Осоэдр

Сферический многогранник, составленный из луночек

Этот пляжный мяч был бы осоэдром с 6 сферическими гранями в форме луночек, если бы 2 белых колпачка на концах были удалены, а луночки были бы удлинены до соприкосновения на полюсах.

В сферической геометрии n - угольный осоэдр представляет собой мозаику из луночек на сферической поверхности , причём каждая луночка имеет одни и те же две полярно-противоположные вершины.

Правильный n -угольный осоэдр имеет символ Шлефли { 2, n }, причем каждая сферическая лунка имеет внутренний угол ⁠ 2π​/н⁠ радианы ( ⁠360/н⁠ градусов). ^{[1] [2]}

Осоэдры как правильные многогранники

Для правильного многогранника, символ Шлефли которого равен { m ,  n }, число многоугольных граней равно:

${\displaystyle N_{2}={\frac {4n}{2m+2n-mn}}.}$

Платоновы тела, известные с античности, являются единственными целочисленными решениями для m ≥ 3 и n ≥ 3. Ограничение m ≥ 3 требует, чтобы многоугольные грани имели не менее трех сторон.

При рассмотрении многогранников как сферической мозаики это ограничение можно ослабить, поскольку двуугольники (2-угольники) можно представить в виде сферических двуугольников , имеющих ненулевую площадь .

Если допустить m = 2, то получим

${\displaystyle N_{2}={\frac {4n}{2\times 2+2n-2n}}=n,}$

и допускает новый бесконечный класс правильных многогранников, которые являются осоэдрами. На сферической поверхности многогранник {2,  n } представляется как n примыкающих друг к другу луночек с внутренними углами ⁠2π​/н⁠ . Все эти сферические луночки имеют две общие вершины.

Калейдоскопическая симметрия

Двуугольные сферические грани -осогоэдра , , представляют собой фундаментальные области диэдральной симметрии в трех измерениях : циклическую симметрию , , , порядок . Области отражения могут быть показаны попеременно окрашенными двугранниками как зеркальные изображения. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \{2,2n\}}$ ${\displaystyle C_{nv}}$ ${\displaystyle [n]}$ ${\displaystyle (*nn)}$ ${\displaystyle 2n}$

Деление каждой луночки пополам на два сферических треугольника образует -угольную бипирамиду , которая представляет собой двугранную симметрию , порядок . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D_{nh}}$ ${\displaystyle 4n}$

Связь с телом Штейнмеца

Тетрагональный осоэдр топологически эквивалентен бицилиндрическому телу Штейнмеца , пересечению двух цилиндров под прямым углом. ^[3]

Производные многогранники

Двойственным к n-угольному осоэдру {2,  n } является n -угольный диэдр , { n , 2}. Многогранник {2,2} является самодвойственным и является как осоэдром, так и диэдром.

Осоэдр может быть модифицирован таким же образом, как и другие многогранники, чтобы получить усеченную вариацию. Усеченный n -угольный осоэдр — это n-угольная призма .

Апейрогональный осоэдр

В пределе осоэдр становится апейрогональным осоэдром как двумерной мозаикой:

Хосотопы

Многомерные аналоги в общем случае называются госотопами . Регулярный госотоп с символом Шлефли {2, p ,..., q } имеет две вершины, каждая с вершинной фигурой { p ,..., q }.

Двумерный госотоп {2} является двуугольником .

Этимология

Термин «осоэдр», по-видимому, происходит от греческого ὅσος ( hosos ) «столько, сколько нужно», идея заключается в том, что осоэдр может иметь « столько граней, сколько нужно». ^[4] Он был введен Вито Каравелли в восемнадцатом веке. ^[5]

Смотрите также

• Многогранник
• Многогранник

Ссылки

1. Коксетер, Правильные многогранники , стр. 12
2. Абстрактные правильные многогранники, стр. 161
3. Вайсштейн, Эрик В. «Твердое тело Штейнмеца». MathWorld .
4. Стивен Шварцман (1 января 1994 г.). Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых в английском языке . MAA. стр. 108–109. ISBN 978-0-88385-511-9.
5. Coxeter, HSM (1974). Правильные комплексные многогранники . Лондон: Cambridge University Press. стр. 20. ISBN 0-521-20125-X. Осоэдр {2,p} (в слегка искаженном виде) был назван Вито Каравелли (1724–1800) …

• МакМаллен, Питер ; Шульте, Эгон (декабрь 2002 г.), Абстрактные правильные многогранники (1-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81496-0
• Коксетер, HSM , Правильные многогранники (третье издание), Dover Publications Inc., ISBN 0-486-61480-8 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Осоэдр". MathWorld .