Гравитационный потенциал

Фундаментальное изучение теории потенциала

В классической механике гравитационный потенциал — это скалярное поле, связывающее с каждой точкой пространства работу ( передаваемую энергию ) на единицу массы, которая потребовалась бы для перемещения объекта в эту точку из фиксированной точки отсчета. Он аналогичен электрическому потенциалу , в котором масса играет роль заряда . Точка отсчета, в которой потенциал равен нулю, по соглашению находится бесконечно далеко от любой массы, что приводит к отрицательному потенциалу на любом конечном расстоянии.

В математике гравитационный потенциал также известен как ньютоновский потенциал и является основополагающим в изучении теории потенциала . Он также может быть использован для решения электростатических и магнитостатических полей, создаваемых равномерно заряженными или поляризованными эллипсоидальными телами. ^[1]

Потенциальная энергия

Гравитационный потенциал ( V ) в определенном месте — это гравитационная потенциальная энергия ( U ) в этом месте на единицу массы:

$${\displaystyle V={\frac {U}{m}},}$$

где m — масса объекта. Потенциальная энергия равна (по величине, но отрицательна) работе, совершаемой гравитационным полем при перемещении тела в заданное положение в пространстве из бесконечности. Если масса тела составляет 1 килограмм, то потенциальная энергия, приписываемая этому телу, равна гравитационному потенциалу. Таким образом, потенциал можно интерпретировать как отрицательную часть работы, совершаемой гравитационным полем при перемещении единичной массы из бесконечности.

В некоторых ситуациях уравнения можно упростить, предположив , что поле почти не зависит от положения. Например, в области, близкой к поверхности Земли, гравитационное ускорение g можно считать постоянным. В этом случае разница в потенциальной энергии от одной высоты до другой, в хорошем приближении, линейно связана с разницей в высоте: $${\displaystyle \Delta U\approx mg\Delta h.}$$

Математическая форма

Гравитационный потенциал V на расстоянии x от точечной массы массой M можно определить как работу W , которую необходимо выполнить внешнему агенту, чтобы переместить единичную массу из бесконечности в эту точку: ^{[2] [3] [4] [5]}

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )={\frac {W}{m}}={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} ={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}{\frac {GmM}{x^{2}}}dx=-{\frac {GM}{x}},}$$где G — гравитационная постоянная , а F — гравитационная сила. Произведение GM — стандартный гравитационный параметр , который часто известен с большей точностью, чем G или M по отдельности. Потенциал имеет единицы энергии на массу, например, Дж/кг в системе MKS . По соглашению, он всегда отрицателен там, где он определен, и когда x стремится к бесконечности, он стремится к нулю.

Гравитационное поле , а значит и ускорение малого тела в пространстве вокруг массивного объекта, является отрицательным градиентом гравитационного потенциала. Таким образом, отрицательный отрицательный градиент дает положительное ускорение по направлению к массивному объекту. Поскольку потенциал не имеет угловых компонентов, его градиент равен где x — вектор длины x, направленный от точечной массы к малому телу, а — единичный вектор, направленный от точечной массы к малому телу. Следовательно, величина ускорения подчиняется закону обратных квадратов : $${\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {GM}{x^{3}}}\mathbf {x} =-{\frac {GM}{x^{2}}}{\hat {\mathbf {x} }},}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ $${\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\frac {GM}{x^{2}}}.}$$

Потенциал, связанный с распределением масс, является суперпозицией потенциалов точечных масс. Если распределение масс представляет собой конечный набор точечных масс, и если точечные массы расположены в точках x ₁ , ..., x _n и имеют массы m ₁ , ..., m _n , то потенциал распределения в точке x равен $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\|}}.}$$

Точки x и r , где r содержится в распределенной массе (серая) и дифференциальной массе dm ( r ), расположенной в точке r .

Если распределение масс задано как мера массы dm в трехмерном евклидовом пространстве R3 , то потенциал является сверткой −G /| r | с dm . ^{[ требуется ссылка ]} В хороших случаях [требуется разъяснение] это равно интегралу, где |x− ^{r | —} расстояние ^между точками x и r . Если есть функция ρ ( r ) , представляющая плотность распределения в точке r , так что dm ( r ) = ρ ( r ) dv ( r ) , где dv ( r ) — элемент евклидова объема , то гравитационный потенциал является интегралом объема $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,dm(\mathbf {r} ),}$$ $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,\rho (\mathbf {r} )dv(\mathbf {r} ).}$$

Если V — потенциальная функция, исходящая из непрерывного распределения масс ρ ( r ), то ρ можно восстановить с помощью оператора Лапласа , Δ : Это справедливо поточечно, когда ρ непрерывно и равно нулю вне ограниченного множества. В общем случае мера массы dm может быть восстановлена ​​таким же образом, если оператор Лапласа берется в смысле распределений . Как следствие, гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона . См. также функцию Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными и ньютоновского потенциала . $${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi G}}\Delta V(\mathbf {x} ).}$$

Интеграл может быть выражен через известные трансцендентные функции для всех эллипсоидальных форм, включая симметричные и вырожденные. ^[6] К ним относятся сфера, где три полуоси равны; сплющенные (см. референтный эллипсоид ) и вытянутые сфероиды, где две полуоси равны; вырожденные, где одна полуось бесконечна (эллиптический и круговой цилиндр) и неограниченный лист, где две полуоси бесконечны. Все эти формы широко используются в приложениях интеграла гравитационного потенциала (кроме постоянной G , где 𝜌 является постоянной плотностью заряда) к электромагнетизму.

