Закон Гаусса для гравитации

Переформулировка закона всемирного тяготения Ньютона

В физике закон Гаусса для гравитации , также известный как теорема Гаусса о потоке для гравитации , является законом физики, который эквивалентен закону всемирного тяготения Ньютона . Он назван в честь Карла Фридриха Гаусса . Он гласит, что поток ( поверхностный интеграл ) гравитационного поля по любой замкнутой поверхности пропорционален заключённой массе . Закон Гаусса для гравитации часто удобнее для работы, чем закон Ньютона. ^[1]

Форма закона Гаусса для гравитации математически похожа на закон Гаусса для электростатики , одно из уравнений Максвелла . Закон Гаусса для гравитации имеет такое же математическое отношение к закону Ньютона, как закон Гаусса для электростатики к закону Кулона . Это происходит потому, что и закон Ньютона, и закон Кулона описывают обратно квадратичное взаимодействие в трехмерном пространстве.

Качественное изложение закона

Гравитационное поле g (также называемое гравитационным ускорением ) является векторным полем – вектором в каждой точке пространства (и времени). Оно определяется так, что гравитационная сила, испытываемая частицей, равна массе частицы, умноженной на гравитационное поле в этой точке.

Гравитационный поток представляет собой поверхностный интеграл гравитационного поля по замкнутой поверхности, аналогично тому, как магнитный поток представляет собой поверхностный интеграл магнитного поля.

Закон Гаусса для гравитации гласит:

Гравитационный поток через любую замкнутую поверхность пропорционален заключённой массе .

Интегральная форма

Интегральная форма закона Гаусса для гравитации гласит:

${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM}$

где

• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ (также пишется ) обозначает поверхностный интеграл по замкнутой поверхности, ${\displaystyle \oint _{\partial V}}$
• ∂ V — любая замкнутая поверхность ( граница произвольного объема V ),
• d A — вектор , величина которого равна площади бесконечно малой части поверхности ∂ V , а направление — нормали к поверхности, направленной наружу ( более подробную информацию см. в разделе поверхностный интеграл ),
• g — гравитационное поле ,
• G — универсальная гравитационная постоянная , а
• M — общая масса, заключенная внутри поверхности ∂ V .

Левая часть этого уравнения называется потоком гравитационного поля. Обратите внимание, что согласно закону он всегда отрицателен (или равен нулю) и никогда не положителен. Это можно сравнить с законом Гаусса для электричества, где поток может быть как положительным, так и отрицательным. Разница в том, что заряд может быть как положительным, так и отрицательным, тогда как масса может быть только положительной.

Дифференциальная форма

Дифференциальная форма закона Гаусса для состояний гравитации

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,}$

где обозначает дивергенцию , G — универсальная гравитационная постоянная , а ρ — плотность массы в каждой точке. ${\displaystyle \nabla \cdot }$

Отношение к интегральной форме

Две формы закона Гаусса для гравитации математически эквивалентны. Теорема о расходимости гласит: где V — замкнутая область, ограниченная простой замкнутой ориентированной поверхностью ∂ V , а dV — бесконечно малая часть объема V ( подробнее см. в интеграле объема ). Гравитационное поле g должно быть непрерывно дифференцируемым векторным полем, определенным в окрестности V . $${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \,dV}$$

Учитывая также, что мы можем применить теорему о расходимости к интегральной форме закона Гаусса для гравитации, которая становится: что можно переписать: Это должно выполняться одновременно для каждого возможного объема V ; единственный способ, которым это может произойти, — это если подынтегральные функции равны. Следовательно, мы приходим к что является дифференциальной формой закона Гаусса для гравитации. $${\displaystyle M=\int _{V}\rho \ dV}$$ $${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \ dV=-4\pi G\int _{V}\rho \ dV}$$ $${\displaystyle \int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {g} )\ dV=\int _{V}(-4\pi G\rho )\ dV.}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,}$$

Интегральную форму можно вывести из дифференциальной, используя обратный метод.

Хотя эти две формы эквивалентны, одна из них может быть более удобной для использования в конкретных вычислениях.

