Субгармоническая функция

Класс математических функций

В математике субгармонические и супергармонические функции являются важными классами функций, широко используемыми в уравнениях с частными производными , комплексном анализе и теории потенциала .

Интуитивно субгармонические функции связаны с выпуклыми функциями одной переменной следующим образом. Если график выпуклой функции и прямая пересекаются в двух точках, то график выпуклой функции находится ниже прямой между этими точками. Точно так же, если значения субгармонической функции не больше значений гармонической функции на границе шара , то значения субгармонической функции не больше значений гармонической функции и внутри шара.

Супергармонические функции можно определить тем же описанием, только заменив «не больше» на «не меньше». С другой стороны, супергармоническая функция — это просто отрицательная субгармоническая функция, и по этой причине любое свойство субгармонических функций можно легко перенести на супергармонические функции.

Формальное определение

Формально определение можно сформулировать следующим образом. Пусть будет подмножеством евклидова пространства и пусть будет полунепрерывной сверху функцией . Тогда, называется субгармонической , если для любого замкнутого шара с центром и радиусом, содержащегося в , и каждой действительной непрерывной функции на , которая является гармоничной в и удовлетворяет для всех на границе , мы имеем для всех ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \varphi \colon G\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}$ ${\displaystyle B(x,r)}$ ${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \partial B(x,r)}$ ${\displaystyle B(x,r)}$ ${\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}$ ${\displaystyle y\in B(x,r).}$

Обратите внимание, что согласно вышесказанному функция, тождественно равная −∞, является субгармонической, однако некоторые авторы исключают эту функцию по определению.

Функция называется супергармонической, если она субгармоническая. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle -u}$

Характеристики

• Функция является гармонической тогда и только тогда, когда она является одновременно субгармонической и супергармонической.
• Если является C ² ( дважды непрерывно дифференцируемой ) на открытом множестве в , то является субгармонической тогда и только тогда, когда на , где — лапласиан . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Delta \phi \geq 0}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Delta }$
• Максимум субгармонической функции не может быть достигнут внутри ее области определения , если только функция не является постоянной, что называется принципом максимума . Однако минимум субгармонической функции может быть достигнут внутри ее области определения.
• Субгармонические функции образуют выпуклый конус , то есть линейная комбинация субгармонических функций с положительными коэффициентами также является субгармонической.
• Поточечный максимум двух субгармонических функций является субгармоническим. Если поточечный максимум счетного числа субгармонических функций является полунепрерывным сверху, то он также является субгармоническим.
• Предел убывающей последовательности субгармонических функций субгармоничен (или тождественно равен ). ${\displaystyle -\infty }$
• Субгармонические функции не обязательно непрерывны в обычной топологии, однако можно ввести тонкую топологию , которая делает их непрерывными.

Примеры

Если аналитическая , то субгармоническая. Больше примеров можно построить, используя перечисленные выше свойства, взяв максимумы, выпуклые комбинации и пределы. В размерности 1 все субгармонические функции можно получить таким образом. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \log |f|}$

Теорема Рисса о представлении

Если является субгармонической в ​​области , в евклидовом пространстве размерности , является гармоничной в , и , то называется гармонической мажорантой . Если гармоническая мажоранта существует, то существует и наименьшая гармоническая мажоранта, а в размерности 2, где — наименьшая гармоническая мажоранта, а — мера Бореля в . Это называется теоремой о представлении Рисса . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u\leq v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle u(x)=v(x)-\int _{D}{\frac {d\mu (y)}{|x-y|^{n-2}}},\quad n\geq 3}$$ $${\displaystyle u(x)=v(x)+\int _{D}\log |x-y|d\mu (y),}$$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle D}$

Субгармонические функции в комплексной плоскости

Субгармонические функции имеют особое значение в комплексном анализе , где они тесно связаны с голоморфными функциями .

Можно показать, что действительная непрерывная функция комплексной переменной (то есть двух действительных переменных), определенная на множестве, является субгармонической тогда и только тогда, когда для любого замкнутого круга с центром и радиусом выполняется ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D(z,r)\subset G}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle \varphi (z)\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\varphi (z+re^{i\theta })\,d\theta .}$$

Интуитивно это означает, что субгармоническая функция в любой точке не больше среднего значения в окружности вокруг этой точки, факт, который можно использовать для вывода принципа максимума .

