Гипотеза Шинцеля H

В математике гипотеза Шинцеля H является одной из самых известных открытых проблем в области теории чисел. Это очень широкое обобщение широко открытых гипотез , таких как гипотеза о простых числах-близнецах . Гипотеза названа в честь Анджея Шинцеля .

Заявление

Гипотеза утверждает, что для каждого конечного набора непостоянных неприводимых многочленов над целыми числами с положительными старшими коэффициентами выполняется одно из следующих условий: ${\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}\}}$

1. Существует бесконечно много натуральных чисел , таких что все они одновременно являются простыми числами , или ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{1}(n),f_{2}(n),\ldots ,f_{k}(n)}$
2. Существует целое число (называемое «фиксированным делителем»), которое зависит от многочленов, которое всегда делит произведение . (Или, что то же самое: существует такое простое число, что для каждого найдется такое, которое делит .) ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle f_{1}(n)f_{2}(n)\cdots f_{k}(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{i}(n)}$

Второму условию удовлетворяют такие множества, как , поскольку оно всегда делится на 2. Легко видеть, что это условие не позволяет первому условию быть истинным. Гипотеза Шинцеля, по сути, утверждает, что условие 2 — это единственный случай, когда условие 1 может не выполняться. ${\displaystyle f_{1}(x)=x+4,f_{2}(x)=x+7}$ ${\displaystyle (x+4)(x+7)}$

Неизвестен эффективный метод определения того, выполняется ли первое условие для данного набора полиномов, но второе проверить легко: пусть и вычислит наибольший общий делитель последовательных значений . Путем экстраполяции с конечными разностями можно увидеть, что этот делитель также будет делить все остальные значения . ${\displaystyle Q(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{k}(x)}$ ${\displaystyle \deg(Q)+1}$ ${\displaystyle Q(n)}$ ${\displaystyle Q(n)}$

Гипотеза Шинцеля основана на более ранней гипотезе Буняковского для одного полинома, а также на гипотезе Харди-Литтлвуда и гипотезе Диксона для множественных линейных полиномов. Она, в свою очередь, расширяется гипотезой Бейтмана-Хорна .

Примеры

В качестве простого примера с , ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle x^{2}+1}$

не имеет фиксированного простого делителя . Поэтому мы ожидаем, что существует бесконечно много простых чисел.

${\displaystyle n^{2}+1}$

Однако это не доказано. Это была одна из гипотез Ландау , восходящая к Эйлеру, который в письме Гольдбаху в 1752 году заметил, что число часто является простым до 1500. ${\displaystyle n^{2}+1}$ ${\displaystyle n}$

В качестве другого примера возьмем с и . Гипотеза предполагает существование бесконечного числа простых чисел-близнецов , что является основной и печально известной открытой проблемой. ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle f_{1}(x)=x}$ ${\displaystyle f_{2}(x)=x+2}$

Варианты

Как доказали Шинцель и Серпинский ^[1] , это эквивалентно следующему: если условие 2 не выполняется, то существует хотя бы одно натуральное число такое, что все они будут одновременно простыми, для любого выбора неприводимых целых многочленов с положительными старшими коэффициентами . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{i}(n)}$ ${\displaystyle f_{i}(x)}$

Если бы ведущие коэффициенты были отрицательными, мы могли бы ожидать отрицательных простых значений; это безобидное ограничение.

Вероятно, нет реальной причины ограничивать полиномы целочисленными коэффициентами, а не целочисленными полиномами (например , который принимает целочисленные значения для всех целых чисел, даже если коэффициенты не являются целыми числами). ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x+1}$ ${\displaystyle x}$

Предыдущие результаты

Частным случаем одного линейного многочлена является теорема Дирихле об арифметических прогрессиях , один из важнейших результатов теории чисел. Фактически, этот особый случай является единственным известным примером гипотезы Шинцеля H. Мы не знаем, какая гипотеза справедлива для любого заданного многочлена степени больше , а также для любой системы, состоящей более чем из одного многочлена. ${\displaystyle 1}$

Почти простые приближения к гипотезе Шинцеля предпринимались многими математиками; среди них, в первую очередь, теорема Чена утверждает, что существует бесконечно много простых чисел , которые являются либо простыми, либо полупростыми ^[2] , а Иванец доказал, что существует бесконечно много целых чисел , для которых является либо простым, либо полупростым числом . ^[3] Скоробогатов и Софос доказали, что почти все многочлены любой фиксированной степени удовлетворяют гипотезе Шинцеля H. ^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{2}+1}$

Пусть – целочисленный полином с общим множителем и пусть . Тогда – примитивный целочисленный полином. Рональд Джозеф Мих доказал с помощью сита Бруна , что бесконечно часто и, следовательно , бесконечно часто, пробегает положительные целые числа. Числа и не зависят от , и . Эта теорема также известна как теорема Миха. ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle Q(x)={\frac {P(x)}{d}}}$ ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle \Omega (Q(n))\leq k}$ ${\displaystyle \Omega (P(n))\leq m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m=k+\Omega (d)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k\leq n\cdot (\ln(n)+2.8)}$

Если существует гипотетическое вероятностное решето плотности, использование теоремы Миха может во всех случаях доказать гипотезу Шинцеля H методом математической индукции .