Связь с законом Ньютона

Вывод закона Гаусса из закона Ньютона

Закон Гаусса для гравитации можно вывести из закона всемирного тяготения Ньютона , который гласит, что гравитационное поле, создаваемое точечной массой , равно: где $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-{\frac {GM}{r^{2}}}\mathbf {e_{r}} }$$

• e _r — радиальный единичный вектор ,
• r — радиус, | r |.
• M — масса частицы, которая предполагается точечной массой, расположенной в начале координат .

Доказательство с использованием векторного исчисления показано в рамке ниже. Оно математически идентично доказательству закона Гаусса (в электростатике ), исходя из закона Кулона . ^[2]

Схема доказательства

g ( r ), гравитационное поле в точке r , можно вычислить, суммируя вклад в g ( r ), обусловленный каждой частицей массы во Вселенной (см. принцип суперпозиции ). Для этого мы интегрируем по каждой точке s в пространстве, суммируя вклад в g ( r ), связанный с массой (если таковая имеется) в точке s , где этот вклад вычисляется по закону Ньютона. Результат: ( d ³ s обозначает ds _x ds _y ds _z , каждое из которых интегрируется от −∞ до +∞.) Если мы возьмем дивергенцию обеих сторон этого уравнения относительно r и воспользуемся известной теоремой ^[2], где δ ( r ) — дельта-функция Дирака , результат будет Используя «свойство просеивания» дельта-функции Дирака, мы приходим к , которое является дифференциальной формой закона Гаусса для гравитации, как и требовалось. $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\int \rho (\mathbf {s} ){\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}d^{3}\mathbf {s} .}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\int \rho (\mathbf {s} )\ \delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\ d^{3}\mathbf {s} .}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\rho (\mathbf {r} )}$$

Вывод закона Ньютона из закона Гаусса и безвихревости

Невозможно математически доказать закон Ньютона только из закона Гаусса , поскольку закон Гаусса определяет дивергенцию g , но не содержит никакой информации относительно ротора g (см. разложение Гельмгольца ). В дополнение к закону Гаусса используется предположение, что g является безвихревой (имеет нулевой ротор), поскольку гравитация является консервативной силой :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {g} =0}$

Но даже этого недостаточно: для доказательства закона Ньютона необходимы также граничные условия для g , такие как предположение о том, что поле равно нулю на бесконечном расстоянии от массы.

Доказательство закона Ньютона из этих предположений выглядит следующим образом:

Схема доказательства

Начнем с интегральной формы закона Гаусса: Применим этот закон к ситуации, когда объем V представляет собой сферу радиуса r с центром в точечной массе M. Разумно ожидать, что гравитационное поле от точечной массы будет сферически симметричным. (Мы опускаем доказательство для простоты.) При таком предположении g принимает следующий вид: (т. е. направление g антипараллельно направлению r , а величина g зависит только от величины, а не направления r ). Подставляя это и используя тот факт, что ∂ V представляет собой сферическую поверхность с постоянным r и площадью , $${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM.}$$ $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-g(r)\,\mathbf {e_{r}} }$$ ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$

${\displaystyle g(r)\oint _{\partial V}(-\mathbf {e_{r}} )\cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM}$

${\displaystyle g(r)\cdot (-4\pi r^{2})=-4\pi GM}$

${\displaystyle g(r)={\frac {GM}{r^{2}}}}$

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-GM{\frac {\mathbf {e_{r}} }{r^{2}}}}$

что является законом Ньютона.

Уравнение Пуассона и гравитационный потенциал

Поскольку гравитационное поле имеет нулевой ротор (эквивалентно, гравитация является консервативной силой ), как упоминалось выше, его можно записать как градиент скалярного потенциала , называемого гравитационным потенциалом : Тогда дифференциальная форма закона Гаусса для гравитации становится уравнением Пуассона : Это обеспечивает альтернативный способ вычисления гравитационного потенциала и гравитационного поля. Хотя вычисление g через уравнение Пуассона математически эквивалентно вычислению g непосредственно из закона Гаусса, один или другой подход может быть более простым вычислением в данной ситуации. $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi .}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .}$$

В радиально-симметричных системах гравитационный потенциал является функцией только одной переменной (а именно, ), и уравнение Пуассона принимает вид (см. Del в цилиндрических и сферических координатах ): в то время как гравитационное поле имеет вид: ${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$ $${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial \phi }{\partial r}}\right)=4\pi G\rho (r)}$$ $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\mathbf {e_{r}} {\frac {\partial \phi }{\partial r}}.}$$

При решении уравнения следует учитывать, что в случае конечных плотностей ∂ ϕ /∂ r должна быть непрерывной на границах (разрывах плотности), а при r = 0 — равной нулю .

