Отношение эквивалентности

Математическая концепция сравнения объектов

52 отношения эквивалентности на наборе из 5 элементов, изображенных в виде логических матриц (цветные поля, включая светло-серые, обозначают единицы; белые поля — нули). Индексы строк и столбцов небелых ячеек являются связанными элементами, в то время как различные цвета, отличные от светло-серого, обозначают классы эквивалентности (каждая светло-серая ячейка — свой собственный класс эквивалентности). ${\displaystyle 5\times 5}$

В математике отношение эквивалентности — это бинарное отношение , которое является рефлексивным , симметричным и транзитивным . Отношение равносильности между отрезками прямых в геометрии — это распространенный пример отношения эквивалентности. Более простой пример — равенство. Любое число равно самому себе (рефлексивное). Если , то (симметричное). Если и , то (транзитивное). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle b=a}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle b=c}$ ${\displaystyle a=c}$

Каждое отношение эквивалентности обеспечивает разбиение базового множества на непересекающиеся классы эквивалентности . Два элемента данного множества эквивалентны друг другу тогда и только тогда, когда они принадлежат к одному и тому же классу эквивалентности.

Обозначение

В литературе используются различные обозначения для обозначения того, что два элемента и множества эквивалентны относительно отношения эквивалентности. Наиболее распространенными являются « » и « a ≡ b », которые используются, когда подразумевается, и вариации « », « a ≡ _R b » или « », чтобы указать явно. Неэквивалентность может быть записана как « a ≁ b » или « ». ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R;}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a\sim _{R}b}$ ${\displaystyle {a\mathop {R} b}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a\not \equiv b}$

Определение

Бинарное отношение на множестве называется отношением эквивалентности, если и только если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. То есть для всех и в ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle X:}$

• ${\displaystyle a\sim a}$( рефлексивность ).
• ${\displaystyle a\sim b}$тогда и только тогда, когда ( симметрия ). ${\displaystyle b\sim a}$
• Если и то ( транзитивность ). ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle b\sim c}$ ${\displaystyle a\sim c}$

${\displaystyle X}$вместе с отношением называется сетоидом . Класс эквивалентности под обозначением определяется как ^{[1] ​​[2]} ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \,\sim ,}$ ${\displaystyle [a],}$ ${\displaystyle [a]=\{x\in X:x\sim a\}.}$

Альтернативное определение с использованием реляционной алгебры

В реляционной алгебре , если и являются отношениями, то составное отношение определяется так, что тогда и только тогда, когда существует такое , что и . ^{[примечание 1]} Это определение является обобщением определения функциональной композиции . Определяющие свойства отношения эквивалентности на множестве можно тогда переформулировать следующим образом: ${\displaystyle R\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle S\subseteq Y\times Z}$ ${\displaystyle SR\subseteq X\times Z}$ ${\displaystyle x\,SR\,z}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\,R\,y}$ ${\displaystyle y\,S\,z}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \operatorname {id} \subseteq R}$. ( рефлексивность ). (Здесь обозначает функцию тождества на .) ${\displaystyle \operatorname {id} }$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle R=R^{-1}}$( симметрия ).
• ${\displaystyle RR\subseteq R}$( транзитивность ). ^[3]

Примеры

Простой пример

На множестве отношение является отношением эквивалентности. Следующие множества являются классами эквивалентности этого отношения: ${\displaystyle X=\{a,b,c\}}$ ${\displaystyle R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\}}$ $${\displaystyle [a]=\{a\},~~~~[b]=[c]=\{b,c\}.}$$

Множество всех классов эквивалентности для равно Это множество является разбиением множества относительно . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \{\{a\},\{b,c\}\}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$

Отношения эквивалентности

Все следующие отношения являются отношениями эквивалентности:

• «Равно» на множестве чисел. Например, равно ^[2] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{8}}.}$
• «Имеет тот же день рождения, что и» на съёмочной площадке у всех людей.
• « Подобен » на множестве всех треугольников .
• « Конгруэнтен » на множестве всех треугольников .
• Дано натуральное число , «сравнимо по модулю » с целыми числами . ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• При наличии функции "имеет тот же образ под , что и" на элементах домена . Например , и имеют тот же образ под , а именно . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle 0}$
• «Имеет то же абсолютное значение, что и» на множестве действительных чисел
• «Имеет тот же косинус, что и» на множестве всех углов.

