Гипотеза Сато–Тейта

Математическая гипотеза об эллиптических кривых

В математике гипотеза Сато–Тейта — статистическое утверждение о семействе эллиптических кривых E _{p ,} полученное из эллиптической кривой E над рациональными числами путем редукции по модулю почти всех простых чисел p . Микио Сато и Джон Тейт независимо друг от друга выдвинули гипотезу около 1960 года.

Если N _p обозначает число точек на эллиптической кривой E _{p ,} определенной над конечным полем с p элементами, гипотеза дает ответ на распределение члена второго порядка для N _p . По теореме Хассе об эллиптических кривых ,

${\displaystyle N_{p}/p=1+\mathrm {O} (1/\!{\sqrt {p}})\ }$

как , и смысл гипотезы состоит в том, чтобы предсказать, как изменяется O-член . ${\displaystyle p\to \infty }$

Первоначальная гипотеза и ее обобщение на все вполне вещественные поля были доказаны Лораном Клозелем , Майклом Харрисом , Николасом Шепардом-Барроном и Ричардом Тейлором при умеренных предположениях в 2008 году и завершены Томасом Барнетом-Лэмбом, Дэвидом Джерати, Харрисом и Тейлором в 2011 году. Открыто несколько обобщений на другие алгебраические многообразия и поля.

Заявление

Пусть E — эллиптическая кривая, определенная над рациональными числами без комплексного умножения . Для простого числа p определим θ _p как решение уравнения

${\displaystyle p+1-N_{p}=2{\sqrt {p}}\cos \theta _{p}~~(0\leq \theta _{p}\leq \pi ).}$

Тогда для каждых двух действительных чисел и для которых ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 0\leq \alpha <\beta \leq \pi ,}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {\#\{p\leq N:\alpha \leq \theta _{p}\leq \beta \}}{\#\{p\leq N\}}}={\frac {2}{\pi }}\int _{\alpha }^{\beta }\sin ^{2}\theta \,d\theta ={\frac {1}{\pi }}\left(\beta -\alpha +\sin(\alpha )\cos(\alpha )-\sin(\beta )\cos(\beta )\right)}$

Подробности

По теореме Хассе об эллиптических кривых отношение

${\displaystyle {\frac {(p+1)-N_{p}}{2{\sqrt {p}}}}={\frac {a_{p}}{2{\sqrt {p}}}}}$

находится между -1 и 1. Таким образом, его можно выразить как cos  θ для угла θ ; в геометрических терминах есть два собственных значения, учитывающих остаток, и при заданном знаменателе они являются комплексно сопряженными и имеют абсолютное значение  1. Гипотеза Сато–Тейта , когда E не имеет комплексного умножения, ^[1] утверждает, что вероятностная мера θ пропорциональна

${\displaystyle \sin ^{2}\theta \,d\theta .}$^[2]

Это заслуга Микио Сато и Джона Тейта (независимо, около 1960 года, опубликовано несколько позже). ^[3]

Доказательство

В 2008 году Клозел, Харрис, Шепард-Баррон и Тейлор опубликовали доказательство гипотезы Сато–Тейта для эллиптических кривых над вполне вещественными полями, удовлетворяющими определенному условию: иметь мультипликативную редукцию в некотором простом числе ^[4] в серии из трех совместных статей. ^{[5] [6] [7]}

Дальнейшие результаты зависят от улучшенных форм формулы следа Артура–Сельберга . У Харриса есть условное доказательство результата для произведения двух эллиптических кривых (не изогенных ), вытекающего из такой гипотетической формулы следа. ^[8] В 2011 году Барнет-Лэмб, Джерати, Харрис и Тейлор доказали обобщенную версию гипотезы Сато–Тейта для произвольной не-КМ голоморфной модулярной формы веса, большего или равного двум, ^[9] улучшив потенциальные результаты модулярности предыдущих работ. ^[10] Предыдущие проблемы, связанные с формулой следа, были решены Майклом Харрисом , ^[11] и Суг Ву Шином . ^{[12] [13]}

В 2015 году Ричард Тейлор был удостоен Премии за прорыв в математике «за многочисленные прорывные результаты в (...) гипотезе Сато–Тейта». ^[14]

Обобщения

Существуют обобщения, включающие распределение элементов Фробениуса в группах Галуа, участвующих в представлениях Галуа на этальных когомологиях . В частности, существует предположительная теория для кривых рода  n  > 1.

В модели случайной матрицы, разработанной Ником Кацем и Питером Сарнаком ^[15], существует предполагаемое соответствие между (унитаризованными) характеристическими многочленами элементов Фробениуса и классами сопряженности в компактной группе Ли USp(2 n ) =  Sp( n ) . Мера Хаара на USp(2 n ) тогда дает предполагаемое распределение, а классический случай — USp(2) =  SU(2) .

