Гранулированный материал

Конгломерат дискретных твердых макроскопических частиц

Примеры сыпучих материалов

Гранулированный материал представляет собой конгломерат дискретных твердых макроскопических частиц , характеризующийся потерей энергии при каждом взаимодействии частиц (наиболее распространенным примером является трение при столкновении зерен ). ^[1] Компоненты, составляющие гранулированный материал, достаточно велики и не подвержены колебаниям теплового движения. Таким образом, нижний предел размера зерен в гранулированном материале составляет около 1 мкм . В верхнем пределе размера физика зернистых материалов может быть применена к льдинам, где отдельные зерна являются айсбергами , и к поясам астероидов Солнечной системы , где отдельные зерна являются астероидами .

Некоторыми примерами гранулированных материалов являются снег , орехи , уголь , песок , рис , кофе , кукурузные хлопья , соль и шарики подшипников . Таким образом, исследования сыпучих материалов применимы напрямую и восходят, по крайней мере, к Шарлю-Огюстену де Кулону , чей закон трения был первоначально сформулирован для сыпучих материалов. ^[2] Гранулированные материалы имеют коммерческое значение в таких разнообразных областях, как фармацевтическая промышленность, сельское хозяйство и производство энергии .

Порошки представляют собой особый класс гранулированных материалов из-за небольшого размера частиц, что делает их более когезионными и их легче суспендировать в газе .

Солдат / физик бригадный генерал Ральф Алджер Бэгнольд был одним из первых пионеров физики зернистого вещества, чья книга «Физика выдуваемого песка и пустынных дюн» [ ^3] остается важным справочником по сей день. По словам ученого-материаловеда Патрика Ричарда, «гранулированные материалы повсеместно распространены в природе и являются вторым по степени манипулирования материалом в промышленности (первым является вода )». ^[4]

В некотором смысле зернистые материалы не представляют собой единую фазу вещества, но имеют характеристики, напоминающие твердые тела , жидкости или газы, в зависимости от средней энергии на зерно. Однако в каждом из этих состояний гранулированные материалы также проявляют уникальные свойства. ^[5]

Гранулированные материалы также демонстрируют широкий спектр поведения при формировании рисунка при возбуждении (например, при вибрации или течении). Таким образом, сыпучие материалы при возбуждении можно рассматривать как пример сложной системы . Они также демонстрируют нестабильность и явления, связанные с жидкостью, такие как эффект Магнуса . ^[6]

Определения

Зернистое вещество – это система, состоящая из множества макроскопических частиц. Микроскопические частицы (атомы\молекулы) описываются (в классической механике) всей степенями свободы системы. Макроскопические частицы описываются только степенью свободы движения каждой частицы как твердого тела . В каждой частице много внутренней ГРИП. Рассмотрим неупругое столкновение двух частиц - энергия скорости твердого тела передается микроскопической внутренней глубине резкости. Получаем « Диссипацию » — необратимое выделение тепла. В результате без внешнего воздействия все частицы в конечном итоге перестанут двигаться. В макроскопических частицах тепловые флуктуации не имеют значения.

Когда вещество разбавлено и динамично (движимо), его называют гранулированным газом , и преобладает явление диссипации.

Когда вещество плотное и статичное, его называют зернистым телом и преобладает явление заедания.

Когда плотность промежуточная, то ее называют зернистой жидкостью .

Статическое поведение

Закон трения Кулона

Цепь передачи сил напряжений в сыпучей среде.

Кулон рассматривал внутренние силы между зернистыми частицами как процесс трения и предложил закон трения, согласно которому сила трения твердых частиц пропорциональна нормальному давлению между ними, а коэффициент статического трения больше кинетического коэффициента трения. Он изучал обрушение груд песка и эмпирически нашел два критических угла: максимальный устойчивый угол и минимальный угол естественного откоса . Когда уклон песчаной кучи достигает максимально устойчивого угла, частицы песка на поверхности кучи начинают падать. Процесс прекращается, когда угол наклона поверхности становится равным углу естественного откоса. Разница между этими двумя углами представляет собой угол Багнольда, который является мерой гистерезиса гранулированных материалов. Это явление обусловлено силовыми цепями : напряжение в зернистом твердом теле не распределяется равномерно, а отводится по так называемым силовым цепям , которые представляют собой сети зерен, опирающихся друг на друга. Между этими цепочками находятся области с низким напряжением, зерна которых защищены от воздействия зерен, расположенных выше, сводами и дугами . Когда напряжение сдвига достигает определенного значения, силовые цепочки могут разорваться и частицы на концах цепей по поверхности начнут скользить. Затем формируются новые силовые цепочки до тех пор, пока напряжение сдвига не станет меньше критического значения, и поэтому песчаная куча сохраняет постоянный угол естественного откоса. ^[7] ${\displaystyle \theta _{m}}$ ${\displaystyle \theta _{r}}$ ${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{m}-\theta _{r}}$