Отношения, которые не являются эквивалентностями

• Отношение "≥" между действительными числами является рефлексивным и транзитивным, но не симметричным. Например, 7 ≥ 5, но не 5 ≥ 7.
• Отношение "имеет общий множитель больше 1 с" между натуральными числами больше 1 является рефлексивным и симметричным, но не транзитивным. Например, натуральные числа 2 и 6 имеют общий множитель больше 1, а 6 и 3 имеют общий множитель больше 1, но 2 и 3 не имеют общего множителя больше 1.
• Пустое отношение R (определенное так, что aRb никогда не бывает истинным) на множестве X является пусто симметричным и транзитивным; однако оно не рефлексивно (если только само X не пусто).
• Отношение «приблизительно равно» между действительными числами, даже если оно определено более точно, не является отношением эквивалентности, поскольку, хотя оно рефлексивно и симметрично, оно не транзитивно, поскольку множественные небольшие изменения могут накапливаться, чтобы стать большим изменением. Однако, если приближение определено асимптотически, например, говоря, что две функции f и g приблизительно равны вблизи некоторой точки, если предел f − g равен 0 в этой точке, то это определяет отношение эквивалентности.

Связи с другими отношениями

• Частичный порядок — это отношение, которое является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.
• Равенство — это и отношение эквивалентности, и частичный порядок. Равенство — это также единственное отношение на множестве, которое является рефлексивным, симметричным и антисимметричным. В алгебраических выражениях равные переменные могут заменять друг друга, что недоступно для переменных, связанных с эквивалентностью. Классы эквивалентности отношения эквивалентности могут заменять друг друга, но не индивиды внутри класса.
• Строгий частичный порядок является иррефлексивным, транзитивным и асимметричным .
• Отношение частичной эквивалентности является транзитивным и симметричным. Такое отношение является рефлексивным тогда и только тогда, когда оно является полным , то есть, если для всех существует некоторое ^{[доказательство 1]} Поэтому отношение эквивалентности может быть альтернативно определено как симметричное, транзитивное и полное отношение. ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b{\text{ such that }}a\sim b.}$
• Троичное отношение эквивалентности является троичным аналогом обычного (бинарного) отношения эквивалентности.
• Рефлексивное и симметричное отношение является отношением зависимости (если оно конечно), и отношением толерантности (если оно бесконечно).
• Предварительный порядок является возвратным и транзитивным.
• Отношение конгруэнтности — это отношение эквивалентности, областью определения которого также является базовое множество для алгебраической структуры , и которое уважает дополнительную структуру. В общем случае отношения конгруэнтности играют роль ядер гомоморфизмов, и фактор структуры по отношению конгруэнтности может быть сформирован. Во многих важных случаях отношения конгруэнтности имеют альтернативное представление в виде подструктур структуры, на которой они определены (например, отношения конгруэнтности на группах соответствуют нормальным подгруппам ). ${\displaystyle X}$
• Любое отношение эквивалентности является отрицанием отношения обособленности , хотя обратное утверждение справедливо только в классической математике (в отличие от конструктивной математики ), поскольку оно эквивалентно закону исключенного третьего .
• Каждое отношение, которое является одновременно рефлексивным и левым (или правым) евклидовым , также является отношением эквивалентности.