Перспективы и приложения

Гипотеза, вероятно, недоступна современным методам аналитической теории чисел , но в настоящее время довольно часто используется для доказательства условных результатов , например, в диофантовой геометрии . Эта связь связана с Жаном-Луи Кольо-Теленом и Жан-Жаком Сансуком. ^[5] Дальнейшие пояснения и ссылки по этому поводу см. в заметках Суиннертона-Дайера . ^[6] Поскольку гипотетический результат настолько силен по своей природе, вполне возможно, что от него можно будет ожидать слишком многого.

Расширение для включения гипотезы Гольдбаха.

Гипотеза не распространяется на гипотезу Гольдбаха , но ее близкородственная версия ( гипотеза HN ₎ распространяется. Для этого требуется дополнительный полином , который в задаче Гольдбаха был бы просто , для которого ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x}$

Н - F ( п )

также должно быть простым числом. Это цитируется у Хальберштама и Ричерта, «Ситовые методы» . Гипотеза здесь принимает форму утверждения, когда N достаточно велико и при условии, что

${\displaystyle f_{1}(n)f_{2}(n)\cdots f_{k}(n)(N-F(n))}$

не имеет фиксированного делителя > 1. Тогда мы сможем потребовать существования n такого, что N − F ( n ) является одновременно положительным и простым числом; и со всеми f _i ( n ) простыми числами.

Известно не так уж много случаев подобных предположений; но существует подробная количественная теория (см. гипотезу Бейтмана – Хорна ).

Локальный анализ

Условие отсутствия фиксированного простого делителя является чисто локальным (то есть зависит только от простых чисел). Другими словами, предполагается, что конечное множество неприводимых целочисленных многочленов без локальных препятствий для принятия бесконечного числа простых значений принимает бесконечное количество простых значений.

Аналог, который не работает

Аналогичная гипотеза с заменой целых чисел кольцом полиномов с одной переменной над конечным полем неверна. Например, Свон заметил в 1962 году (по причинам, не связанным с гипотезой H), что полином

${\displaystyle x^{8}+u^{3}\,}$

над кольцом F ₂ [ u ] неприводим и не имеет фиксированного простого полиномиального делителя (ведь его значения в точках x = 0 и x = 1 являются относительно простыми многочленами), но все его значения при x пробегают F ₂ [ u ] являются составными. Аналогичные примеры можно найти, заменив F ₂ любым конечным полем; препятствия в правильной формулировке гипотезы H над F [ u ], где F — конечное поле , больше не являются просто локальными, но возникает новое глобальное препятствие, не имеющее классической параллели, если предположить, что гипотеза H действительно правильна.

Рекомендации

1. Шинцель, А .; Серпинский, В. (1958). «Sur определенные гипотезы, касающиеся имен премьер-министров». Акта Арифметика . 4 (3): 185–208. дои : 10.4064/aa-4-3-185-208. МР  0106202.Страница 188.
2. Чен, младший (1973). «О представлении большего четного целого числа в виде суммы простого числа и произведения не более двух простых чисел». наук. Синица . 16 : 157–176. МР  0434997.
3. Иванец, Х. (1978). «Почти простые числа, представленные квадратичными полиномами». Математические изобретения . 47 (2): 171–188. Бибкод : 1978InMat..47..171I. дои : 10.1007/BF01578070. MR  0485740. S2CID  122656097.
4. Скоробогатов, А.Н .; Софос, Э. (2022). «Гипотеза Шинцеля о средних и рациональных точках». Математические изобретения . 231 (2): 673–739. arXiv : 2005.02998 . дои : 10.1007/s00222-022-01153-6 . МР  4542704.
5. Коллио-Телен, JL ; Сансук, Джей-Джей (1982). «Sur le principe de Hasse et l'approximation faible, et sur une histhese de Schinzel». Акта Арифметика . 41 (1): 33–53. дои : 10.4064/aa-41-1-33-53 . МР  0667708.
6. Суиннертон-Дайер, П. (2011). «Темы диофантовых уравнений». Арифметическая геометрия . Конспект лекций по математике. Том. 2009. Шпрингер, Берлин. стр. 45–110. МР  2757628.

• Крэндалл, Ричард ; Померанс, Карл Б. (2005). Простые числа: вычислительная перспектива (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/0-387-28979-8. ISBN 0-387-25282-7. МР  2156291. Збл  1088.11001.
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (Третье изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 978-0-387-20860-2. Збл  1058.11001.
• Поллак, Пол (2008). «Явный подход к гипотезе H для полиномов над конечным полем». В Де Конинке, Жан-Мари ; Гранвилл, Эндрю ; Лука, Флориан (ред.). Анатомия целых чисел. По материалам семинара по CRM, Монреаль, Канада, 13–17 марта 2006 г. Материалы CRM и конспекты лекций. Том. 46. ​​Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 259–273. ISBN 978-0-8218-4406-9. Збл  1187.11046.
• Лебедь, Р.Г. (1962). «Факторизация полиномов по конечным полям». Тихоокеанский математический журнал . 12 (3): 1099–1106. дои : 10.2140/pjm.1962.12.1099 .

Внешние ссылки