Эффект Янссена

В 1895 г. Х. А. Янссен обнаружил, что в вертикальном цилиндре, наполненном частицами, давление, измеренное у основания цилиндра, не зависит от высоты наполнения, в отличие от покоящихся ньютоновских жидкостей, подчиняющихся закону Стевина . Янссен предложил упрощенную модель со следующими предположениями:

1) Вертикальное давление постоянно в горизонтальной плоскости; ${\displaystyle \sigma _{zz}}$

2) Горизонтальное давление , пропорционально вертикальному давлению , где постоянно в пространстве; ${\displaystyle \sigma _{rr}}$ ${\displaystyle \sigma _{zz}}$ ${\displaystyle K={\frac {\sigma _{rr}}{\sigma _{zz}}}}$

3) Статический коэффициент трения о стену выдерживает вертикальную нагрузку при контакте со стеной; ${\displaystyle \mu ={\frac {\sigma _{rz}}{\sigma _{rr}}}}$

4) Плотность материала постоянна по всей глубине.

Тогда давление в зернистом материале описывается другим законом, учитывающим насыщение:

$${\displaystyle p(z)=p_{\infty }[1-\exp(-z/\lambda )]}$$

${\displaystyle \lambda ={\frac {R}{2\mu K}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle z=0}$

Данное уравнение давления не учитывает граничные условия, такие как соотношение размера частиц к радиусу бункера. Поскольку внутреннее напряжение материала невозможно измерить, предположения Янссена не были подтверждены каким-либо прямым экспериментом.

Стресс Роу – соотношение дилатансии

В начале 1960-х годов Роу изучил влияние дилатансии на прочность на сдвиг в испытаниях на сдвиг и предложил связь между ними.

Механические свойства сборки монодисперсных частиц в 2D можно анализировать на основе репрезентативного элементарного объема с типичными длинами в вертикальном и горизонтальном направлениях соответственно. Геометрические характеристики системы описываются и переменной , которая описывает угол, при котором точки контакта начинают процесс скольжения. Обозначим вертикальное направление, которое является направлением главного главного напряжения, и горизонтальное направление, которое является направлением меньшего главного напряжения. ${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2}}$ ${\displaystyle \alpha =\arctan({\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}})}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \sigma _{11}}$ ${\displaystyle \sigma _{22}}$

Тогда напряжение на границе можно выразить как концентрированную силу, действующую на отдельные частицы. При двухосной нагрузке с равномерным напряжением и, следовательно , . ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}=0}$ ${\displaystyle F_{12}=F_{21}=0}$

В равновесном состоянии:

$${\displaystyle {\frac {F_{11}}{F_{22}}}={\frac {\sigma _{11}\ell _{2}}{\sigma _{22}\ell _{1}}}=\tan(\theta +\beta )}$$

где , угол трения, представляет собой угол между контактной силой и направлением нормали контакта. ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta _{\mu }}$, который описывает угол, при котором, если касательная сила попадает в конус трения, частицы все равно останутся устойчивыми. Он определяется коэффициентом трения , т. е . Как только к системе прикладывается напряжение, оно постепенно увеличивается, оставаясь неизменным. Тогда частицы начнут скользить, что приведет к изменению структуры системы и созданию новых силовых цепочек. , горизонтальное и вертикальное перемещения соответственно удовлетворяют: ${\displaystyle \mu =tg\phi _{u}}$ ${\displaystyle \theta \leq \theta _{\mu }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \theta \geq \theta _{\mu }}$ ${\displaystyle \Delta _{1},\Delta _{2}}$

$${\displaystyle {\frac {\dot {\Delta _{2}}}{\dot {\Delta _{1}}}}={\frac {{\dot {\varepsilon _{22}}}\ell _{2}}{{\dot {\varepsilon _{11}}}\ell _{1}}}=-\tan \beta }$$

