В теории принятия решений , экономике и теории вероятностей аргументы голландской книги представляют собой набор результатов , показывающих, что агенты должны удовлетворять аксиомам рационального выбора, чтобы избежать своего рода внутреннего противоречия, называемого голландской книгой. Голландская книга или денежный насос представляет собой набор ставок, который обеспечивает гарантированный проигрыш, т. е. игрок потеряет деньги независимо от того, что произойдет. [1] Набор убеждений и предпочтений называется согласованным, если он не может привести к голландской книге.
Аргументы голландской книги используются для исследования степеней уверенности в убеждениях и демонстрируют, что рациональные агенты должны быть байесовскими ; [2] другими словами, рациональность требует присвоения вероятностей событиям, которые ведут себя в соответствии с аксиомами вероятности , и наличия предпочтений, которые можно смоделировать с помощью аксиом фон Неймана–Моргенштерна .
В экономике они используются для моделирования поведения, исключая ситуации, когда агенты «сжигают деньги» без реального вознаграждения; модели, основанные на этих предположениях, называются моделями рационального выбора . Эти предположения ослаблены в поведенческих моделях принятия решений.
Мысленный эксперимент был впервые предложен итальянским вероятностником Бруно де Финетти для обоснования байесовской вероятности [ необходима ссылка ] и был более подробно исследован Леонардом Сэвиджем , который развил их в полную модель рационального выбора.
Необходимо установить цену обещания заплатить 1 доллар, если Джон Смит победит на завтрашних выборах, и 0 долларов в противном случае. Известно, что оппонент сможет либо купить такое обещание у кого-то по установленной цене, либо потребовать, чтобы кто-то купил такое обещание у него, но по той же цене. Другими словами: игрок А устанавливает коэффициенты, но игрок Б решает, какую сторону ставки выбрать. Устанавливаемая цена — это «операционная субъективная вероятность», которую он назначает предложению, на которое он делает ставку.
Если кто-то решает, что вероятность победы Джона Смита составляет 12,5% — произвольная оценка — то он может установить коэффициент 7:1 против. Эта произвольная оценка — «операционная субъективная вероятность» — определяет выплату за успешную ставку. Ставка в 1 доллар при таких коэффициентах принесет либо убыток в 1 доллар (если Смит проиграет), либо выигрыш в 7 долларов (если Смит выиграет). Если 1 доллар был внесен в залог в качестве условия ставки, то 1 доллар также будет возвращен игроку, если он выиграет ставку.
Аргумент стандартной голландской книги заключает, что рациональные агенты должны иметь субъективные вероятности для случайных событий, и что эти вероятности должны удовлетворять стандартным аксиомам вероятности. Другими словами, любой рациональный человек должен быть готов присвоить (количественную) субъективную вероятность различным событиям.
Обратите внимание, что аргумент не подразумевает, что агенты готовы участвовать в азартных играх в традиционном смысле. Слово «ставка», как оно здесь используется, относится к любому виду решения в условиях неопределенности . Например, покупка незнакомого товара в супермаркете является своего рода «ставкой» (покупатель «ставит на то», что продукт хороший), как и посадка в машину («ставка» на то, что водитель не попадет в аварию).
Аргумент голландской книги можно перевернуть, приняв во внимание точку зрения букмекера. В этом случае аргументы голландской книги показывают, что любой рациональный агент должен быть готов принять некоторые виды рисков, т. е. делать неопределенные ставки, или же он иногда будет отказываться от «бесплатных подарков» или «чешских книг», серии ставок, которые делают его более обеспеченным со 100% уверенностью. [ необходима цитата ]
В одном примере букмекер предложил следующие коэффициенты и привлек одну ставку на каждую лошадь, чьи относительные размеры делают результат нерелевантным. Подразумеваемые вероятности, т.е. вероятность победы каждой лошади, в сумме составляют число больше 1, нарушая аксиому унитарности :
Какая бы лошадь ни победила в этом примере, букмекер выплатит 200 долларов (включая возврат выигрышной ставки), но игрок поставил 210 долларов, следовательно, понес убытки в размере 10 долларов на скачке.
