Гладкость

Число производных функции (математика)

Функция выступов — это гладкая функция с компактной поддержкой .

В математическом анализе гладкость функции — это свойство , измеряемое числом непрерывных производных ( класс дифференцируемости), которые она имеет в своей области определения . ^[1]

Функция класса — это функция гладкости не менее k ; то есть функция класса — это функция, имеющая k- ю производную, непрерывную в своей области определения. ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Функция класса или -функция (произносится как C-infinity function ) — это бесконечно дифференцируемая функция , то есть функция, имеющая производные всех порядков (это подразумевает, что все эти производные непрерывны). ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Обычно термин гладкая функция относится к -функции. Однако он может также означать «достаточно дифференцируемую» для рассматриваемой задачи. ${\displaystyle C^{\infty }}$

Классы дифференцируемости

Класс дифференцируемости — это классификация функций по свойствам их производных . Это мера наивысшего порядка производной, которая существует и является непрерывной для функции.

Рассмотрим открытое множество на действительной прямой и функцию , определенную на с действительными значениями. Пусть k — неотрицательное целое число . Говорят, что функция имеет класс дифференцируемости , если производные существуют и непрерывны на Если -дифференцируема на , то она по крайней мере принадлежит классу , так как непрерывны на Функция называется бесконечно дифференцируемой , гладкой или класса , если она имеет производные всех порядков на (Таким образом, все эти производные являются непрерывными функциями над ) ^[2] Говорят, что функция имеет класс или аналитическую , если является гладкой (т. е. находится в классе ) и ее разложение в ряд Тейлора вокруг любой точки своей области сходится к функции в некоторой окрестности точки. Существуют функции, которые являются гладкими, но не аналитическими; таким образом, строго содержится в Функции Bump являются примерами функций с этим свойством. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle f',f'',\dots ,f^{(k)}}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle C^{k-1}}$ ${\displaystyle f',f'',\dots ,f^{(k-1)}}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\infty },}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\omega },}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\omega }}$ ${\displaystyle C^{\infty }.}$

Другими словами, класс состоит из всех непрерывных функций. Класс состоит из всех дифференцируемых функций , производная которых непрерывна; такие функции называются непрерывно дифференцируемыми . Таким образом, функция — это в точности функция, производная которой существует и принадлежит классу В общем случае классы можно определить рекурсивно, объявив множеством всех непрерывных функций, а для любого положительного целого числа — множеством всех дифференцируемых функций, производная которых принадлежит классу В частности, содержится в для каждого и есть примеры, показывающие, что это включение является строгим ( ). Класс бесконечно дифференцируемых функций является пересечением классов, поскольку изменяется по неотрицательным целым числам. ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{0}.}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k-1}.}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k-1}}$ ${\displaystyle k>0,}$ ${\displaystyle C^{k}\subsetneq C^{k-1}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$

Примеры

Пример: Непрерывный (С⁰) Но не дифференцируемо

Функция C ⁰ f ( x ) = x для x ≥ 0 и 0 в противном случае .

Функция g ( x ) = x ² sin(1/ x ) для x > 0 .

Функция при и дифференцируема. Однако эта функция не является непрерывно дифференцируемой . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle f(0)=0}$

Гладкая функция, не являющаяся аналитической.

Функция непрерывна, но не дифференцируема при x = 0 , поэтому она принадлежит классу C ⁰ , но не принадлежит классу C ¹ . $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0\end{cases}}}$$

Пример: конечно-кратно дифференцируемая (С^к)

Для каждого четного целого числа k функция непрерывна и k раз дифференцируема при всех x . Однако при x = 0 не является ( k + 1) раз дифференцируемой, поэтому принадлежит классу C ^k , но не принадлежит классу C ^j , где j > k . $${\displaystyle f(x)=|x|^{k+1}}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Пример: дифференцируемый, но не непрерывно дифференцируемый (неС¹)

Функция дифференцируема, с производной $${\displaystyle g(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle g'(x)={\begin{cases}-{\mathord {\cos \left({\tfrac {1}{x}}\right)}}+2x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}$$