Корректность определения при отношении эквивалентности

Если — отношение эквивалентности на и — свойство элементов из такое, что всякий раз, когда истинно, если истинно, то свойство называется корректно определенным или инвариантным относительно отношения ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\sim y,}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \,\sim .}$

Частный случай часто возникает, когда есть функция из в другое множество, если подразумевает , то называется морфизмом для класса , инвариантного относительно или просто инвариантного относительно Это происходит, например, в теории характеров конечных групп. Последний случай с функцией может быть выражен коммутативным треугольником. См. также инвариант . Некоторые авторы используют «совместимый с » или просто «уважает » вместо «инвариантный относительно ». ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$ ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \,\sim ,}$ ${\displaystyle \,\sim ,}$ ${\displaystyle \,\sim .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \,\sim }$ ${\displaystyle \,\sim }$ ${\displaystyle \,\sim }$

В более общем смысле функция может отображать эквивалентные аргументы (в соответствии с отношением эквивалентности ) в эквивалентные значения (в соответствии с отношением эквивалентности ). Такая функция известна как морфизм из в ${\displaystyle \,\sim _{A}}$ ${\displaystyle \,\sim _{B}}$ ${\displaystyle \,\sim _{A}}$ ${\displaystyle \,\sim _{B}.}$

Связанные важные определения

Пусть , и будет отношением эквивалентности. Ниже приведены некоторые ключевые определения и терминология: ${\displaystyle a,b\in X}$ ${\displaystyle \sim }$

Класс эквивалентности

Подмножество из , такое что выполняется для всех и в , и никогда для в и вне , называется классом эквивалентности из по . Пусть обозначает класс эквивалентности, к которому принадлежит. Все элементы из , эквивалентные друг другу, также являются элементами одного и того же класса эквивалентности. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle [a]:=\{x\in X:a\sim x\}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$

Частное множество

Множество всех классов эквивалентности по обозначается как фактор-множество по Если — топологическое пространство , то существует естественный способ преобразования в топологическое пространство; подробности см. в разделе Фактор-пространство . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim ,}$ ${\displaystyle X/{\mathord {\sim }}:=\{[x]:x\in X\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/\sim }$

Проекция

Проекция — это функция , определяемая с помощью которой элементы отображаются в соответствующие им классы эквивалентности ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/{\mathord {\sim }}}$ ${\displaystyle \pi (x)=[x]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\sim .}$

Теорема о проекциях : ^[4] Пусть функция такова, что если , то Тогда существует единственная функция такая, что Если является сюръекцией , а то является биекцией . ${\displaystyle f:X\to B}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle f(a)=f(b).}$ ${\displaystyle g:X/\sim \to B}$ ${\displaystyle f=g\pi .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a\sim b{\text{ if and only if }}f(a)=f(b),}$ ${\displaystyle g}$

Ядро эквивалентности

Ядро эквивалентности функции — это отношение эквивалентности ~, определяемое формулой Ядро эквивалентности инъекции — это отношение тождества . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\sim y{\text{ if and only if }}f(x)=f(y).}$

Разделение

Разбиение X — это множество P непустых подмножеств X , такое, что каждый элемент X является элементом одного элемента P. Каждый элемент P является ячейкой разбиения. Более того, элементы P попарно не пересекаются , а их объединение равно X.

Подсчет разделов

Пусть X — конечное множество с n элементами. Поскольку каждое отношение эквивалентности над X соответствует разбиению X , и наоборот, число отношений эквивалентности над X равно числу различных разбиений X , что является n-м числом Белла B n _:

$${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}\quad }$$( Формула Добински ).

Основная теорема об отношениях эквивалентности

Ключевой результат связывает отношения эквивалентности и разбиения: ^{[5] [6] [7]}

• Отношение эквивалентности ~ на множестве X разбивает X.
• Наоборот, любому разбиению X соответствует отношение эквивалентности ~ на X.

В обоих случаях ячейки разбиения X являются классами эквивалентности X по ~. Поскольку каждый элемент X принадлежит уникальной ячейке любого разбиения X , и поскольку каждая ячейка разбиения идентична классу эквивалентности X по ~, каждый элемент X принадлежит уникальному классу эквивалентности X по ~. Таким образом, существует естественная биекция между множеством всех отношений эквивалентности на X и множеством всех разбиений X.

