дельта Кронекера

Математическая функция двух переменных; выводит 1, если они равны, 0 в противном случае.

В математике дельта Кронекера ( названная в честь Леопольда Кронекера ) — это функция двух переменных , обычно просто неотрицательных целых чисел . Функция равна 1, если переменные равны, и 0 в противном случае: или с использованием скобок Айверсона : Например, потому что , тогда как потому что . $${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j]\,}$$ ${\displaystyle \delta _{12}=0}$ ${\displaystyle 1\neq 2}$ ${\displaystyle \delta _{33}=1}$ ${\displaystyle 3=3}$

Дельта Кронекера естественным образом появляется во многих областях математики, физики, техники и информатики как средство компактного выражения ее определения, приведенного выше.

В линейной алгебре единичная матрица имеет элементы, равные дельте Кронекера: где и принимают значения , а скалярное произведение векторов можно записать как Здесь евклидовы векторы определяются как n -кортежи: и и последний шаг получается путем использования значений дельты Кронекера для сокращения суммирования по . ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ $${\displaystyle I_{ij}=\delta _{ij}}$$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle 1,2,\cdots ,n}$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})}$ ${\displaystyle j}$

Обычно i и j ограничиваются набором вида {1, 2, ..., n } или {0, 1, ..., n − 1} , но дельта Кронекера может быть определена на произвольном наборе.

Характеристики

Выполняются следующие уравнения: Поэтому матрицу δ можно рассматривать как единичную матрицу. $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}}$$

Другим полезным представлением является следующая форма: Ее можно вывести с помощью формулы геометрической прогрессии . $${\displaystyle \delta _{nm}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(n-m)}}$$

Альтернативная нотация

Использование скобки Айверсона : $${\displaystyle \delta _{ij}=[i=j].}$$

Часто используется запись с одним аргументом , что эквивалентно установке : ${\displaystyle \delta _{i}}$ ${\displaystyle j=0}$ $${\displaystyle \delta _{i}=\delta _{i0}={\begin{cases}0,&{\text{if }}i\neq 0\\1,&{\text{if }}i=0\end{cases}}}$$

В линейной алгебре его можно рассматривать как тензор и записывать . Иногда дельта Кронекера называется тензором подстановки. ^[1] ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

Цифровая обработка сигнала

Функция единичной выборки

При изучении цифровой обработки сигналов (ЦОС) функция единичной выборки представляет собой частный случай двумерной дельта-функции Кронекера , где индексы Кронекера включают число ноль, и где один из индексов равен нулю. В этом случае: ${\displaystyle \delta [n]}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ $${\displaystyle \delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}~~~{\text{where}}-\infty <n<\infty }$$

Или, в более общем плане, где: $${\displaystyle \delta [n-k]\equiv \delta [k-n]\equiv \delta _{nk}\equiv \delta _{kn}{\text{where}}-\infty <n<\infty ,-\infty <k<\infty }$$

Однако это лишь частный случай. В тензорном исчислении более распространено нумеровать базисные векторы в определенном измерении, начиная с индекса 1, а не с индекса 0. В этом случае связь не существует, и фактически функция Кронекера и функция единичной выборки являются разными функциями, которые перекрываются в конкретном случае, когда индексы включают число 0, количество индексов равно 2, а один из индексов имеет значение ноль. ${\displaystyle \delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}}$

Хотя дискретная единичная функция выборки и дельта-функция Кронекера используют одну и ту же букву, они различаются следующим образом. Для дискретной единичной функции выборки более общепринято помещать один целочисленный индекс в квадратные скобки; в отличие от этого дельта-функция Кронекера может иметь любое количество индексов. Кроме того, цель дискретной единичной функции выборки отличается от дельта-функции Кронекера. В ЦОС дискретная единичная функция выборки обычно используется в качестве входной функции для дискретной системы для обнаружения системной функции системы, которая будет получена в качестве выхода системы. Напротив, типичная цель дельта-функции Кронекера заключается в фильтрации членов из соглашения о суммировании Эйнштейна .

Функция дискретной единичной выборки проще определяется как: $${\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1&n=0\\0&n{\text{ is another integer}}\end{cases}}}$$

Кроме того, дельта-функцию Дирака часто путают с дельта-функцией Кронекера и функцией единичной выборки. Дельта-функция Дирака определяется как: $${\displaystyle {\begin{cases}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\delta (t)dt=1&\forall \varepsilon >0\\\delta (t)=0&\forall t\neq 0\end{cases}}}$$

В отличие от дельта-функции Кронекера и функции единичной выборки , дельта-функция Дирака не имеет целочисленного индекса, она имеет единственное непрерывное нецелое значение t . ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta [n]}$ ${\displaystyle \delta (t)}$

Чтобы еще больше запутать ситуацию, иногда используют термин «функция единичного импульса» для обозначения либо дельта-функции Дирака , либо функции единичной выборки . ${\displaystyle \delta (t)}$ ${\displaystyle \delta [n]}$