Поскольку колеблется при x → 0, то не является непрерывной в нуле. Следовательно, является дифференцируемой, но не класса C ¹ . ${\displaystyle \cos(1/x)}$ ${\displaystyle g'(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

Пример: дифференцируемый, но не непрерывный по Липшицу

Функция дифференцируема, но ее производная неограничена на компактном множестве . Следовательно, является примером функции, которая дифференцируема, но не является локально непрерывной по Липшицу . $${\displaystyle h(x)={\begin{cases}x^{4/3}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle h}$

Пример: Аналитический (С^ω)

Экспоненциальная функция является аналитической и, следовательно, относится к классу C ^ω . Тригонометрические функции также являются аналитическими, где бы они ни были определены, поскольку они являются линейными комбинациями комплексных экспоненциальных функций и . ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle e^{ix}}$ ${\displaystyle e^{-ix}}$

Пример: Гладкий (С^∞), но не Аналитический (С^ω)

Функция выпуклости гладкая, поэтому класса C ^∞ , но она не аналитична при x = ±1 , и, следовательно, не принадлежит классу C ^ω . Функция f является примером гладкой функции с компактным носителем . $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}&{\text{ if }}|x|<1,\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$$

Классы многомерной дифференцируемости

Функция , определенная на открытом множестве , называется ^[3] функцией класса на , для положительного целого числа , если все частные производные существуют и непрерывны для любых неотрицательных целых чисел, таких что , и для каждого . Эквивалентно, функция принадлежит классу на , если производная Фреше -го порядка функции существует и непрерывна в каждой точке . Функция называется функцией класса или , если она непрерывна на . Функции класса также называются непрерывно дифференцируемыми . ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{1}}$

Функция , определенная на открытом множестве , называется функцией класса на , для положительного целого числа , если все ее компоненты принадлежат классу , где — естественные проекции, определенные с помощью . Говорят, что она принадлежит классу или , если она непрерывна, или, что эквивалентно, если все ее компоненты непрерывны, на . ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(\pi _{i}\circ f)(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\pi _{i}(f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})){\text{ for }}i=1,2,3,\ldots ,m}$$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle U}$

ПространствоСкфункции

Пусть — открытое подмножество действительной прямой. Множество всех вещественных функций, определенных на , является векторным пространством Фреше , со счетным семейством полунорм , где изменяется по возрастающей последовательности компактных множеств , объединение которых равно , и . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle p_{K,m}=\sup _{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|}$$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle m=0,1,\dots ,k}$

Набор функций над также образует пространство Фреше. Используются те же полунормы, что и выше, за исключением того, что разрешено ранжироваться по всем неотрицательным целым значениям. ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle m}$

Вышеуказанные пространства естественным образом встречаются в приложениях, где необходимы функции, имеющие производные определенных порядков; однако, особенно при изучении уравнений в частных производных , иногда может быть более плодотворным работать с пространствами Соболева .

Непрерывность

Термины параметрическая непрерывность ( C ^k ) и геометрическая непрерывность ( G ⁿ ) были введены Брайаном Барски , чтобы показать, что гладкость кривой можно измерить, сняв ограничения на скорость , с которой параметр описывает кривую. ^{[4] [5] [6]}

Параметрическая непрерывность

Параметрическая непрерывность ( C ^k ) — это концепция, применяемая к параметрическим кривым , которая описывает гладкость значения параметра с расстоянием вдоль кривой. Говорят, что (параметрическая) кривая принадлежит классу C ^k , если существует и непрерывна на , где производные в конечных точках и считаются односторонними производными (справа при и слева при ). ${\displaystyle s:[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {d^{k}s}{dt^{k}}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

В качестве практического применения этой концепции кривая, описывающая движение объекта с параметром времени, должна иметь непрерывность C ¹ , а ее первая производная должна быть дифференцируемой — для того, чтобы объект имел конечное ускорение. Для более плавного движения, например, траектории движения камеры при съемке фильма, требуются более высокие порядки параметрической непрерывности.