Сравнение отношений эквивалентности

Если и являются двумя отношениями эквивалентности на одном и том же множестве , и подразумевает для всех , то говорят, что это более грубое отношение, чем , и это более тонкое отношение, чем . Эквивалентно, ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle a\approx b}$ ${\displaystyle a,b\in S,}$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \approx }$

• ${\displaystyle \sim }$тоньше, чем если бы каждый класс эквивалентности был подмножеством класса эквивалентности , и, таким образом, каждый класс эквивалентности был бы объединением классов эквивалентности . ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \sim }$
• ${\displaystyle \sim }$тоньше, чем если бы раздел, созданный с помощью, был уточнением раздела, созданного с помощью . ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \approx }$

Отношение эквивалентности равенства является самым тонким отношением эквивалентности на любом множестве, тогда как универсальное отношение, связывающее все пары элементов, является самым грубым.

Отношение « тоньше, чем » на совокупности всех отношений эквивалентности на фиксированном множестве само по себе является отношением частичного порядка, что делает совокупность геометрической решеткой . ^[8] ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \approx }$

Генерация отношений эквивалентности

• Для любого набора отношение эквивалентности по множеству всех функций может быть получено следующим образом. Две функции считаются эквивалентными, когда их соответствующие наборы неподвижных точек имеют одинаковую мощность , что соответствует циклам длины один в перестановке . ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle [X\to X]}$ ${\displaystyle X\to X}$
• Отношение эквивалентности на является ядром эквивалентности его сюръективной проекции ^{[9] Наоборот} , любая сюръекция между множествами определяет разбиение на его области, множество прообразов синглетонов в области определения . Таким образом, отношение эквивалентности над разбиением и проекция, область определения которой есть , являются тремя эквивалентными способами указания одного и того же. ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :X\to X/\sim .}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$
• Пересечение любого набора отношений эквивалентности над X (бинарные отношения, рассматриваемые как подмножество ) также является отношением эквивалентности. Это дает удобный способ создания отношения эквивалентности: для любого бинарного отношения R на X отношение эквивалентности, сгенерированное R, является пересечением всех отношений эквивалентности, содержащих R (также известное как наименьшее отношение эквивалентности, содержащее R ). Конкретно, R генерирует отношение эквивалентности ${\displaystyle X\times X}$

${\displaystyle a\sim b}$если существует натуральное число и элементы такие, что , , и или , для ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}\in X}$ ${\displaystyle a=x_{0}}$ ${\displaystyle b=x_{n}}$ ${\displaystyle x_{i-1}\mathrel {R} x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}\mathrel {R} x_{i-1}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$

Отношение эквивалентности, сгенерированное таким образом, может быть тривиальным. Например, отношение эквивалентности, сгенерированное любым полным порядком на X, имеет ровно один класс эквивалентности, сам X.

• Отношения эквивалентности могут создавать новые пространства путем «склеивания вещей». Пусть X — единичный декартов квадрат , а ~ — отношение эквивалентности на X, определенное как для всех и для всех Тогда фактор-пространство можно естественным образом отождествить ( гомеоморфизм ) с тором : возьмите квадратный лист бумаги, согните и склейте верхний и нижний край, чтобы получился цилиндр, затем согните получившийся цилиндр так, чтобы склеить два его открытых конца, и в результате получится тор. ${\displaystyle [0,1]\times [0,1],}$ ${\displaystyle (a,0)\sim (a,1)}$ ${\displaystyle a\in [0,1]}$ ${\displaystyle (0,b)\sim (1,b)}$ ${\displaystyle b\in [0,1],}$ ${\displaystyle X/\sim }$

Алгебраическая структура

Большая часть математики основана на изучении эквивалентностей и отношений порядка . Теория решеток охватывает математическую структуру отношений порядка. Несмотря на то, что отношения эквивалентности столь же повсеместны в математике, как и отношения порядка, алгебраическая структура эквивалентностей не так хорошо известна, как структура порядков. Первая структура опирается в первую очередь на теорию групп и, в меньшей степени, на теорию решеток, категорий и группоидов .