Однако если лошадь 4 была снята с ставки, а букмекер не корректирует другие коэффициенты, подразумеваемые вероятности составят в сумме 0,95. В таком случае игрок всегда может получить прибыль в размере 10 долларов, поставив 100, 50 и 40 долларов на оставшихся трех лошадей соответственно, и не ставя 20 долларов на снятую с ставки лошадь, которая теперь не может выиграть.
Другие формы голландских книг могут использоваться для установления других аксиом вероятности, иногда включающих более сложные ставки, такие как прогнозирование порядка, в котором лошади придут к финишу . В байесовской вероятности Фрэнк П. Рэмси и Бруно де Финетти требовали, чтобы личные степени веры были согласованными, так что голландская книга не могла быть сделана против них, каким бы образом ни делались ставки. Необходимые и достаточные условия для этого заключаются в том, что их степени веры удовлетворяют всем аксиомам вероятности .
Человек, который установил цены на ряд ставок таким образом, что он или она получит чистый выигрыш независимо от результата, считается сделавшим голландскую книгу . Когда у кого-то есть голландская книга, его противник всегда проигрывает. Человек, который устанавливает цены таким образом, что дает его или ее противнику голландскую книгу, ведет себя не рационально.
Правила не запрещают устанавливать цену выше 1 доллара, но благоразумный противник может продать билет по высокой цене, так что противник выйдет вперед независимо от исхода события, на которое сделана ставка. Правила также не запрещают отрицательную цену, но противник может получить от игрока обещание заплатить ему или ей позже, если возникнет определенная непредвиденная ситуация. В любом случае проигрывает тот, кто устанавливает цену. Эти ситуации проигрыша-проигрыша параллельны тому факту, что вероятность не может ни превышать 1 (определенность), ни быть меньше 0 (нет шансов на победу).
Теперь предположим, что кто-то устанавливает цену обещания заплатить 1 доллар, если Boston Red Sox выиграет Мировую серию в следующем году, а также цену обещания заплатить 1 доллар, если победят New York Yankees, и, наконец, цену обещания заплатить 1 доллар, если победят Red Sox или Yankees . Можно установить цены таким образом, что
Но если установить цену третьего билета ниже суммы первых двух билетов, благоразумный противник купит этот билет и продаст два других билета тому, кто установил цену. Рассмотрев три возможных результата (Red Sox, Yankees, какая-то другая команда), можно заметить, что независимо от того, какой из трех результатов произойдет, игрок проиграет. Аналогичная судьба ждет, если установить цену третьего билета выше суммы двух других цен. Это соответствует тому факту, что вероятности взаимоисключающих событий являются аддитивными (см. аксиомы вероятности ).
Теперь представьте себе более сложный сценарий. Нужно установить цены на три обещания:
Возможны три результата: Игра отменяется; Игра проводится и Red Sox проигрывают; Игра проводится и Red Sox выигрывают. Можно установить цены таким образом, что
(где вторая цена выше — это цена ставки, которая включает возврат в случае отмены). (Примечание: цены здесь — это безразмерные числа, полученные путем деления на 1 доллар, который является выплатой во всех трех случаях.) Благоразумный противник записывает три линейных неравенства с тремя переменными. Переменные — это суммы, которые он вложит в каждое из трех обещаний; значение одного из них отрицательно, если они заставят ценоустанавливающего купить это обещание, и положительно, если он его купит. Каждое неравенство соответствует одному из трех возможных результатов. Каждое неравенство утверждает, что чистый выигрыш вашего противника больше нуля. Решение существует, если определитель матрицы не равен нулю. Этот определитель:
Таким образом, благоразумный оппонент может сделать ценоустанавливающего заведомо проигравшим, если только он не устанавливает свои цены способом, соответствующим простейшей общепринятой характеристике условной вероятности .