Сферическая симметрия

Сферически симметричное распределение массы ведет себя для наблюдателя, полностью находящегося вне распределения, как если бы вся масса была сосредоточена в центре, и, таким образом, эффективно как точечная масса , согласно теореме о оболочках . На поверхности Земли ускорение задается так называемым стандартным ускорением силы тяжести g , приблизительно 9,8 м/с ² , хотя это значение немного меняется в зависимости от широты и высоты. Величина ускорения немного больше на полюсах, чем на экваторе, поскольку Земля представляет собой сплющенный сфероид .

В сферически симметричном распределении масс можно решить уравнение Пуассона в сферических координатах . В однородном сферическом теле радиусом R , плотностью ρ и массой m гравитационная сила g внутри сферы изменяется линейно с расстоянием r от центра, давая гравитационный потенциал внутри сферы, который равен ^{[7] [8]} и который дифференцированно связан с потенциальной функцией для внешней стороны сферы (см. рисунок вверху). $${\displaystyle V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho \left[r^{2}-3R^{2}\right]={\frac {Gm}{2R^{3}}}\left[r^{2}-3R^{2}\right],\qquad r\leq R,}$$

Общая теория относительности

В общей теории относительности гравитационный потенциал заменяется метрическим тензором . Когда гравитационное поле слабое и источники движутся очень медленно по сравнению со скоростью света, общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации, а метрический тензор можно разложить по гравитационному потенциалу. ^[9]

Многополюсное расширение

Потенциал в точке x определяется выражением $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\ dm(\mathbf {r} ).}$$

Иллюстрация распределения массы (серого цвета) с центром масс в качестве начала векторов x и r и точкой, в которой вычисляется потенциал, в начале вектора x .

Потенциал можно разложить в ряд полиномов Лежандра . Представим точки x и r как радиус-векторы относительно центра масс. Знаменатель в интеграле выражается как квадратный корень из квадрата, чтобы получить где в последнем интеграле r = | r | и θ — угол между x и r . $${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {|\mathbf {x} |^{2}-2\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} +|\mathbf {r} |^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {1}{|\mathbf {x} |}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {1-2{\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

(См. «математическая форма».) Подынтегральное выражение можно разложить в ряд Тейлора по Z = r /| x | , явным вычислением коэффициентов. Менее трудоемкий способ достижения того же результата — использование обобщенной биномиальной теоремы . ^[10] Полученный ряд является производящей функцией для полиномов Лежандра: справедливо для | X | ≤ 1 и | Z | < 1 . Коэффициенты P _n являются полиномами Лежандра степени n . Следовательно, коэффициенты Тейлора подынтегрального выражения задаются полиномами Лежандра по X = cos  θ . Таким образом, потенциал можно разложить в ряд, который сходится для положений x таких, что r < | x | для всех массовых элементов системы (т. е. вне сферы с центром в центре масс, которая охватывает систему): Интеграл является компонентой центра масс в направлении x ; он равен нулю, поскольку вектор x исходит из центра масс. Итак, поднося интеграл под знак суммы, получаем $${\displaystyle \left(1-2XZ+Z^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\ =\sum _{n=0}^{\infty }Z^{n}P_{n}(X)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta )\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left(1+\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}+\cdots \right)\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm}$ $${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {GM}{|\mathbf {x} |}}-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}dm(\mathbf {r} )+\cdots }$$

Это показывает, что удлинение тела вызывает более низкий потенциал в направлении удлинения и более высокий потенциал в перпендикулярных направлениях по сравнению с потенциалом, обусловленным сферической массой, если сравнивать случаи с одинаковым расстоянием до центра масс. (Если сравнивать случаи с одинаковым расстоянием до поверхности , то верно обратное.)

Числовые значения

Абсолютное значение гравитационного потенциала в ряде мест относительно гравитации от ^{[ необходимо уточнение ]} Земли , Солнца и Млечного Пути приведено в следующей таблице; то есть объекту на поверхности Земли потребуется 60 МДж/кг, чтобы "покинуть" гравитационное поле Земли, еще 900 МДж/кг, чтобы также покинуть гравитационное поле Солнца и более 130 ГДж/кг, чтобы покинуть гравитационное поле Млечного Пути. Потенциал равен половине квадрата скорости убегания .