Теория групп

Так же, как отношения порядка основаны на упорядоченных множествах , множествах, замкнутых относительно попарного супремума и инфимума , отношения эквивалентности основаны на секционированных множествах , которые являются множествами, замкнутыми относительно биекций , сохраняющих структуру разбиения. Поскольку все такие биекции отображают класс эквивалентности на себя, такие биекции также известны как перестановки . Следовательно, группы перестановок (также известные как группы преобразований ) и связанное с ними понятие орбиты проливают свет на математическую структуру отношений эквивалентности.

Пусть '~' обозначает отношение эквивалентности над некоторым непустым множеством A , называемым универсумом или базовым множеством. Пусть G обозначает множество биективных функций над A , которые сохраняют структуру разбиения A , что означает, что для всех и Тогда справедливы следующие три связанные теоремы: ^[10] ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle g\in G,g(x)\in [x].}$

• ~ разбивает A на классы эквивалентности. (Это основная теорема об отношениях эквивалентности , упомянутая выше);
• При наличии разбиения A группа G является группой преобразований относительно композиции, орбиты которой являются ячейками разбиения; ^[14]
• Для данной группы преобразований G над A существует отношение эквивалентности ~ над A , классы эквивалентности которого являются орбитами G. ^{[15] [16]}

Подводя итог, можно сказать, что если задано отношение эквивалентности ~ над A , то существует группа преобразований G над A , орбиты которой являются классами эквивалентности A относительно ~.

Эта характеристика группы преобразований отношений эквивалентности принципиально отличается от того, как решетки характеризуют отношения порядка. Аргументы операций теории решеток meet и join являются элементами некоторого универсума A . Между тем, аргументы операций группы преобразований composition и inverse являются элементами множества биекций , A → A .

Переходя к группам в целом, пусть H — подгруппа некоторой группы G. Пусть ~ — отношение эквивалентности на G , такое, что Классы эквивалентности ~, также называемые орбитами действия H на G , являются правыми смежными классами H в G. Перестановка a и b дает левые смежные классы. ${\displaystyle a\sim b{\text{ if and only if }}ab^{-1}\in H.}$

Похожие мысли можно найти у Розена (2008: гл. 10).

Категории и группоиды

Пусть G — множество, и пусть «~» обозначает отношение эквивалентности над G. Тогда мы можем сформировать группоид , представляющий это отношение эквивалентности следующим образом. Объектами являются элементы G , и для любых двух элементов x и y из G существует единственный морфизм из x в y тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x\sim y.}$

Преимущества рассмотрения отношения эквивалентности как частного случая группоида включают в себя:

• В то время как понятия «свободного отношения эквивалентности» не существует, понятие свободного группоида на ориентированном графе существует. Таким образом, имеет смысл говорить о «представлении отношения эквивалентности», т. е. представлении соответствующего группоида;
• Связки групп, групповые действия , множества и отношения эквивалентности можно рассматривать как частные случаи понятия группоида, точка зрения, которая предполагает ряд аналогий;
• Во многих контекстах важны «факторинг» и, следовательно, соответствующие отношения эквивалентности, часто называемые конгруэнтностями . Это приводит к понятию внутреннего группоида в категории . ^[17]

Решетки

Отношения эквивалентности на любом множестве X , упорядоченные включением множеств , образуют полную решетку , называемую Con X по соглашению. Каноническое отображение ker  : X ^ X → Con X связывает моноид X ^ X всех функций на X и Con X. ker сюръективен , но не инъективен . Менее формально, отношение эквивалентности ker на X переводит каждую функцию f : X →  X в ее ядро ​​ker f . Аналогично , ker(ker) является отношением эквивалентности на X ^ X .