Гранулированные газы

Если гранулированный материал подвергается более сильному давлению, так что контакты между зернами становятся очень редкими, материал переходит в газообразное состояние. Соответственно, можно определить температуру зерна, равную среднеквадратичному значению флуктуаций скорости зерна, что аналогично термодинамической температуре . В отличие от обычных газов, гранулированные материалы имеют тенденцию к скоплению и комкованию из-за диссипативного характера столкновений между зернами. Эта кластеризация имеет некоторые интересные последствия. Например, если частично разделенный ящик с зернистыми материалами энергично встряхнуть, то зерна со временем будут иметь тенденцию собираться в одной из перегородок, а не распределяться равномерно по обеим перегородкам, как это происходит в обычном газе. Этот эффект, известный как зернистый демон Максвелла , не нарушает никаких принципов термодинамики, поскольку в процессе система постоянно теряет энергию.

Модель Улама

Рассмотрим частицы, частицы, имеющие энергию . С некоторой постоянной скоростью в единицу времени случайно выберите две частицы с энергиями и вычислите сумму . Теперь случайным образом распределите полную энергию между двумя частицами: выберите случайным образом так, чтобы первая частица после столкновения имела энергию , а вторая . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i},\varepsilon _{j}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}}$ ${\displaystyle z\in \left[0,1\right]}$ ${\displaystyle z\left(\varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}\right)}$ ${\displaystyle \left(1-z\right)\left(\varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}\right)}$

Стохастическое уравнение эволюции :

$${\displaystyle \varepsilon _{i}(t+dt)={\begin{cases}\varepsilon _{i}(t)&probability:\,1-\Gamma dt\\z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)&probability:\,\Gamma dt\end{cases}}}$$

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \left[0,1\right]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \varepsilon (t+dt)\right\rangle &=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot \left\langle z\right\rangle \left(\left\langle \varepsilon _{i}\right\rangle +\left\langle \varepsilon _{j}\right\rangle \right)\\&=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot {\dfrac {1}{2}}\left(\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle \right)\\&=\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle \end{aligned}}}$$

Второй момент:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \varepsilon ^{2}(t+dt)\right\rangle &=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot \left\langle z^{2}\right\rangle \left\langle \varepsilon _{i}^{2}+2\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}+\varepsilon _{j}^{2}\right\rangle \\&=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot {\dfrac {1}{3}}\left(2\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +2\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle ^{2}\right)\end{aligned}}}$

Теперь производная по времени второго момента:

${\displaystyle {\dfrac {d\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle }{dt}}=lim_{dt\rightarrow 0}{\dfrac {\left\langle \varepsilon ^{2}(t+dt)\right\rangle -\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle }{dt}}=-{\dfrac {\Gamma }{3}}\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle +{\dfrac {2\Gamma }{3}}\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}}$

В устойчивом состоянии:

${\displaystyle {\dfrac {d\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle }{dt}}=0\Rightarrow \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle =2\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}}$

Решение дифференциального уравнения для второго момента:

${\displaystyle \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle -2\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}=\left(\left\langle \varepsilon ^{2}(0)\right\rangle -2\left\langle \varepsilon (0)\right\rangle ^{2}\right)e^{-{\frac {\Gamma }{3}}t}}$

Однако вместо того, чтобы характеризовать моменты, мы можем аналитически решить распределение энергии, исходя из производящей функции момента. Рассмотрим преобразование Лапласа : . ${\displaystyle g(\lambda )=\left\langle e^{-\lambda \varepsilon }\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon }$

Где и ${\displaystyle g(0)=1}$ ${\displaystyle {\dfrac {dg}{d\lambda }}=-\int _{0}^{\infty }\varepsilon e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon =-\left\langle \varepsilon \right\rangle }$

производная n:

${\displaystyle {\dfrac {d^{n}g}{d\lambda ^{n}}}=\left(-1\right)^{n}\int _{0}^{\infty }\varepsilon ^{n}e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon =\left\langle \varepsilon ^{n}\right\rangle }$

сейчас:

${\displaystyle e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t+dt)}={\begin{cases}e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t)}&1-\Gamma t\\e^{-\lambda z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)}&\Gamma t\end{cases}}}$

${\displaystyle \left\langle e^{-\lambda \varepsilon \left(t+dt\right)}\right\rangle =\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t)}\right\rangle +\Gamma dt\left\langle e^{-\lambda z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)}\right\rangle }$