Порядок параметрической непрерывности

Два присоединенных сегмента кривой Безье , которые являются только C ⁰ непрерывными

Два сегмента кривой Безье, соединенные таким образом, что они являются непрерывными по ^C1

Различный порядок параметрической непрерывности можно описать следующим образом: ^[7]

• ${\displaystyle C^{0}}$: нулевая производная непрерывна (кривые непрерывны)
• ${\displaystyle C^{1}}$: нулевая и первая производные непрерывны
• ${\displaystyle C^{2}}$: нулевая, первая и вторая производные непрерывны
• ${\displaystyle C^{n}}$: производные от 0-й до -й непрерывны ${\displaystyle n}$

Геометрическая непрерывность

Кривые с контактом G ¹ (круги, линии)

${\displaystyle (1-\varepsilon ^{2})x^{2}-2px+y^{2}=0,\ p>0\ ,\varepsilon \geq 0}$
пучок конических сечений с G ² -контакт: p фиксированная, переменная ( : окружность, : эллипс, : парабола, : гипербола) ${\displaystyle \varepsilon }$
${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle \varepsilon =0.8}$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$ ${\displaystyle \varepsilon =1.2}$

Кривая или поверхность может быть описана как имеющая непрерывность, причем является возрастающей мерой гладкости. Рассмотрим сегменты по обе стороны от точки на кривой: ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle G^{0}}$: Кривые соприкасаются в точке соединения.
• ${\displaystyle G^{1}}$: Кривые также имеют общее направление касательной в точке соединения.
• ${\displaystyle G^{2}}$: Кривые также имеют общий центр кривизны в точке соединения.

В общем случае непрерывность существует, если кривые можно перепараметризовать, чтобы получить (параметрическую) непрерывность. ^{[8] [9]} Перепараметризация кривой геометрически идентична оригиналу; затрагивается только параметр. ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle C^{n}}$

Эквивалентно, две векторные функции и такие, которые имеют непрерывность в точке, где они встречаются, если они удовлетворяют уравнениям, известным как бета-ограничения. Например, бета-ограничения для непрерывности таковы: ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle f(1)=g(0)}$ ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle G^{4}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{(1)}(0)&=\beta _{1}f^{(1)}(1)\\g^{(2)}(0)&=\beta _{1}^{2}f^{(2)}(1)+\beta _{2}f^{(1)}(1)\\g^{(3)}(0)&=\beta _{1}^{3}f^{(3)}(1)+3\beta _{1}\beta _{2}f^{(2)}(1)+\beta _{3}f^{(1)}(1)\\g^{(4)}(0)&=\beta _{1}^{4}f^{(4)}(1)+6\beta _{1}^{2}\beta _{2}f^{(3)}(1)+(4\beta _{1}\beta _{3}+3\beta _{2}^{2})f^{(2)}(1)+\beta _{4}f^{(1)}(1)\\\end{aligned}}}$

где , , и являются произвольными, но ограничены положительными значениями. ^{[8] : 65} В случае это сводится к и , для скаляра (т.е. направление, но не обязательно величина, двух векторов равны). ${\displaystyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle \beta _{3}}$ ${\displaystyle \beta _{4}}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle f'(1)\neq 0}$ ${\displaystyle f'(1)=kg'(0)}$ ${\displaystyle k>0}$

Хотя может быть очевидно, что кривая потребует непрерывности, чтобы казаться гладкой, для хорошей эстетики , например, той, к которой стремятся в архитектуре и дизайне спортивных автомобилей , требуются более высокие уровни геометрической непрерывности. Например, отражения в кузове автомобиля не будут казаться гладкими, если кузов не имеет непрерывности. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle G^{1}}$ ${\displaystyle G^{2}}$

Скругленный прямоугольник ( с девяностоградусными дугами окружности в четырех углах) имеет непрерывность, но не имеет непрерывности. То же самое верно для скругленного куба с октантами сферы по углам и четвертями цилиндров по краям. Если требуется редактируемая кривая с непрерывностью, то обычно выбирают кубические сплайны ; эти кривые часто используются в промышленном дизайне . ${\displaystyle G^{1}}$ ${\displaystyle G^{2}}$ ${\displaystyle G^{2}}$