В 2015 году на скачках Кентукки Дерби фаворит («Американский Фараон») был установлен на анте-пост 5:2, второй фаворит — 3:1, а третий фаворит — 8:1. Все остальные лошади имели коэффициенты «против» 12:1 или выше. При таких коэффициентах ставка в размере 10 долларов на каждого из 18 стартующих привела бы к чистому проигрышу, если бы победил фаворит или второй фаворит.
Однако если предположить, что ни одна лошадь, котируемая 12:1 или выше, не победит, и поставить по $10 на каждую из трех лучших, то гарантирован хотя бы небольшой выигрыш. Фаворит (который выиграл) получит выплату в размере $25 плюс возвращенная ставка в размере $10, что даст конечный баланс в размере $35 (чистый прирост $5). Победа второго фаворита принесет выплату в размере $30 плюс первоначальная ставка в размере $10, что даст чистый прирост $10. Победа третьего фаворита принесет $80 плюс первоначальные $10, что даст чистый прирост $60.
Такого рода стратегия, поскольку она касается только первой тройки, образует Dutch Book. Однако если рассматривать всех восемнадцать претендентов, то для этой гонки Dutch Book не существует.
В экономике классический пример ситуации, в которой потребитель X может быть голландско-забронирован, это если у него нетранзитивные предпочтения . Классическая экономическая теория предполагает, что предпочтения транзитивны : если кто-то думает, что A лучше, чем B, а B лучше, чем C, то он должен думать, что A лучше, чем C. Более того, не может быть никаких «циклов» предпочтений.
Аргумент денежного насоса отмечает, что если кто-то имеет набор нетранзитивных предпочтений, его можно эксплуатировать (выкачивать) для получения денег, пока он не будет вынужден покинуть рынок. Представьте, что у Джейн есть двадцать долларов, чтобы купить фрукты. Она может наполнить свою корзину либо апельсинами, либо яблоками. Джейн предпочла бы иметь доллар, а не яблоко, яблоко, а не апельсин, и апельсин, а не доллар. Поскольку Джейн предпочла бы иметь апельсин, а не доллар, она готова купить апельсин чуть больше чем за доллар (возможно, 1,10 доллара). Затем она меняет свой апельсин на яблоко, потому что она предпочла бы иметь яблоко, а не апельсин. Наконец, она продает свое яблоко за доллар, потому что она предпочла бы иметь доллар, а не яблоко. В этот момент у Джейн остается 19,90 доллара, и она потеряла 10 центов и ничего не получила взамен. Этот процесс можно повторять до тех пор, пока у Джейн не останется денег. (Обратите внимание, что если Джейн действительно придерживается этих предпочтений, она не увидит ничего плохого в этом процессе и не попытается его остановить; на каждом этапе Джейн соглашается, что ей стало лучше.) После того, как у нее заканчиваются деньги, Джейн уходит с рынка, и ее предпочтения и действия перестают быть экономически значимыми.
Эксперименты в области поведенческой экономики показывают, что субъекты могут нарушать требование транзитивных предпочтений при сравнении ставок. [3] Однако большинство субъектов не делают этот выбор при внутрисубъектных сравнениях, где противоречие было бы очевидно (другими словами, субъекты не придерживаются подлинно нетранзитивных предпочтений, а вместо этого совершают ошибки при принятии решений с использованием эвристики ).
Экономисты обычно утверждают, что у людей с предпочтениями типа X все их богатство будет отнято на рынке. Если это так, то мы не будем наблюдать предпочтений с нетранзитивностью или другими характеристиками, которые позволяют людям быть голландскими. Однако, если люди достаточно искушены в своих нетранзитивностях и/или если конкуренция арбитражеров сводит эпсилон к нулю, нестандартные предпочтения все еще могут наблюдаться.
Можно показать, что набор цен является согласованным, если он удовлетворяет аксиомам вероятности и связанным с ними результатам, таким как принцип включения-исключения .