${\displaystyle g\left(\lambda ,t+dt\right)=\left(1-\Gamma dt\right)g\left(\lambda ,t\right)+\Gamma dt\int _{0}^{1}{\underset {=g^{2}(\lambda z,t)}{\underbrace {\left\langle e^{-\lambda z\varepsilon _{i}(t)}\right\rangle \left\langle e^{-\lambda z\varepsilon _{j}(t)}\right\rangle } }}dz}$

Решение с заменой переменных : ${\displaystyle g(\lambda )}$ ${\displaystyle \delta =\lambda z}$

${\displaystyle \lambda g(\lambda )=\int _{0}^{\lambda }g^{2}(\delta )d\delta \Rightarrow \lambda g'(\lambda )+g(\lambda )=g^{2}(\lambda )\Rightarrow g(\lambda )={\dfrac {1}{\lambda T+1}}}$

Мы покажем это ( Распределение Больцмана ), взяв преобразование Лапласа и вычислив производящую функцию: ${\displaystyle \rho (\varepsilon )={\dfrac {1}{T}}e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\dfrac {1}{T}}e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}\cdot e^{-\lambda \varepsilon }d\varepsilon ={\dfrac {1}{T}}\int _{0}^{\infty }e^{-\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)\varepsilon }d\varepsilon =-{\dfrac {1}{T\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)}}e^{-\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)\varepsilon }|_{0}^{\infty }={\dfrac {1}{\lambda T+1}}=g(\lambda )}$

Заглушающий переход

Застревание при выгрузке сыпучего материала происходит из-за образования свода (красные сферы).

Известно, что гранулированные системы подвержены заклиниванию и претерпевают переход заклинивания, который рассматривается как термодинамический фазовый переход в заклиненное состояние. ^[8] Переход происходит из жидкоподобной фазы в твердоподобную фазу и контролируется температурой , объемной долей , и напряжением сдвига . Нормальная фазовая диаграмма стеклования лежит в плоскости и разделена линией перехода на область заклиненного состояния и незажатое жидкое состояние. Фазовая диаграмма сыпучего вещества лежит в плоскости, а кривая критических напряжений делит фазовое состояние на область заклинивания/незастревания, что соответствует сыпучим твердым веществам\жидкостям соответственно. Для изотропно заклиненной зернистой системы при уменьшении около определенной точки модули объемного сжатия и сдвига приближаются к 0. Эта точка соответствует критической объемной доле . Определить расстояние до точки , критическую объемную долю, . Эмпирически было обнаружено, что поведение зернистых систем вблизи точки напоминает переход второго рода : модуль объемного сжатия демонстрирует степенной закон масштабирования , и при приближении к нулю наблюдаются некоторые расходящиеся характеристики длины . ^[7] Хотя для бесконечной системы оно постоянно, для конечной системы граничные эффекты приводят к распределению в некотором диапазоне. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \phi ^{-1}-T}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}-\Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma (\phi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \phi _{c}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Delta \phi \equiv \phi -\phi _{c}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Delta \phi }$ ${\displaystyle \Delta \phi }$ ${\displaystyle \phi _{c}}$ ${\displaystyle \phi _{c}}$

Алгоритм помех Любачевского-Стиллинджера позволяет создавать моделируемые защемленные гранулированные конфигурации.^[9]

Формирование узора

Возбужденное зернистое вещество представляет собой богатую узорообразующую систему. Вот некоторые из особенностей формирования узоров, наблюдаемых в гранулированных материалах:

• Растворение или разделение разнородных зерен под действием вибрации и потока. Примером этого является так называемый эффект бразильского ореха ^[10] , когда бразильские орехи поднимаются наверх в пакете со смесью орехов при встряхивании. Причина этого эффекта в том, что при встряхивании зернистые (и некоторые другие) материалы движутся по круговой схеме. некоторые более крупные материалы (бразильские орехи) застревают при движении вниз по кругу и поэтому остаются наверху.
• Формирование структурированных поверхностных или объемных узоров в вибрирующих зернистых слоях. ^[11] Эти узоры включают, помимо прочего, полосы, квадраты и шестиугольники. Считается, что эти узоры формируются фундаментальными возбуждениями поверхности, известными как осциллоны . Образование упорядоченных объемных структур в зернистых материалах известно как зернистая кристаллизация и включает переход от случайной упаковки частиц к упорядоченной упаковке, такой как гексагональная плотноупакованная или объемноцентрированная кубическая. Чаще всего это наблюдается в зернистых материалах с узким гранулометрическим составом и однородной морфологией зерен. ^[11]
• Образование песчаной ряби , дюн и песчаных пластов .

