Заостренное пространство

Топологическое пространство с выделенной точкой

В математике точечное пространство или базовое пространство — это топологическое пространство с выделенной точкой, базовой точкой . Выделенная точка — это просто одна конкретная точка, выбранная из пространства и получившая имя, которое остается неизменным в ходе последующего обсуждения и отслеживается во время всех операций. ${\displaystyle x_{0},}$

Карты точечных пространств ( базированные карты ) являются непрерывными картами , сохраняющими базовые точки, т. е. карта между точечным пространством с базовой точкой и точечным пространством с базовой точкой является базированной картой, если она непрерывна относительно топологий и и если Это обычно обозначается ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=y_{0}.}$

${\displaystyle f:\left(X,x_{0}\right)\to \left(Y,y_{0}\right).}$

Точечные пространства играют важную роль в алгебраической топологии , особенно в теории гомотопий , где многие конструкции, такие как фундаментальная группа , зависят от выбора базовой точки.

Концепция точечного множества менее важна; в любом случае это случай точечного дискретного пространства .

Точечные пространства часто рассматриваются как частный случай относительной топологии , где подмножество является одной точкой. Таким образом, большая часть теории гомотопии обычно разрабатывается на точечных пространствах, а затем переносится на относительные топологии в алгебраической топологии .

Категория заостренных пространств

Класс всех точечных пространств образует категорию Top с базовой точкой, сохраняющей непрерывные отображения как морфизмы . Другой способ думать об этой категории — как о категории запятой , ( Top ) где — любое одноточечное пространство, а Top — категория топологических пространств . (Это также называется категорией кослайса , обозначаемой Top .) Объекты в этой категории — непрерывные отображения Такие отображения можно рассматривать как выбор базовой точки в Морфизмы в ( Top ) — это морфизмы в Top, для которых следующая диаграмма коммутирует : _{${\displaystyle \bullet }$} ${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$ ${\displaystyle \{\bullet \}}$ ${\displaystyle \{\bullet \}/}$ ${\displaystyle \{\bullet \}\to X.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$

Легко видеть, что коммутативность диаграммы эквивалентна условию сохранения базисных точек. ${\displaystyle f}$

Как заостренное пространство, является нулевым объектом в Top , в то время как в Top он является лишь конечным объектом . ${\displaystyle \{\bullet \}}$ _{${\displaystyle \{\bullet \}}$}

Существует забывчивый функтор Top Top , который «забывает», какая точка является базовой точкой. Этот функтор имеет левый сопряженный , который назначает каждому топологическому пространству непересекающееся объединение и одноточечное пространство, единственный элемент которого принимается за базовую точку. _{${\displaystyle \{\bullet \}}$} ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\bullet \}}$

Операции над заостренными пространствами

• Подпространство точечного пространства — это топологическое подпространство , которое имеет общую базовую точку с , так что отображение включения сохраняет базовую точку. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$
• Можно образовать фактор- пространство с точкой по любому отношению эквивалентности . Базовая точка фактор-пространства является образом базовой точки в под отображением фактор-пространства. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Можно образовать произведение двух точечных пространств как топологическое произведение, используя в качестве базовой точки. ${\displaystyle \left(X,x_{0}\right),}$ ${\displaystyle \left(Y,y_{0}\right)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$
• Копроизведение в категории пунктирных пространств — это сумма клиньев , которую можно рассматривать как «одноточечное объединение» пространств.
• Разбитое произведение двух точечных пространств по сути является частным прямого произведения и суммы клина. Мы хотели бы сказать, что разбитое произведение превращает категорию точечных пространств в симметричную моноидальную категорию с точечным 0-сферой в качестве единичного объекта, но это неверно для общих пространств: условие ассоциативности может не выполняться. Но это верно для некоторых более ограниченных категорий пространств, таких как компактно порожденные слабые хаусдорфовы .
• Приведенная подвеска заостренного пространства есть (с точностью до гомеоморфизма ) произведение сжатого пространства и заостренной окружности ${\displaystyle \Sigma X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{1}.}$
• Приведенная подвеска — это функтор из категории пунктированных пространств в себя. Этот функтор является левым сопряженным к функтору, переводящему пунктированное пространство в его пространство петель . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega X}$

Смотрите также

• Категория групп  – категория групп и групповые гомоморфизмыPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Категория метрических пространств  – математическая категория, объектами которой являются метрические пространства, а морфизмами – невозрастающие расстояния отображения.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Категория множеств  – Категория в математике, где объектами являются множества.
• Категория топологических пространств  – категория, объектами которой являются топологические пространства, а морфизмами – непрерывные отображения.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Категория топологических векторных пространств  – Топологическая категория

Ссылки

• Gamelin, Theodore W.; Greene, Robert Everist (1999) [1983]. Введение в топологию (второе изд.). Dover Publications . ISBN 0-486-40680-6.
• Mac Lane, Saunders (сентябрь 1998). Категории для работающего математика (второе издание). Springer. ISBN 0-387-98403-8.

• обсуждение на mathoverflow нескольких базовых точек и группоидов