Отношения эквивалентности и математическая логика

Отношения эквивалентности являются готовым источником примеров или контрпримеров. Например, отношение эквивалентности с ровно двумя бесконечными классами эквивалентности является простым примером теории, которая является ω- категоричной , но не категоричной для любого большего кардинального числа .

Следствием теории моделей является то, что свойства, определяющие отношение, могут быть доказаны независимыми друг от друга (и, следовательно, необходимыми частями определения) тогда и только тогда, когда для каждого свойства можно найти примеры отношений, не удовлетворяющих данному свойству, но удовлетворяющих всем остальным свойствам. Следовательно, три определяющих свойства отношений эквивалентности могут быть доказаны как независимые друг от друга с помощью следующих трех примеров:

• Рефлексивный и транзитивный : отношение ≤ на N. Или любой предпорядок ;
• Симметрично и транзитивно : отношение R на N , определяемое как aRb ↔ ab ≠ 0. Или любое частичное отношение эквивалентности ;
• Рефлексивный и симметричный : отношение R на Z , определяемое как aRb ↔ « a − b делится по крайней мере на одно из чисел 2 или 3». Или любое отношение зависимости .

Свойства, определяемые в логике первого порядка , которыми может обладать или не обладать отношение эквивалентности, включают:

• Число классов эквивалентности конечно или бесконечно;
• Число классов эквивалентности равно (конечному) натуральному числу n ;
• Все классы эквивалентности имеют бесконечную мощность ;
• Количество элементов в каждом классе эквивалентности равно натуральному числу n .

Смотрите также

• Отношение эквивалентности Бореля
• Кластерный граф  – граф, созданный путем непересекающегося объединения полных графов.
• Класс сопряженности  — в теории групп класс эквивалентности по отношению сопряженности.
• Равнополочность (геометрия)  – свойство отрезков, имеющих одинаковую длину и одинаковое направление.
• Отношение гиперконечной эквивалентности
• Фактор по отношению эквивалентности  – Обобщение классов эквивалентности на теорию схем
• Топологическая сопряженность  – Понятие в топологии
• До  – Математическое утверждение единственности, за исключением эквивалентной структуры (отношения эквивалентности)

Примечания

1. Иногда композиция записывается как , или как ; в обоих случаях — это первое отношение, которое применяется. Для получения дополнительной информации см. статью о композиции отношений . ${\displaystyle SR\subseteq X\times Z}$ ${\displaystyle R;S}$ ${\displaystyle RS}$ ${\displaystyle R}$

1. Если: Дано, пусть выполняется с использованием тотальности, тогда по симметрии, следовательно, по транзитивности. — Только если: Дано, выбираем тогда по рефлексивности. ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle b\sim a}$ ${\displaystyle a\sim a}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b=a,}$ ${\displaystyle a\sim b}$

