Гравитационный потенциал

Фундаментальное исследование теории потенциала

График двумерного среза гравитационного потенциала внутри и вокруг однородного сферического тела. Точки перегиба сечения находятся на поверхности тела.

В классической механике гравитационный потенциал представляет собой скалярное поле , связывающее с каждой точкой пространства работу ( передаваемую энергию ) на единицу массы, которая потребуется для перемещения объекта в эту точку из фиксированной точки отсчета. Он аналогичен электрическому потенциалу , в котором роль заряда играет масса . Точка отсчета, где потенциал равен нулю, по соглашению находится бесконечно далеко от любой массы, что приводит к отрицательному потенциалу на любом конечном расстоянии.

В математике гравитационный потенциал также известен как потенциал Ньютона и является фундаментальным при изучении теории потенциала . Его также можно использовать для решения электростатических и магнитостатических полей, создаваемых однородно заряженными или поляризованными эллипсоидными телами. ^[1]

Потенциальная энергия

Гравитационный потенциал ( V ) в определенном месте — это гравитационная потенциальная энергия ( U ) в этом месте на единицу массы:

$${\displaystyle V={\frac {U}{m}},}$$

где m — масса объекта. Потенциальная энергия равна (по величине, но отрицательна) работе, совершаемой гравитационным полем по перемещению тела в заданное положение в пространстве из бесконечности. Если тело имеет массу 1 килограмм, то потенциальная энергия, приписываемая этому телу, равна гравитационному потенциалу. Таким образом, потенциал можно интерпретировать как отрицательную работу, совершаемую гравитационным полем, перемещающим единицу массы из бесконечности.

В некоторых ситуациях уравнения можно упростить, предположив, что поле практически не зависит от положения. Например, в области, близкой к поверхности Земли, гравитационное ускорение g можно считать постоянным. В этом случае разница потенциальной энергии от одной высоты до другой в хорошем приближении линейно связана с разницей высот:

$${\displaystyle \Delta U\approx mg\Delta h.}$$

Математическая форма

Гравитационный потенциал V на расстоянии x от точечной массы массы M можно определить как работу W , которую необходимо совершить внешнему агенту, чтобы перенести единицу массы из бесконечности в эту точку: ^{[2] [3] [ 4] [5]}

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )={\frac {W}{m}}={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} ={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}{\frac {GmM}{x^{2}}}dx=-{\frac {GM}{x}},}$$

Gгравитационная постояннаяFGMстандартным гравитационным параметромGMМКСx

Гравитационное поле и, следовательно, ускорение небольшого тела в пространстве вокруг массивного объекта представляет собой отрицательный градиент гравитационного потенциала. Таким образом, отрицательный отрицательный градиент дает положительное ускорение по направлению к массивному объекту. Поскольку потенциал не имеет угловых составляющих, его градиент равен

$${\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {GM}{x^{3}}}\mathbf {x} =-{\frac {GM}{x^{2}}}{\hat {\mathbf {x} }},}$$

xxзакону обратных квадратов ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$

$${\displaystyle |\mathbf {a} |={\frac {GM}{x^{2}}}.}$$

Потенциал, связанный с распределением масс, представляет собой суперпозицию потенциалов точечных масс. Если распределение масс представляет собой конечный набор точечных масс, и если точечные массы расположены в точках x ₁ , ..., x _n и имеют массы m ₁ , ..., m _n , то потенциал распределения в точке х находится

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}$$

Точки x и r , где r содержится в распределенной массе (серый цвет) и дифференциальной массе dm ( r ), расположенной в точке r .

Если распределение массы задано как мера массы dm в трехмерном евклидовом пространстве R ³ , то потенциал представляет собой свертку − G / | р | с дм . ^{[ нужна цитация ]} В хороших случаях ^{[ необходимы разъяснения ]} это равно интегралу

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\,dm(\mathbf {r} ),}$$

| Икс - р | расстояниеxrρrrdm ( r ) = ρ ( r ) dv ( r )dvrэлемент объёмаинтеграл

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\,\rho (\mathbf {r} )dv(\mathbf {r} ).}$$

Если V — потенциальная функция, исходящая из непрерывного распределения массы ρ ( r ), то ρ можно восстановить с помощью оператора Лапласа , Δ :

$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi G}}\Delta V(\mathbf {x} ).}$$

ρdmраспределенийуравнению Пуассонафункцию Грина для уравнения Лапласа с тремя переменныминьютоновского потенциала

Интеграл может быть выражен через известные трансцендентные функции для всех эллипсоидальных форм, включая симметричные и вырожденные. ^[6] К ним относятся сфера, где три полуоси равны; сплюснутый (см. опорный эллипсоид ) и вытянутый сфероиды, у которых две полуоси равны; вырожденные, где одна полуось бесконечна (эллиптический и круговой цилиндры), и неограниченный лист, где две полуоси бесконечны. Все эти формы широко используются в приложениях интеграла гравитационного потенциала (кроме константы G , где 𝜌 — постоянная плотность заряда) к электромагнетизму.