Другие концепции

Отношение к аналитичности

В то время как все аналитические функции являются «гладкими» (т. е. имеют все производные, непрерывные) на множестве, на котором они являются аналитическими, примеры, такие как функции выпуклости (упомянутые выше), показывают, что обратное неверно для функций на действительных числах: существуют гладкие действительные функции, которые не являются аналитическими. Простые примеры функций, которые являются гладкими, но не аналитическими в любой точке, можно сделать с помощью рядов Фурье ; еще один пример — функция Фабия . Хотя может показаться, что такие функции являются скорее исключением, чем правилом, оказывается, что аналитические функции очень редко разбросаны среди гладких; более строго, аналитические функции образуют скудное подмножество гладких функций. Более того, для каждого открытого подмножества A действительной прямой существуют гладкие функции, которые являются аналитическими на A и нигде больше ^{[ требуется ссылка ]} .

Полезно сравнить ситуацию с ситуацией повсеместности трансцендентных чисел на действительной прямой. Как на действительной прямой, так и на множестве гладких функций примеры, которые приходят нам на ум с первого взгляда (алгебраические/рациональные числа и аналитические функции), ведут себя гораздо лучше, чем большинство случаев: трансцендентные числа и нигде не аналитические функции имеют полную меру (их дополнения скудны).

Описанная таким образом ситуация резко контрастирует с комплексными дифференцируемыми функциями. Если комплексная функция дифференцируема только один раз на открытом множестве, она является как бесконечно дифференцируемой, так и аналитической на этом множестве ^{[ требуется цитата ]} .

Гладкие перегородки единства

Гладкие функции с заданным замкнутым носителем используются при построении гладких разбиений единицы (см. разделение единицы и топологический глоссарий ); они необходимы при изучении гладких многообразий , например, чтобы показать, что римановы метрики могут быть определены глобально, начиная с их локального существования. Простым случаем является функция выпуклости на действительной прямой, то есть гладкая функция f , которая принимает значение 0 вне интервала [ a , b ] и такая, что $${\displaystyle f(x)>0\quad {\text{ for }}\quad a<x<b.\,}$$

Учитывая ряд перекрывающихся интервалов на прямой, можно построить функции выпуклости на каждом из них, а также на полубесконечных интервалах и покрыть всю прямую таким образом, чтобы сумма функций всегда была равна 1. ${\displaystyle (-\infty ,c]}$ ${\displaystyle [d,+\infty )}$

Из того, что только что было сказано, разбиения единицы не применимы к голоморфным функциям ; их различное поведение относительно существования и аналитического продолжения является одним из корней теории пучков . Напротив, пучки гладких функций, как правило, не несут много топологической информации.

Гладкие функции на многообразиях и между ними

Если задано гладкое многообразие размерности и атлас , то отображение является гладким на , если для всех существует карта такая, что и является гладкой функцией из окрестности в в ( все частные производные до заданного порядка непрерывны). Гладкость можно проверить относительно любой карты атласа, которая содержит , поскольку требования гладкости к функциям перехода между картами гарантируют, что если является гладким вблизи в одной карте, то он будет гладким вблизи в любой другой карте. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {U}}=\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha },}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle (U,\phi )\in {\mathfrak {U}},}$ ${\displaystyle p\in U,}$ ${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi (p)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Если — отображение из в -мерное многообразие , то является гладким, если для каждого существует карта, содержащая и карта, содержащая такие, что и — гладкая функция из ${\displaystyle F:M\to N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p\in M,}$ ${\displaystyle (U,\phi )}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle (V,\psi )}$ ${\displaystyle F(p)}$ ${\displaystyle F(U)\subset V,}$ ${\displaystyle \psi \circ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Гладкие отображения между многообразиями индуцируют линейные отображения между касательными пространствами : для , в каждой точке прямой образ (или дифференциальный образ) отображает касательные векторы в в касательные векторы в : и на уровне касательного расслоения прямой образ является гомоморфизмом векторного расслоения : Двойственным к прямому образу является обратный образ , который «тянет» ковекторы обратно в ковекторы и -формы в -формы: Таким образом, гладкие функции между многообразиями могут переносить локальные данные , такие как векторные поля и дифференциальные формы , с одного многообразия на другое или вниз в евклидово пространство, где вычисления, такие как интегрирование, хорошо понятны. ${\displaystyle F:M\to N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F(p)}$ ${\displaystyle F_{*,p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N,}$ ${\displaystyle F_{*}:TM\to TN.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M).}$