Некоторые модели поведения, формирующие паттерны, удалось воспроизвести с помощью компьютерного моделирования.^{[12] [13]} Существует два основных вычислительных подхода к такому моделированию: поэтапный и событийно-ориентированный , первый из которых наиболее эффективен для более высокой плотности материала и движений меньшей интенсивности, а второй — для меньшая плотность материала и движения большей интенсивности.

Акустические эффекты

Песчаные дюны

Некоторые пляжные пески, например, пески с метким названием «Скрипучий пляж» , издают скрип при ходьбе. Известно, что некоторые пустынные дюны поднимаются во время схода лавин или когда их поверхность нарушается иным образом. Гранулированные материалы, выгружаемые из силосов, производят громкую акустическую эмиссию в процессе, известном как звуковой сигнал бункера.

Грануляция

Грануляция — это действие или процесс, при котором первичные частицы порошка слипаются с образованием более крупных многочастичных образований, называемых гранулами.

Кристаллизация

Когда вода или другие жидкости охлаждаются достаточно медленно, хаотично расположенные молекулы перестраиваются, возникают и растут твердые кристаллы. Подобный процесс кристаллизации может происходить в случайно упакованных гранулированных материалах. В отличие от отвода энергии путем охлаждения, кристаллизация в зернистом материале достигается за счет внешнего воздействия. Было замечено, что упорядочение или кристаллизация зернистых материалов происходит как в периодически сдвигаемых, так и вибрирующих зернистых материалах. ^[11] В отличие от молекулярных систем, положения отдельных частиц можно отслеживать в эксперименте. ^[14] Компьютерное моделирование системы сферических зерен показывает, что гомогенная кристаллизация возникает при объемной доле . ^[15] Компьютерное моделирование определяет минимальные ингредиенты, необходимые для гранулированной кристаллизации. В частности, гравитация и трение не являются необходимыми. ${\displaystyle \phi =0.646\pm 0.001}$

Компьютерное моделирование сыпучих материалов

Существует несколько методов моделирования сыпучих материалов . Большинство этих методов состоят из статистических методов, с помощью которых различные статистические свойства, полученные либо из точечных данных, либо из изображения, извлекаются и используются для создания стохастических моделей сыпучей среды. Недавний и всесторонний обзор таких методов доступен у Тахмасеби и др. (2017). ^[16] Другая альтернатива для создания пакета гранулированных частиц, которая была недавно представлена, основана на алгоритме набора уровней , с помощью которого реальная форма частицы может быть зафиксирована и воспроизведена с помощью извлеченной статистики морфологии частиц. ^[17]

Смотрите также

• Агрегат (композитный)
• Хрупкая материя
• Случайная закрытая упаковка
• Разжижение почвы
• Металлический порошок
• Частицы
• Паста (реология)