Сферическая симметрия

Сферически симметричное распределение массы ведет себя для наблюдателя совершенно вне распределения, как если бы вся масса была сосредоточена в центре и, таким образом, эффективно представляла собой точечную массу по теореме о оболочках . На поверхности земли ускорение дается так называемой стандартной силой тяжести g , равной примерно 9,8 м/с ² , хотя эта величина незначительно меняется в зависимости от широты и высоты. Величина ускорения на полюсах немного больше, чем на экваторе, поскольку Земля представляет собой сплюснутый сфероид .

В рамках сферически-симметричного распределения массы можно решить уравнение Пуассона в сферических координатах . Внутри однородного сферического тела радиуса R , плотности ρ и массы m гравитационная сила g внутри сферы изменяется линейно с расстоянием r от центра, определяя гравитационный потенциал внутри сферы, который равен ^{[7] [8]}

$${\displaystyle V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho \left[r^{2}-3R^{2}\right]={\frac {Gm}{2R^{3}}}\left[r^{2}-3R^{2}\right],\qquad r\leq R,}$$

Общая теория относительности

В общей теории относительности гравитационный потенциал заменяется метрическим тензором . Когда гравитационное поле слабое и источники движутся очень медленно по сравнению со скоростью света, общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации, и метрический тензор можно расширить с точки зрения гравитационного потенциала. ^[9]

Многополюсное расширение

Потенциал в точке x определяется выражением

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\ dm(\mathbf {r} ).}$$

Иллюстрация распределения массы (серого цвета) с центром масс в качестве начала векторов x и r и точкой, в которой вычисляется потенциал, в начале вектора x .

Потенциал можно разложить в ряд полиномов Лежандра . Представьте точки x и r как векторы положения относительно центра масс. Знаменатель интеграла выражается как квадратный корень из квадрата, что дает

$${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {|\mathbf {x} |^{2}-2\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} +|\mathbf {r} |^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {1}{|\mathbf {x} |}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {1-2{\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

r = | р | θxr

(См. «Математическая форма».) Подынтегральное выражение можно разложить в ряд Тейлора по Z = r /| х | , путем явного вычисления коэффициентов. Менее трудоемкий способ достижения того же результата — использование обобщенной биномиальной теоремы . ^[10] Полученный ряд представляет собой производящую функцию для полиномов Лежандра:

$${\displaystyle \left(1-2XZ+Z^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\ =\sum _{n=0}^{\infty }Z^{n}P_{n}(X)}$$

| Х | ≤ 1| Я | < 1P _nnX = cos  θxr < | х |

$${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta )\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left(1+\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}+\cdots \right)\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

xx ${\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm}$

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {GM}{|\mathbf {x} |}}-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}dm(\mathbf {r} )+\cdots }$$

Это показывает, что удлинение тела вызывает меньший потенциал в направлении удлинения и более высокий потенциал в перпендикулярных направлениях по сравнению с потенциалом, обусловленным сферической массой, если сравнивать случаи с одинаковым расстоянием до центра масс. (Если сравнивать случаи с одинаковым расстоянием до поверхности , то получится обратное.)

Числовые значения

Абсолютное значение гравитационного потенциала в ряде мест относительно гравитации со стороны ^{[ необходимо разъяснение ]} Земли , Солнца и Млечного Пути приведено в следующей таблице ; т.е. объекту на поверхности Земли потребуется 60 МДж/кг, чтобы «покинуть» гравитационное поле Земли, еще 900 МДж/кг, чтобы также покинуть гравитационное поле Солнца, и более 130 ГДж/кг, чтобы покинуть гравитационное поле Млечного Пути. Потенциал равен половине квадрата скорости убегания .

Сравните гравитацию в этих местах .