1. Weisstein, Eric W. "Класс эквивалентности". mathworld.wolfram.com . Получено 30-08-2020 .
2. "7.3: Классы эквивалентности". Mathematics LibreTexts . 2017-09-20 . Получено 2020-08-30 .
3. Халмос, Пол Ричард (1914). Наивная теория множеств . Нью-Йорк: Спрингер. п. 41. ИСБН 978-0-387-90104-6.
4. Гаррет Биркгофф и Сондерс Маклейн , 1999 (1967). Алгебра , 3-е изд., стр. 35, т. 19. Челси.
5. Уоллес, ДАР, 1998. Группы, кольца и поля . стр. 31, т. 8. Springer-Verlag.
6. Даммит, Д.С. и Фут, Р.М., 2004. Абстрактная алгебра , 3-е изд., стр. 3, Предложение 2. John Wiley & Sons.
7. Карел Хрбачек и Томас Йех (1999) Введение в теорию множеств , 3-е издание, страницы 29–32, Марсель Деккер
8. Биркгофф, Гарретт (1995), Теория решеток , Colloquium Publications, т. 25 (3-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 9780821810255. Раздел IV.9, Теорема 12, стр. 95
9. Гаррет Биркгофф и Сондерс Маклейн , 1999 (1967). Алгебра , 3-е изд., стр. 33, т. 18. Челси.
10. Rosen (2008), стр. 243–45. Менее ясен §10.3 Bas van Fraassen , 1989. Laws and Symmetry . Oxford Univ. Press.
11. Бас ван Фраассен, 1989. Законы и симметрия . Oxford Univ. Press: 246.
12. Уоллес, ДАР, 1998. Группы, кольца и поля . Springer-Verlag: 22, Th. 6.
13. Уоллес, ДАР, 1998. Группы, кольца и поля . Springer-Verlag: 24, Th. 7.
14. Доказательство . ^[11] Пусть композиция функций интерпретирует групповое умножение, а обратная функция интерпретирует обратную группу. Тогда G является группой относительно композиции, что означает, что и поскольку G удовлетворяет следующим четырем условиям: ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle g\in G,[g(x)]=[x],}$
    • G замкнут относительно композиции . Композиция любых двух элементов G существует, поскольку область и кодомен любого элемента G есть A. Более того, композиция биекций биективна ; ^[12]
    • Существование функции тождества . Функция тождества , I ( x ) = x , является очевидным элементом G ;
    • Существование обратной функции . Каждая биективная функция g имеет обратную g ⁻¹ , такую, что gg ⁻¹ = I ;
    • Композиция ассоциирует . f ( gh ) = ( fg ) h . Это справедливо для всех функций во всех областях. ^[13]
    Пусть f и g — любые два элемента G. В силу определения G , [ g ( f ( x ))] = [ f ( x )] и [ f ( x )] = [ x ], так что [ g ( f ( x ))] = [ x ]. Следовательно, G также является группой преобразований (и группой автоморфизмов ), поскольку композиция функций сохраняет разбиение ${\displaystyle A.\blacksquare }$
15. Уоллес, ДАР, 1998. Группы, кольца и поля . Springer-Verlag: 202, Th. 6.
16. Даммит, Д.С. и Фут, Р.М., 2004. Абстрактная алгебра , 3-е изд. John Wiley & Sons: 114, Предложение 2.
17. Борсе, Ф. и Джанелидзе, Г., 2001. Теории Галуа , Cambridge University Press, ISBN 0-521-80309-8 

Ссылки

• Браун, Рональд, 2006. Топология и группоиды. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8 . 
• Кастеллани, Э., 2003, «Симметрия и эквивалентность» в книге Брэдинг, Кэтрин и Э. Кастеллани, ред., Симметрии в физике: философские размышления . Cambridge Univ. Press: 422–433.
• Роберт Дилворт и Кроули, Питер, 1973. Алгебраическая теория решеток . Прентис Холл. В главе 12 обсуждается, как возникают отношения эквивалентности в теории решеток .
• Хиггинс, П.Дж., 1971. Категории и группоиды. Ван Ностранд. Загружаемый с 2005 года как переиздание TAC.
• Джон Рэндольф Лукас , 1973. Трактат о времени и пространстве . Лондон: Метуэн. Раздел 31.
• Розен, Джозеф (2008) Правила симметрии: как наука и природа основаны на симметрии . Springer-Verlag. В основном главы. 9,10.
• Рэймонд Уайлдер (1965) Введение в основы математики , 2-е издание, главы 2-8: Аксиомы, определяющие эквивалентность, стр. 48–50, John Wiley & Sons .

Внешние ссылки

• «Отношение эквивалентности», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Богомольный, А. , "Отношение эквивалентности" cut-the-knot . Доступ 1 сентября 2009 г.
• Отношение эквивалентности в PlanetMath
• Последовательность OEIS A231428 (Двоичные матрицы, представляющие отношения эквивалентности)