Прообразы и проталкивания вдоль гладких функций, в общем случае, не являются многообразиями без дополнительных предположений. Прообразы регулярных точек (то есть, если дифференциал не обращается в нуль на прообразе) являются многообразиями; это теорема о прообразе . Аналогично, проталкивания вдоль вложений являются многообразиями. ^[10]

Гладкие функции между подмножествами многообразий

Существует соответствующее понятие гладкого отображения для произвольных подмножеств многообразий. Если — функция , область определения и область определения которой являются подмножествами многообразий и соответственно. называется гладкой, если для всех существует открытое множество с и гладкая функция, такие что для всех ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\subseteq M}$ ${\displaystyle Y\subseteq N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U\subseteq M}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle F:U\to N}$ ${\displaystyle F(p)=f(p)}$ ${\displaystyle p\in U\cap X.}$

Смотрите также

• Разрывность  – Математический анализ точек разрываPages displaying short descriptions of redirect targets
• Лемма Адамара
• Неаналитическая гладкая функция  – Математические функции, которые являются гладкими, но не аналитическими.
• Квазианалитическая функция
• Сингулярность (математика)  – точка, в которой функция, кривая или другой математический объект ведет себя нерегулярно.
• Извилистость  – отношение длины дуги к расстоянию по прямой между двумя точками волнообразной функции.
• Гладкая схема  – тип схемыPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Гладкое число  – целое число, имеющее только малые простые множители (теория чисел)
• Сглаживание  – подбор аппроксимирующей функции к данным
• Сплайн  – математическая функция, определяемая кусочно-полиномами.
• Соболевское картирование

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Smooth Function". mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 2019-12-16 . Получено 2019-12-13 .
2. Уорнер, Фрэнк В. (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли. Springer. стр. 5 [Определение 1.2]. ISBN 978-0-387-90894-6. Архивировано из оригинала 2015-10-01 . Получено 2014-11-28 .
3. Анри Картан (1977). Курс дифференцированного расчета . Париж: Германн.
4. Барски, Брайан А. (1981). Бета-сплайн: локальное представление, основанное на параметрах формы и фундаментальных геометрических мерах (Ph.D.). Университет Юты, Солт-Лейк-Сити, Юта.
5. Брайан А. Барски (1988). Компьютерная графика и геометрическое моделирование с использованием бета-сплайнов . Springer-Verlag, Гейдельберг. ISBN 978-3-642-72294-3.
6. Ричард Х. Бартельс; Джон К. Битти; Брайан А. Барски (1987). Введение в сплайны для использования в компьютерной графике и геометрическом моделировании . Морган Кауфманн. Глава 13. Параметрическая и геометрическая непрерывность. ISBN 978-1-55860-400-1.
7. van de Panne, Michiel (1996). «Параметрические кривые». Онлайн-заметки осени 1996 г. Университет Торонто, Канада. Архивировано из оригинала 2020-11-26 . Получено 2019-09-01 .
8. Barsky, Brian A.; DeRose, Tony D. (1989). «Геометрическая непрерывность параметрических кривых: три эквивалентные характеристики». IEEE Computer Graphics and Applications . 9 (6): 60–68. doi :10.1109/38.41470. S2CID  17893586.
9. Хартманн, Эрих (2003). «Геометрия и алгоритмы автоматизированного проектирования» (PDF) . Технический университет Дармштадта . п. 55. Архивировано (PDF) из оригинала 23 октября 2020 г. Проверено 31 августа 2019 г.
10. Гийемен, Виктор; Поллак, Алан (1974). Дифференциальная топология . Englewood Cliffs: Prentice-Hall. ISBN 0-13-212605-2.