Граф смежных классов Шрайера

В области математики , называемой комбинаторной теорией групп , граф смежных классов Шрейера — это граф , связанный с группой G , порождающим множеством S= { s _i  : i in I } группы G и подгруппой H ≤ G. Граф Шрейера кодирует абстрактную структуру группы по модулю отношения эквивалентности, образованного смежным классом .

Граф назван в честь Отто Шрайера , который использовал термин « Nebengruppenbild ». ^[1] Эквивалентное определение было дано в ранней статье Тодда и Коксетера. ^[2]

Описание

Граф Шрейера группы G, подгруппы H и порождающего множества S⊆G обозначается Sch(G,H,S) или Sch(H\G,S) . Его вершинами являются правые смежные классы Hg = { hg  : h in H } для g в G , а его ребра имеют вид ( Hg , Hgs ) для g в G и s в S.

В более общем случае, если X является G-множеством , граф Шрейера действия G на X (относительно S⊆G) обозначается как Sch(G,X,S) или Sch(X,S). Его вершины являются элементами X, а его ребра имеют вид (x,xs) для x в X и s в S. Это включает в себя исходное определение графа смежных классов Шрейера, так как H\G является естественным G-множеством относительно умножения справа. С алгебро-топологической точки зрения граф Sch(X,S) не имеет выделенной вершины, тогда как Sch(G,H,S) имеет выделенную вершину H и, таким образом, является пунктирным графом .

Граф Кэли группы G сам по себе является графом смежных классов Шрайера для H = {1 _G } (Gross & Tucker 1987, стр. 73).

Охватывающее дерево смежного графа Шрайера соответствует трансверсали Шрайера, как в лемме Шрайера о подгруппах (Conder 2003).

В книге "Категории и группоиды", указанной ниже, это связывается с теорией морфизмов покрытия группоидов . Подгруппа H группы G определяет морфизм покрытия группоидов , и если S является порождающим множеством для G , то его обратный образ при p является графом Шрейера группы ( G , S ). ${\displaystyle p:K\rightarrow G}$

Приложения

График полезен для понимания перечисления смежных классов и алгоритма Тодда–Коксетера .

Графы смежных классов можно использовать для формирования больших перестановочных представлений групп, и Грэм Хигман использовал их, чтобы показать, что знакопеременные группы достаточно большой степени являются группами Гурвица (Conder 2003).

Основные графы Столлингса ^[3] являются ретрактами графов Шрейера свободных групп и являются важным инструментом для вычислений с подгруппами свободной группы.

Каждый вершинно-транзитивный граф является графом смежных классов.

Ссылки

1. Шрайер, Отто (декабрь 1927 г.). «Die Untergruppen der Freien Gruppen». Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 5 (1): 161–183. дои : 10.1007/BF02952517.
2. Тодд, JA; Коксетер, HSM (октябрь 1936 г.). «Практический метод перечисления смежных классов конечной абстрактной группы». Труды Эдинбургского математического общества . 5 (1): 26–34. doi : 10.1017/S0013091500008221 .
3. Джон Р. Столлингс. «Топология конечных графов». Inventiones Mathematicae , т. 71 (1983), № 3, стр. 551–565

• Магнус, В.; Каррасс, А.; Солитэр, Д. (1976), Комбинаторная теория групп , Довер
• Кондер, Марстон (2003), «Групповые действия на графах, картах и ​​поверхностях с максимальной симметрией», Groups St. Andrews 2001 в Оксфорде. Том I , London Math. Soc. Lecture Note Ser., том 304, Cambridge University Press , стр. 63–91, MR  2051519
• Гросс, Джонатан Л.; Такер, Томас В. (1987), Топологическая теория графов , Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-04926-5, МР  0898434
• Графики Шрайера группы «Базилика» Авторы: Даниэле Д'Анджели, Альфредо Донно, Мишель Маттер, Татьяна Нагнибеда
• Филип Дж. Хиггинс, Категории и группоиды, van Nostrand, Нью-Йорк, Lecture Notes, 1971, переиздано как TAC Reprint, 2005