Сравните силу тяжести в этих местах .

Смотрите также

• Применение полиномов Лежандра в физике
• Стандартный гравитационный параметр ( ГМ )
• Геоид
• Геопотенциал
• Модель геопотенциала

Примечания

1. Соливерес, CE (2016). Электростатика и магнитостатика поляризованных эллипсоидальных тел: метод тензора деполяризации (1-е англ. изд.). Бесплатная научная информация. ISBN 978-987-28304-0-3.
2. Мэрион, Дж. Б.; Торнтон, СТ (1995). Классическая динамика частиц и систем (4-е изд.). Harcourt Brace & Company. стр. 192. ISBN 0-03-097302-3.
3. Арфкен, Джордж Б.; Вебер, Ганс Дж. (2005). Математические методы для физиков. Международное студенческое издание (6-е изд.). Academic Press . стр. 72. ISBN 978-0-08-047069-6.
4. Санг, Дэвид; Джонс, Грэм; Чадха, Гуриндер; Вудсайд, Ричард; Старк, Уилл; Гилл, Эйдан (2014). Cambridge International AS и A Level Physics Coursebook (иллюстрированное издание). Cambridge University Press . стр. 276. ISBN 978-1-107-69769-0.
5. Манкастер, Роджер (1993). Физика уровня A (иллюстрированное издание). Нельсон Торнес . стр. 106. ISBN 978-0-7487-1584-8.
6. Макмиллан, У. Д. (1958). Теория потенциала . Dover Press.
7. Лоури, Уильям Лоури (2011). Руководство для студентов по геофизическим уравнениям. Cambridge University Press. стр. 69. ISBN 978-1-139-49924-8.Выдержка из страницы 68
8. Санчес-Лавега, Агустин (2011). Введение в планетарные атмосферы (иллюстрированное издание). CRC Press. стр. 19. ISBN 978-1-4200-6735-4.Выдержка из страницы 19
9. Грён, Эйвинд; Хервик, Сигбьорн (2007), Общая теория относительности Эйнштейна: с современными приложениями в космологии, Springer Science & Business Media, стр. 201, ISBN 978-0-387-69200-5
10. Уайли, CR Jr. (1960). Advanced Engineering Mathematics (2-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill . стр. 454 [Теорема 2, Раздел 10.8].

Ссылки

• Владимиров, ВС (1971), Уравнения математической физики , Перевод с русского Одри Литтлвуд. Под редакцией Алана Джеффри. Чистая и прикладная математика, т. 3, Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., MR  0268497.
• Wang, WX (1988). «Потенциал для однородного сфероида в сфероидальной системе координат. I. Во внешней точке». J. Phys. A: Math. Gen. 21 ( 22): 4245–4250. Bibcode : 1988JPhA...21.4245W. doi : 10.1088/0305-4470/21/22/026.
• Milon, T. (1990). «Заметка о потенциале однородного эллипсоида в эллипсоидальных координатах». J. Phys. A: Math. Gen. 23 ( 4): 581–584. doi :10.1088/0305-4470/23/4/027.
• Rastall, Peter (1991). Postprincipia: Гравитация для физиков и астрономов . World Scientific . стр. 7 и далее. ISBN 981-02-0778-6.
• Conway, John T. (2000). «Точные решения для гравитационного потенциала семейства неоднородных сфероидов». Mon. Not. R. Astron. Soc . 316 (3): 555–558. Bibcode :2000MNRAS.316..555C. doi : 10.1046/j.1365-8711.2000.03524.x .
• Cohl, HS; Tohline, JE; Rau, ARP (2000). «Разработки в определении гравитационного потенциала с использованием тороидальных функций». Astron. Nachr . 321 (5/6): 363–372. Bibcode :2000AN....321..363C. doi :10.1002/1521-3994(200012)321:5/6<363::AID-ASNA363>3.0.CO;2-X.
• Торнтон, Стивен Т.; Мэрион, Джерри Б. (2003), Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-40896-1.
• Чжу, Лупея (1988). «Гравитация и структура плотности Земли». Кафедра наук о Земле и атмосфере. EAS-437 Динамика Земли . Университет Сент-Луиса. Калифорнийский технологический институт. Архивировано из оригинала 26.07.2011 . Получено 25.03.2009 .
• Charles D. Ghilani (2006-11-28). "Гравитационное поле Земли". Penn State Surveying Engineering Program. Архивировано из оригинала 2011-07-18 . Получено 2009-03-25 .
• Фукусима, Тосио (2014). "Вытянутое сфероидальное гармоническое расширение гравитационного поля". Astrophys. J . 147 (6): 152. Bibcode :2014AJ....147..152F. doi : 10.1088/0004-6256/147/6/152 .