Если — голоморфная функция, то — субгармоническая функция, если мы определим значение в нулях как . Отсюда следует, что — субгармоническая для любого α  > 0. Это наблюдение играет роль в теории пространств Харди , особенно для изучения H ^p при 0 < p  < 1. ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \varphi (z)=\log \left|f(z)\right|}$$ ${\displaystyle \varphi (z)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -\infty }$ $${\displaystyle \psi _{\alpha }(z)=\left|f(z)\right|^{\alpha }}$$

В контексте комплексной плоскости связь с выпуклыми функциями может быть реализована также тем фактом, что субгармоническая функция на области , которая постоянна в мнимом направлении, выпукла в действительном направлении и наоборот. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$

Гармонические мажоранты субгармонических функций

Если является субгармонической в ​​области комплексной плоскости и является гармоничной на , то является гармонической мажорантой в , если в . Такое неравенство можно рассматривать как условие роста на . ^[1] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u\leq h}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$

Субгармонические функции в единичном круге. Радиальная максимальная функция

Пусть φ субгармонична, непрерывна и неотрицательна в открытом подмножестве Ω комплексной плоскости, содержащей замкнутый единичный круг D (0, 1). Радиальная максимальная функция для функции φ (ограниченной на единичный круг) определяется на единичной окружности как Если P _r обозначает ядро ​​Пуассона , то из субгармоничности следует, что Можно показать, что последний интеграл меньше значения в точке e ^iθ максимальной функции Харди–Литтлвуда φ ^∗ ограничения φ на единичную окружность T , так что 0 ≤ M φ  ≤ φ ^∗ . Известно, что оператор Харди–Литтлвуда ограничен на L p ( T ) при 1 < p  < ∞. Отсюда следует, что для некоторой универсальной константы C , $${\displaystyle (M\varphi )(e^{i\theta })=\sup _{0\leq r<1}\varphi (re^{i\theta }).}$$ $${\displaystyle 0\leq \varphi (re^{i\theta })\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}\left(\theta -t\right)\varphi \left(e^{it}\right)\,dt,\ \ \ r<1.}$$ $${\displaystyle \varphi ^{*}(e^{i\theta })=\sup _{0<\alpha \leq \pi }{\frac {1}{2\alpha }}\int _{\theta -\alpha }^{\theta +\alpha }\varphi \left(e^{it}\right)\,dt,}$$  $${\displaystyle \|M\varphi \|_{L^{2}(\mathbf {T} )}^{2}\leq C^{2}\,\int _{0}^{2\pi }\varphi (e^{i\theta })^{2}\,d\theta .}$$

Если f — функция, голоморфная в Ω, и 0 < p  < ∞, то предыдущее неравенство применимо к φ  = | f  | ^{p /2} . Из этих фактов можно вывести, что любая функция F в классическом пространстве Харди H ^p удовлетворяет Приложив больше усилий, можно показать, что F имеет радиальные пределы F ( e ^iθ ) почти всюду на единичной окружности, и (по теореме о доминирующей сходимости ) что F _r , определяемая как F _r ( e ^iθ ) = F ( r e ^iθ ), стремится к F в L ^p ( T ). $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left(\sup _{0\leq r<1}\left|F(re^{i\theta })\right|\right)^{p}\,d\theta \leq C^{2}\,\sup _{0\leq r<1}\int _{0}^{2\pi }\left|F(re^{i\theta })\right|^{p}\,d\theta .}$$ 

Субгармонические функции на римановых многообразиях

Субгармонические функции могут быть определены на произвольном римановом многообразии .

Определение: Пусть M — риманово многообразие, а — полунепрерывная сверху функция. Предположим, что для любого открытого подмножества и любой гармонической функции f ₁ на U , такой, что на границе U неравенство выполняется на всех U . Тогда f называется субгармонической . ${\displaystyle f:\;M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle f_{1}\geq f}$ ${\displaystyle f_{1}\geq f}$

Это определение эквивалентно данному выше. Также для дважды дифференцируемых функций субгармоничность эквивалентна неравенству , где — обычный лапласиан . ^[2] ${\displaystyle \Delta f\geq 0}$ ${\displaystyle \Delta }$

Смотрите также

• Плюрисубгармоническая функция — обобщение на несколько комплексных переменных
• Классическая тонкая топология

Примечания

1. Розенблюм, Марвин; Ровняк, Джеймс (1994), стр.35 (см. Ссылки)
2. Грин, Р. Э.; Ву, Х. (1974). «Интегралы субгармонических функций на многообразиях неотрицательной кривизны». Inventiones Mathematicae . 27 (4): 265–298. Bibcode : 1974InMat..27..265G. doi : 10.1007/BF01425500. S2CID  122233796., МР 0382723

Ссылки

• Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
• Кранц, Стивен Г. (1992). Теория функций нескольких комплексных переменных . Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-2724-3.
• Дуб, Джозеф Лео (1984). Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог . Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 3-540-41206-9.
• Розенблюм, Марвин; Ровняк, Джеймс (1994). Темы в классах Харди и однолистных функциях . Birkhauser Advanced Texts: Basel Textbooks. Базель: Birkhauser Verlag.

В данной статье использованы материалы из книги «Субгармонические и супергармонические функции» на сайте PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .