Задача Дирихле

Задача решения уравнения в частных производных при заданных граничных значениях

В математике задача Дирихле требует функции , которая решает заданное уравнение в частных производных (УЧП) внутри заданной области, которая принимает заданные значения на границе области. ^[1]

Задача Дирихле может быть решена для многих уравнений в частных производных, хотя первоначально она была поставлена ​​для уравнения Лапласа . В этом случае задача может быть сформулирована следующим образом:

Для данной функции f , которая имеет значения всюду на границе области в , существует ли единственная непрерывная функция, дважды непрерывно дифференцируемая внутри и непрерывная на границе, такая, что является гармоничной внутри и на границе? ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u=f}$

Это требование называется граничным условием Дирихле . Основная проблема — доказать существование решения; единственность может быть доказана с помощью принципа максимума .

История

Задача Дирихле восходит к Джорджу Грину , который изучал задачу на общих областях с общими граничными условиями в своем Эссе о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма , опубликованном в 1828 году. Он свел задачу к задаче построения того, что мы сейчас называем функциями Грина , и утверждал, что функция Грина существует для любой области. Его методы не были строгими по сегодняшним меркам, но идеи оказали большое влияние на последующие разработки. Следующие шаги в изучении задачи Дирихле были сделаны Карлом Фридрихом Гауссом , Уильямом Томсоном ( лорд Кельвин ) и Петером Густавом Леженом Дирихле , в честь которого была названа задача, и решение задачи (по крайней мере для шара) с использованием ядра Пуассона было известно Дирихле (судя по его статье 1850 года, представленной в Прусскую академию). Лорд Кельвин и Дирихле предложили решение проблемы вариационным методом , основанным на минимизации «энергии Дирихле». Согласно Гансу Фройденталю (в Словаре научной биографии , т. 11), Бернхард Риман был первым математиком, решившим эту вариационную задачу на основе метода, который он назвал принципом Дирихле . Существование единственного решения весьма правдоподобно по «физическому аргументу»: любое распределение заряда на границе должно, по законам электростатики , определять электрический потенциал как решение. Однако Карл Вейерштрасс нашел изъян в аргументе Римана, и строгое доказательство существования было найдено только в 1900 году Давидом Гильбертом , использовавшим его прямой метод в вариационном исчислении . Оказывается, существование решения тонко зависит от гладкости границы и заданных данных.

Общее решение

Для области, имеющей достаточно гладкую границу , общее решение задачи Дирихле имеет вид ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \partial D}$

${\displaystyle u(x)=\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}\,ds,}$

где — функция Грина для уравнения в частных производных, а ${\displaystyle G(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}={\widehat {n}}\cdot \nabla _{s}G(x,s)=\sum _{i}n_{i}{\frac {\partial G(x,s)}{\partial s_{i}}}}$

— производная функции Грина вдоль единичного вектора нормали, направленного внутрь . Интегрирование выполняется на границе с мерой . Функция задается единственным решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода, ${\displaystyle {\widehat {n}}}$ ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle \nu (s)}$

${\displaystyle f(x)=-{\frac {\nu (x)}{2}}+\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}\,ds.}$

Функция Грина, которая будет использоваться в приведенном выше интеграле, равна нулю на границе:

${\displaystyle G(x,s)=0}$

для и . Такая функция Грина обычно является суммой функции Грина свободного поля и гармонического решения дифференциального уравнения. ${\displaystyle s\in \partial D}$ ${\displaystyle x\in D}$

Существование

Задача Дирихле для гармонических функций всегда имеет решение, и это решение единственно, когда граница достаточно гладкая и непрерывная. Точнее, она имеет решение, когда ${\displaystyle f(s)}$

${\displaystyle \partial D\in C^{1,\alpha }}$

для некоторых , где обозначает условие Гёльдера . ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ ${\displaystyle C^{1,\alpha }}$

Пример: единичный диск в двух измерениях

В некоторых простых случаях задача Дирихле может быть решена явно. Например, решение задачи Дирихле для единичного круга в R ² дается интегральной формулой Пуассона .

Если — непрерывная функция на границе единичного открытого круга , то решение задачи Дирихле имеет вид ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u(z)}$

${\displaystyle u(z)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\psi }){\frac {1-|z|^{2}}{|1-ze^{-i\psi }|^{2}}}\,d\psi &{\text{if }}z\in D,\\f(z)&{\text{if }}z\in \partial D.\end{cases}}}$

Решение непрерывно на замкнутом единичном диске и гармоническое на ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\bar {D}}}$ ${\displaystyle D.}$

Подынтегральное выражение известно как ядро ​​Пуассона ; это решение следует из функции Грина в двух измерениях:

${\displaystyle G(z,x)=-{\frac {1}{2\pi }}\log |z-x|+\gamma (z,x),}$

где — гармоника ( ) и выбрана таким образом, что для . ${\displaystyle \gamma (z,x)}$ ${\displaystyle \Delta _{x}\gamma (z,x)=0}$ ${\displaystyle G(z,x)=0}$ ${\displaystyle x\in \partial D}$

Методы решения

Для ограниченных областей задача Дирихле может быть решена с помощью метода Перрона , который опирается на принцип максимума для субгармонических функций . Этот подход описан во многих учебниках. ^[2] Он не очень хорошо подходит для описания гладкости решений, когда граница гладкая. Другой классический подход гильбертова пространства через пространства Соболева действительно дает такую ​​информацию. ^[3] Решение задачи Дирихле с использованием пространств Соболева для плоских областей может быть использовано для доказательства гладкой версии теоремы об отображении Римана . Белл (1992) наметил другой подход для установления теоремы об отображении Римана гладкости, основанный на воспроизводящих ядрах Сегё и Бергмана, и, в свою очередь, использовал его для решения задачи Дирихле. Классические методы теории потенциала позволяют решать задачу Дирихле непосредственно в терминах интегральных операторов , для которых применима стандартная теория компактных и фредгольмовых операторов . Те же методы одинаково работают для задачи Неймана . ^[4]

Обобщения

Задачи Дирихле типичны для эллиптических уравнений с частными производными , теории потенциала и уравнения Лапласа в частности. Другие примеры включают бигармоническое уравнение и связанные с ним уравнения в теории упругости .