Рекомендации

1. Дюран, Дж., Пески, порошки и зерна: введение в физику зернистых материалов (перевод А. Райзингера). Ноябрь 1999 г., Springer-Verlag New York, Inc., Нью-Йорк, ISBN  0-387-98656-1 .
2. Родес, М. (редактор), Принципы порошковой технологии , John Wiley & Sons, 1997 ISBN 0-471-92422-9 
3. Бэгнольд, Р.А. 1941. Физика выдуваемого песка и пустынных дюн . Лондон: Метуэн,
4. Ричард, П.; Никодеми, Марио; Деланне, Рено; Рибьер, Филипп; Бидо, Даниэль (2005). «Медленная релаксация и уплотнение зернистых систем». Природные материалы . 4 (2): 121–8. Бибкод : 2005NatMa...4..121R. дои : 10.1038/nmat1300. PMID  15689950. S2CID  25375365.
5. Диман, Маниш; Кумар, Сону; Редди, К. Анки; Гупта, Рагвендра (март 2020 г.). «Происхождение дальнего притяжения или отталкивания между злоумышленниками в ограниченной зернистой среде». Журнал механики жидкости . 886 : А23. дои : 10.1017/jfm.2019.1035. ISSN  0022-1120. S2CID  214483792.
6. Кумар, Сону; Диман, Маниш; Редди, К. Анки (14 января 2019 г.). «Эффект Магнуса в гранулированных средах». Физический обзор E . 99 (1): 012902. doi :10.1103/PhysRevE.99.012902. PMID  30780222. S2CID  73456295.
7. Цичэн, Сунь (2013). «Механика зернистого вещества» . Саутгемптон, Великобритания: WIT Press.
8. Хэй Хинрихсен, Дитрих Э. Вольф (редакторы), Физика гранулированных сред . 2004, ISBN Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. 978-3-527-60362-6 
9. Кансал, Анурааг Р.; Торквато, Сальваторе; Стиллингер, Фрэнк Х. (2002). «Компьютерное создание плотных полидисперсных сферических упаковок» (PDF) . Журнал химической физики . 117 (18): 8212. Бибкод : 2002ЖЧФ.117.8212К. дои : 10.1063/1.1511510.
10. Розато, А.; Страндбург, Кейджей; Принц, Ф.; Свендсен, Р.Х. (1987). «Почему бразильские орехи на вершине». Письма о физических отзывах . 58 (10): 1038–41. doi : 10.1103/physrevlett.58.1038. ПМИД  10034316.
11. Dai, Вэйцзин; Рейманн, Йорг; Ханаор, Дориан; Ферреро, Клаудио; Ган, Исян (2019). «Режимы пристеночной зернистой кристаллизации в вибрационной упаковке». Гранулированная материя . 21 (2). arXiv : 1805.07865 . дои : 10.1007/s10035-019-0876-8. S2CID  119084790.
12. Джон Дж. Дрозд, Компьютерное моделирование зернистого вещества: исследование промышленной мельницы. Архивировано 18 августа 2011 г. в Wayback Machine , Диссертация, Univ. Западный Онтарио, Канада, 2004 г.
13. А.Д. Висснер-Гросс, «Динамика нарушителя на виброфлюидизированных зернистых поверхностях», Материалы симпозиума Общества исследования материалов 1152E, TT03-01 (2009).
14. Ритц, Фрэнк; Радин, Чарльз; Суинни, Гарри Л.; Шретер, Матиас (2 февраля 2018 г.). «Зародышеобразование в сдвинутом зернистом веществе». Письма о физических отзывах . 120 (5): 055701. arXiv : 1705.02984 . Бибкод : 2018PhRvL.120e5701R. doi : 10.1103/PhysRevLett.120.055701 . ПМИД  29481202.
15. Джин, Вэйвэй; О'Херн, Кори С.; Радин, Чарльз; Шаттак, Марк Д.; Суинни, Гарри Л. (18 декабря 2020 г.). «Гомогенная кристаллизация в циклически сдвигаемых зернах без трения». Письма о физических отзывах . 125 (25): 258003. arXiv : 2008.01920 . Бибкод : 2020PhRvL.125y8003J. doi : 10.1103/PhysRevLett.125.258003. PMID  33416399. S2CID  220968720.
16. Тахмасеби, Пейман; Сахими, Мухаммед; Андраде, Хосе Э. (01 января 2017 г.). «Моделирование гранулированных пористых сред на основе изображений» (PDF) . Письма о геофизических исследованиях . 44 (10): 2017GL073938. Бибкод : 2017GeoRL..44.4738T. дои : 10.1002/2017GL073938. ISSN  1944-8007. S2CID  44736386.
17. Тахмасеби, Пейман (август 2018 г.). «Упаковка дискретных и неправильных частиц» (PDF) . Компьютеры и геотехника . 100 : 52–61. doi :10.1016/j.compgeo.2018.03.011.

Внешние ссылки

• Основы технологии частиц - бесплатная книга
• Лу, Кевин; и другие. (ноябрь 2007 г.). «Сдвиговое ослабление переходного режима зернистого потока». Дж. Гидромеханика. 587 : 347–372. Бибкод : 2007JFM...587..347L. дои : 10.1017/S0022112007007331. S2CID  30744277.
• Местер Л. Новая физико-механическая теория сыпучих материалов. 2009, Гомонне, ISBN 978-963-8343-87-1 
• Парески Л., Руссо Г., Тоскани Г. Моделирование и численное моделирование кинетических диссипативных систем, Nova Science Publishers, Нью-Йорк, 2006.