Точка гиперболического равновесия

При изучении динамических систем гиперболическая точка равновесия или гиперболическая неподвижная точка — это неподвижная точка , которая не имеет никаких центральных многообразий . Вблизи гиперболической точки орбиты двумерной недиссипативной системы напоминают гиперболы. Это не выполняется в общем случае. Строгац отмечает, что «гиперболический — неудачное название, звучит так, будто оно должно означать « седловая точка », но оно стало стандартным». ^[1] Несколько свойств справедливы для окрестности гиперболической точки, в частности ^[2]

Орбиты вблизи двумерной седловой точки, пример гиперболического равновесия.

• Существуют устойчивое многообразие и неустойчивое многообразие,
• Происходит затенение ,
• Динамика на инвариантном множестве может быть представлена ​​через символическую динамику ,
• Можно определить естественную меру,
• Система структурно устойчива .

Карты

Если — отображение C1 , а p — неподвижная точка , то говорят, что p является гиперболической неподвижной точкой, ^когда матрица Якоби не имеет собственных значений на комплексной единичной окружности. ${\displaystyle T\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {D} T(p)}$

Одним из примеров отображения , единственная неподвижная точка которого является гиперболической, является отображение кошки Арнольда :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}}}$

Так как собственные значения задаются как

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$

Мы знаем, что показатели Ляпунова равны:

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\ln(3+{\sqrt {5}})}{2}}>1}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\ln(3-{\sqrt {5}})}{2}}<1}$

Следовательно, это седловая точка.

Потоки

Пусть будет векторным полем C ¹ с критической точкой p , т. е. F ( p ) = 0, и пусть J обозначает матрицу Якоби F в точке p . Если матрица J не имеет собственных значений с нулевыми действительными частями, то p называется гиперболической . Гиперболические неподвижные точки могут также называться гиперболическими критическими точками или элементарными критическими точками . ^[3] ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

Теорема Хартмана–Гробмана утверждает, что структура орбиты динамической системы в окрестности гиперболической точки равновесия топологически эквивалентна структуре орбиты линеаризованной динамической системы.

Пример

Рассмотрим нелинейную систему

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y,\\[5pt]{\frac {dy}{dt}}&=-x-x^{3}-\alpha y,~\alpha \neq 0\end{aligned}}}$

(0, 0) — единственная точка равновесия. Матрица Якоби линеаризации в точке равновесия имеет вид

${\displaystyle J(0,0)=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\-1&-\alpha \end{array}}\right].}$

Собственные значения этой матрицы равны . Для всех значений α  ≠ 0 собственные значения имеют ненулевую действительную часть. Таким образом, эта точка равновесия является гиперболической точкой равновесия. Линеаризованная система будет вести себя подобно нелинейной системе вблизи (0, 0). Когда α  = 0, система имеет негиперболическое равновесие в (0, 0). ${\displaystyle {\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4}}}{2}}}$

Комментарии

В случае бесконечномерной системы, например, системы с задержкой по времени, понятие «гиперболической части спектра» относится к указанному выше свойству.

Смотрите также

• Аносов поток
• Гиперболическое множество
• Нормально гиперболическое инвариантное многообразие

Примечания

1. Строгац, Стивен (2001). Нелинейная динамика и хаос . Westview Press. ISBN 0-7382-0453-6.
2. Отт, Эдвард (1994). Хаос в динамических системах . Cambridge University Press. ISBN 0-521-43799-7.
3. Абрахам, Ральф; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики . Reading Mass.: Benjamin/Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.

Ссылки

• Евгений М. Ижикевич (ред.). "Равновесие". Scholarpedia .