Они являются одним из нескольких типов классов задач УЧП, определяемых информацией, заданной на границе, включая задачи Неймана и задачи Коши .

Пример: уравнение конечной струны, прикрепленной к одной движущейся стене.

Рассмотрим задачу Дирихле для волнового уравнения, описывающего струну, закрепленную между стенками, один конец которой закреплен постоянно, а другой движется с постоянной скоростью, т.е. уравнение Даламбера в треугольной области декартова произведения пространства и времени:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,t)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0,}$

${\displaystyle u(0,t)=0,}$

${\displaystyle u(\lambda t,t)=0.}$

Как легко проверить путем подстановки, решение, удовлетворяющее первому условию, имеет вид

${\displaystyle u(x,t)=f(t-x)-f(x+t).}$

Кроме того, мы хотим

${\displaystyle f(t-\lambda t)-f(\lambda t+t)=0.}$

Заменяя

${\displaystyle \tau =(\lambda +1)t,}$

получаем условие самоподобия

${\displaystyle f(\gamma \tau )=f(\tau ),}$

где

${\displaystyle \gamma ={\frac {1-\lambda }{\lambda +1}}.}$

Это выполняется, например, составной функцией

${\displaystyle \sin[\log(e^{2\pi }x)]=\sin[\log(x)]}$

с

${\displaystyle \lambda =e^{2\pi }=1^{-i},}$

таким образом, в общем

${\displaystyle f(\tau )=g[\log(\gamma \tau )],}$

где — периодическая функция с периодом : ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \log(\gamma )}$

${\displaystyle g[\tau +\log(\gamma )]=g(\tau ),}$

и мы получаем общее решение

${\displaystyle u(x,t)=g[\log(t-x)]-g[\log(x+t)].}$

Смотрите также

• позвоночник Лебега

Примечания

1. «Задача Дирихле».
2. См. например:
   • Джон 1982
   • Берс, Джон и Шехтер 1979
   • Грин и Кранц 2006
3. См. например:
   • Берс, Джон и Шехтер 1979
   • Хазарейн и Пириу 1982
   • Тейлор 2011
4. См.:
   • Фолланд 1995
   • Берс, Джон и Шехтер 1979

Ссылки

• А. Янушаускас (2001) [1994], "Задача Дирихле", Энциклопедия математики , EMS Press
• SG Krantz, Задача Дирихле . §7.3.3 в Handbook of Complex Variables . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, стр. 93, 1999. ISBN 0-8176-4011-8 . 
• С. Акслер , П. Горкин , К. Фосс, Задача Дирихле на квадратичных поверхностях , Математика вычислений 73 (2004), 637–651.
• Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. (2001), Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41160-4.
• Жерар, Патрик; Лейхтнам, Эрик : Эргодические свойства собственных функций задачи Дирихле. Duke Math. J. 71 (1993), № 2, 559–607.
• Джон, Фриц (1982), Уравнения с частными производными , Прикладные математические науки, т. 1 (4-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6.
• Берс, Липман; Джон, Фриц; Шехтер, Мартин (1979), Уравнения с частными производными, с дополнениями Ларса Гординга и А. Н. Милгрэма , Лекции по прикладной математике, т. 3A, Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0049-3.
• Агмон, Шмуэль (2010), Лекции по эллиптическим граничным задачам , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4910-1
• Стайн, Элиас М. (1970), Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций , Princeton University Press.
• Грин, Роберт Э.; Кранц, Стивен Г. (2006), Теория функций одной комплексной переменной , Graduate Studies in Mathematics , т. 40 (3-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3962-4.
• Тейлор, Майкл Э. (2011), Уравнения с частными производными I. Основная теория , Прикладные математические науки, т. 115 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-4419-7054-1.
• Циммер, Роберт Дж. (1990), Основные результаты функционального анализа , Чикагские лекции по математике, Издательство Чикагского университета, ISBN 0-226-98337-4.
• Фолланд, Джеральд Б. (1995), Введение в уравнения с частными производными (2-е изд.), Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2.
• Шазарейн, Жак; Пириу, Ален (1982), Введение в теорию линейных уравнений с частными производными , Исследования по математике и ее приложениям, т. 14, Elsevier, ISBN 0444864520.
• Белл, Стивен Р. (1992), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение , Исследования по высшей математике, CRC Press, ISBN 0-8493-8270-X.
• Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Graduate Texts in Mathematics, т. 94, Springer, ISBN 0387908943.
• Гриффитс, Филлип; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley Interscience, ISBN 0471050598.
• Курант, Р. (1950), Принцип Дирихле, Конформное отображение и минимальные поверхности , Interscience.
• Шиффер, М.; Хоули, Н. С. (1962), «Связи и конформное отображение», Acta Math. , 107 (3–4): 175–274, doi : 10.1007/bf02545790

Внешние ссылки

• «Задача Дирихле», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Задача Дирихле». Математический мир .