Смотрите также

• Применение полиномов Лежандра в физике
• Стандартный гравитационный параметр ( GM )
• геоид
• Геопотенциал
• Геопотенциальная модель

Примечания

1. Соливерес, CE (2016). Электростатика и магнитостатика поляризованных эллипсоидальных тел: метод тензора деполяризации (1-е английское изд.). Бесплатная научная информация. ISBN 978-987-28304-0-3.
2. Мэрион, JB; Торнтон, Северная Каролина (1995). Классическая динамика частиц и систем (4-е изд.). Харкорт Брейс и компания. п. 192. ИСБН 0-03-097302-3.
3. Арфкен, Джордж Б.; Вебер, Ханс Дж. (2005). Международное студенческое издание «Математические методы для физиков» (6-е изд.). Академическая пресса . п. 72. ИСБН 978-0-08-047069-6.
4. Санг, Дэвид; Джонс, Грэм; Чадха, Гуриндер; Вудсайд, Ричард; Старк, Уилл; Гилл, Эйдан (2014). Учебник по физике Cambridge International AS и A Level (иллюстрированное издание). Издательство Кембриджского университета . п. 276. ИСБН 978-1-107-69769-0.
5. Манкастер, Роджер (1993). Физика A-level (иллюстрированное изд.). Нельсон Торнс . п. 106. ИСБН 978-0-7487-1584-8.
6. Макмиллан, WD (1958). Теория потенциала . Дувр Пресс.
7. Лоури, Уильям Лоури (2011). Руководство для студентов по геофизическим уравнениям. Издательство Кембриджского университета. п. 69. ИСБН 978-1-139-49924-8.Выдержка со страницы 68
8. Санчес-Лавега, Агустин (2011). Введение в планетарные атмосферы (иллюстрированное издание). ЦРК Пресс. п. 19. ISBN 978-1-4200-6735-4.Выдержка со страницы 19
9. Грён, Эйвинд; Хервик, Зигбьорн (2007), Общая теория относительности Эйнштейна: с современными приложениями в космологии, Springer Science & Business Media, стр. 201, ISBN 978-0-387-69200-5
10. Уайли, CR младший (1960). Высшая инженерная математика (2-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . п. 454 [теорема 2, раздел 10.8].

Рекомендации

• Владимиров В.С. (1971), Уравнения математической физики , Перевод с русского Одри Литтлвуд. Под редакцией Алана Джеффри. Чистая и прикладная математика, вып. 3, Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., MR  0268497.
• Ван, WX (1988). «Потенциал однородного сфероида в сфероидальной системе координат. I. Во внешней точке». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 21 (22): 4245-4250. Бибкод : 1988JPhA...21.4245W. дои : 10.1088/0305-4470/21/22/026.
• Милон, Т. (1990). «Заметка о потенциале однородного эллипсоида в эллипсоидных координатах». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 23 (4): 581–584. дои : 10.1088/0305-4470/23/4/027.
• Расталл, Питер (1991). Постпринципия: Гравитация для физиков и астрономов . Всемирная научная . стр. 7 и далее. ISBN 981-02-0778-6.
• Конвей, Джон Т. (2000). «Точные решения гравитационного потенциала семейства неоднородных сфероидов». Пн. Нет. Р. Астрон. Соц . 316 (3): 555–558. Бибкод : 2000MNRAS.316..555C. дои : 10.1046/j.1365-8711.2000.03524.x .
• Коул, Х.С.; Тохлин, Дж. Э.; Рау, АРП (2000). «Разработки по определению гравитационного потенциала с использованием тороидальных функций». Астрон. Нахр . 321 (5/6): 363–372. Бибкод : 2000AN....321..363C. doi :10.1002/1521-3994(200012)321:5/6<363::AID-ASNA363>3.0.CO;2-X.
• Торнтон, Стивен Т.; Мэрион, Джерри Б. (2003), Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.), Брукс Коул, ISBN 978-0-534-40896-1.
• Чжу, Лупейя (1988). «Гравитация и плотностная структура Земли». Департамент наук о Земле и атмосфере. EAS-437 Динамика Земли . Университет Сент-Луиса. Калифорнийский технологический институт . Проверено 25 марта 2009 г.
• Чарльз Д. Гилани (28 ноября 2006 г.). «Гравитационное поле Земли». Государственная геодезическая инженерная программа Пенсильвании. Архивировано из оригинала 18 июля 2011 г. Проверено 25 марта 2009 г.
• Фукусима, Тосио (2014). «Вытянутое сфероидальное гармоническое расширение гравитационного поля». Астрофиз. Дж . 147 (6): 152. Бибкод : 2014AJ....147..152F. дои : 10.1088/0004-6256/147/6/152 .