Приложения

Закон Гаусса может быть использован для легкого вывода гравитационного поля в некоторых случаях, когда прямое применение закона Ньютона было бы более сложным (но не невозможным). См. статью Поверхность Гаусса для получения более подробной информации о том, как выполняются эти выводы. Три таких применения следующие:

пластинка Буге

Мы можем заключить (используя « гауссову дот-бокс »), что для бесконечной плоской пластины ( пластины Бугера ) любой конечной толщины гравитационное поле снаружи пластины перпендикулярно пластине, направлено к ней, с величиной 2πG , умноженной на массу на единицу площади, независимо от расстояния до пластины ^[3] (см. также гравитационные аномалии ).

В более общем случае для распределения массы с плотностью, зависящей только от одной декартовой координаты z , гравитация для любой z равна 2πG , умноженному на разницу в массе на единицу площади по обе стороны от этого значения z .

В частности, параллельное соединение двух параллельных бесконечных пластин одинаковой массы на единицу площади не создает между ними гравитационного поля.

Цилиндрически симметричное распределение массы

В случае бесконечного равномерного (по z ) цилиндрически симметричного распределения масс можно заключить (используя цилиндрическую гауссову поверхность ), что напряженность поля на расстоянии r от центра направлена ​​внутрь с величиной 2 Гс / r , умноженной на общую массу на единицу длины на меньшем расстоянии (от оси), независимо от любых масс на большем расстоянии.

Например, внутри бесконечного однородного полого цилиндра поле равно нулю.

Сферически симметричное распределение массы

В случае сферически симметричного распределения массы мы можем заключить (используя сферическую гауссову поверхность ), что напряженность поля на расстоянии r от центра направлена ​​внутрь с величиной G / r ² , умноженной только на общую массу в пределах расстояния, меньшего, чем r . Вся масса на большем расстоянии, чем r от центра, не имеет результирующего эффекта.

Например, полая сфера не производит никакой чистой гравитации внутри. Гравитационное поле внутри такое же, как если бы полой сферы не было (т.е. результирующее поле является полем всех масс, не включая сферу, которые могут быть внутри и снаружи сферы).

Хотя это следует из закона тяготения Гаусса с помощью одной или двух строк алгебры, Исааку Ньютону потребовалось несколько страниц громоздких вычислений, чтобы вывести это утверждение напрямую, используя свой закон тяготения; см. статью Теорема о оболочках для получения информации об этом прямом выводе.

Вывод из Лагранжа

Плотность лагранжиана для ньютоновской гравитации равна Применяя принцип Гамильтона к этому лагранжиану, получаем закон Гаусса для гравитации: Подробности см . в разделе Лагранжиан (теория поля) . $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)-{1 \over 8\pi G}(\nabla \phi (\mathbf {x} ,t))^{2}}$$ $${\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\phi (\mathbf {x} ,t).}$$

Смотрите также

• Физический портал

• Карл Фридрих Гаусс
• Теорема о дивергенции
• Закон Гаусса для электричества
• Закон Гаусса для магнетизма
• Векторные исчисления
• Интеграл
• Поток
• Гауссова поверхность

Ссылки

1. «Закон Гаусса и гравитация».
2. См., например, Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Prentice Hall. стр. 50. ISBN 0-13-805326-X.
3. Решатель задач механики, Фогиль, стр. 535–536

Дальнейшее чтение

• Для использования термина «закон Гаусса для гравитации» см., например, Moody, MV; Paik, HJ (1 марта 1993 г.). «Проверка закона Гаусса для гравитации на близком расстоянии». Physical Review Letters . 70 (9): 1195–1198. Bibcode :1993PhRvL..70.1195M. doi :10.1103/PhysRevLett.70.1195. PMID  10054315.