Уточнения

Существуют также более тонкие утверждения. Гипотеза Лэнга–Троттера (1976) Сержа Лэнга и Хейла Троттера утверждает асимптотическое число простых чисел p с заданным значением a _p , ^[16] след Фробениуса, который появляется в формуле. Для типичного случая (без комплексного умножения , след ≠ 0) их формула утверждает, что число p вплоть до X асимптотически

${\displaystyle c{\sqrt {X}}/\log X\ }$

с указанной константой c . Нил Коблиц (1988) представил подробные гипотезы для случая простого числа q точек на E _p , мотивированные криптографией эллиптических кривых . ^[17] В 1999 году Шанталь Давид и Франческо Паппаларди доказали усредненную версию гипотезы Лэнга–Троттера. ^{[18] [19]}

Смотрите также

• Распределение полукруга Вигнера

Ссылки

1. В случае эллиптической кривой с комплексным умножением L-функция Хассе–Вейля выражается через L-функцию Гекке (результат Макса Дойринга ). Известные аналитические результаты по ним отвечают на еще более точные вопросы.
2. Для нормализации поставьте 2/ π впереди.
3. Упоминается в работе Дж. Тейта « Алгебраические циклы и полюса дзета-функций» в томе (редактор ОФГ Шиллинг), «Арифметическая алгебраическая геометрия» , страницы 93–110 (1965).
4. То есть, для некоторого p , где E имеет плохую редукцию (и по крайней мере для эллиптических кривых над рациональными числами есть некоторые такие p ), тип в сингулярном слое модели Нерона является мультипликативным, а не аддитивным. На практике это типичный случай, поэтому условие можно считать мягким. В более классических терминах результат применяется там, где j-инвариант не является целым.
5. Тейлор, Ричард (2008). «Автоморфия некоторых l -адических лифтов автоморфных мод l представлений Галуа. II». Опубл. Математика. Инст. Высокие научные исследования . 108 : 183–239. CiteSeerX  10.1.1.116.9791 . дои : 10.1007/s10240-008-0015-2. МР  2470688.
6. Клозель, Лоран; Харрис, Майкл; Тейлор, Ричард (2008). «Автоморфия некоторых l -адических лифтов автоморфных мод l представлений Галуа». Опубл. Математика. Инст. Высокие научные исследования . 108 : 1–181. CiteSeerX 10.1.1.143.9755 . дои : 10.1007/s10240-008-0016-1. МР  2470687. 
7. Харрис, Майкл; Шеперд-Баррон, Николас; Тейлор, Ричард (2010), «Семейство многообразий Калаби–Яу и потенциальная автоморфность», Annals of Mathematics , 171 (2): 779–813, doi : 10.4007/annals.2010.171.779 , MR  2630056
8. Подробности см. на семинаре Карайоля по Бурбаки от 17 июня 2007 г.
9. Барнет-Лэмб, Томас; Джерати, Дэвид; Харрис, Майкл; Тейлор, Ричард (2011). «Семейство многообразий Калаби–Яу и потенциальная автоморфность. II». Publ. Res. Inst. Math. Sci . 47 (1): 29–98. doi : 10.2977/PRIMS/31 . MR  2827723.
10. Теорема B Барнета-Лэмба и др. 2011 г.
11. Харрис, М. (2011). «Введение в формулу стабильного следа». В Clozel, Л.; Харрис, М.; Лабесс, Ж.-П.; Нго, BC (ред.). Формула стабильного следа, многообразия Шимуры и арифметические приложения . Том I: Стабилизация формулы следа. Бостон: International Press. стр. 3–47. ISBN 978-1-57146-227-5.
12. Шин, Суг Ву (2011). «Представления Галуа, возникающие из некоторых компактных многообразий Шимуры». Annals of Mathematics . 173 (3): 1645–1741. doi : 10.4007/annals.2011.173.3.9 .
13. См. стр. 71 и следствие 8.9 Барнета-Лэмба и др. 2011 г.
14. «Ричард Тейлор, Институт перспективных исследований: Премия за прорыв в области математики 2015 года».
15. Кац, Николас М. и Сарнак, Питер (1999), Случайные матрицы, собственные значения Фробениуса и монодромия , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1017-0
16. Ланг, Серж; Троттер, Хейл Ф. (1976), Распределения Фробениуса в расширениях GL ₂ , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-07550-1
17. Коблиц, Нил (1988), «Простота числа точек на эллиптической кривой над конечным полем», Pacific Journal of Mathematics , 131 (1): 157–165, doi : 10.2140/pjm.1988.131.157 , MR  0917870.
18. "Concordia Mathematician Recognized for Research Excellence". Канадское математическое общество . 2013-04-15. Архивировано из оригинала 2017-02-01 . Получено 2018-01-15 .
19. Дэвид, Шанталь; Паппаларди, Франческо (1999-01-01). "Средние распределения Фробениуса эллиптических кривых". International Mathematics Research Notices . 199 (4): 165–183.

Внешние ссылки

• Отчет о Барри Мазуре, дающий контекст
• Майкл Харрис отмечает, с заявлением (PDF)
• La Conjecture de Sato-Tate [d'apres Clozel, Harris, Shepherd-Barron, Taylor], семинар Бурбаки, июнь 2007 г., Анри Карайоль (PDF)
• Видео, знакомящее с эллиптическими кривыми и их связью с гипотезой Сато-Тейта, Имперский колледж Лондона, 2014 г. (последние 15 минут)