96618-8. МР  0919829.
• Минеев, Игорь (2002). «Ограниченные когомологии характеризуют гиперболические группы». Quarterly Journal of Mathematics . 53 (1): 59–73. doi :10.1093/qjmath/53.1.59. MR  1887670.
• Осин, Денис (2016). «Ацилиндрически гиперболические группы». Труды Американского математического общества . 368 (2): 851–888. arXiv : 1304.1246 . doi :10.1090/tran/6343. MR  3430352. S2CID  21624534.

Дальнейшее чтение

• Корнарт, Мишель; Дельзант, Томас; Пападопулос, Атанас (1990). Géométrie et theorie des Groupes: les Groupes Hyperboliques de Gromov [ Геометрия и теория групп: гиперболические группы Громова ]. Конспекты лекций по математике (на французском языке). Том. 1441. Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/BFb0084913. ISBN 3-540-52977-2. МР  1075994.
• Coornaert, Michel; Papadopoulos, Athanase (1993). Symbolic Dynamics and Hyperbolic Groups . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1539. Berlin: Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0092577. ISBN 3-540-56499-3. МР  1222644.
• «Громовское гиперболическое пространство», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС , 2001 [1994]