Известные свойства

Дельта Кронекера имеет так называемое свойство просеивания , что для : и если целые числа рассматриваются как пространство меры , наделенное мерой подсчета , то это свойство совпадает с определяющим свойством дельта -функции Дирака и фактически дельта Дирака была названа в честь дельта Кронекера из-за этого аналогичного свойства. ^[2] В обработке сигналов обычно контекст (дискретное или непрерывное время) отличает «функции» Кронекера и Дирака. И по соглашению, как правило, указывает на непрерывное время (Дирак), тогда как аргументы вроде , , , , , и обычно зарезервированы для дискретного времени (Кронекер). Другая распространенная практика заключается в представлении дискретных последовательностей с помощью квадратных скобок; таким образом: . Дельта Кронекера не является результатом прямой выборки дельта-функции Дирака. ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ij}=a_{j}.}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)\,dx=f(y),}$$ ${\displaystyle \delta (t)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \delta [n]}$

Дельта Кронекера образует мультипликативный элемент тождества алгебры инцидентности . ^[3]

Связь с дельта-функцией Дирака

В теории вероятностей и статистике дельта-функция Кронекера и дельта-функция Дирака могут использоваться для представления дискретного распределения . Если носитель распределения состоит из точек с соответствующими вероятностями , то функция массы вероятности распределения может быть записана с использованием дельта-функции Кронекера как ${\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{1},\cdots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ $${\displaystyle p(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta _{xx_{i}}.}$$

Эквивалентно, функция плотности вероятности распределения может быть записана с использованием дельта-функции Дирака как ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).}$$

При определенных условиях дельта Кронекера может возникнуть из выборки дельта-функции Дирака. Например, если дельта-импульс Дирака возникает точно в точке выборки и идеально фильтруется по низким частотам (с отсечкой на критической частоте) согласно теореме о выборке Найквиста–Шеннона , результирующий дискретный по времени сигнал будет дельта-функцией Кронекера.

Обобщения

Если рассматривать его как типовой тензор , то тензор Кронекера можно записать с ковариантным индексом и контравариантным индексом : ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle \delta _{j}^{i}={\begin{cases}0&(i\neq j),\\1&(i=j).\end{cases}}}$$

Этот тензор представляет:

• Тождественное отображение (или матрица тождества), рассматриваемое как линейное отображение или ${\displaystyle V\to V}$ ${\displaystyle V^{*}\to V^{*}}$
• След или тензорная контракция , рассматриваемая как отображение ${\displaystyle V^{*}\otimes V\to K}$
• Карта , представляющая скалярное умножение как сумму внешних произведений . ${\displaystyle K\to V^{*}\otimes V}$

TheОбобщенная дельта Кронекера илимногоиндексная дельта Кронекерапорядкаявляется типовымтензором, который полностьюантисимметриченкак по своимверхним индексам, так и по своимнижним индексам. ${\displaystyle 2p}$ ${\displaystyle (p,p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Используются два определения, которые отличаются на фактор . Ниже представлена ​​версия, в которой ненулевые компоненты масштабируются до . Вторая версия имеет ненулевые компоненты, которые являются , с последующими изменениями масштабных коэффициентов в формулах, такими как масштабные коэффициенты в § Свойства обобщенной дельты Кронекера ниже исчезают. ^[4] ${\displaystyle p!}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm 1/p!}$ ${\displaystyle 1/p!}$

Определения обобщенной дельты Кронекера

В терминах индексов обобщенная дельта Кронекера определяется как: ^{[5] [6]} $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{cases}{\phantom {-}}1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an even permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\-1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an odd permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\{\phantom {-}}0&\quad {\text{in all other cases}}.\end{cases}}}$$

Пусть — симметрическая группа степени , тогда: ${\displaystyle \mathrm {S} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\sigma (p)}}.}$$

Использование антисимметризации : $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=p!\delta _{[\nu _{1}}^{\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}]}^{\mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1}}^{[\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}]}.}$$

В терминах определителя : ^[7] ${\displaystyle p\times p}$ $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{vmatrix}\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{1}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{p}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\end{vmatrix}}.}$$

Используя разложение Лапласа ( формулу Лапласа ) определителя, его можно определить рекурсивно : ^[8] где карон, , указывает индекс, который пропущен в последовательности. $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=\sum _{k=1}^{p}(-1)^{p+k}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots {\check {\nu }}_{k}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k}\dots {\check {\mu }}_{p}}\\&=\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p-1}}-\sum _{k=1}^{p-1}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{k-1}\,\nu _{p}\,\nu _{k+1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k-1}\,\mu _{k}\,\mu _{k+1}\dots \mu _{p-1}},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\check {}}}$

Когда (размерность векторного пространства), в терминах символа Леви-Чивиты : В более общем смысле, для , используя соглашение Эйнштейна о суммировании : ${\displaystyle p=n}$ $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}=\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\,.}$$ ${\displaystyle m=n-p}$ $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\tfrac {1}{m!}}\varepsilon ^{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\mu _{1}\dots \mu _{p}}\varepsilon _{\kappa _{1}\dots \kappa _{m}\nu _{1}\dots \nu _{p}}\,.}$$

Сокращения обобщенной дельты Кронекера

Сокращение дельты Кронекера зависит от размерности пространства. Например, где d — размерность пространства. Из этого соотношения полная сокращенная дельта получается как Обобщение предыдущих формул ^{[ необходима цитата ]} $${\displaystyle \delta _{\mu _{1}}^{\nu _{1}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=(d-1)\delta _{\nu _{2}}^{\mu _{2}},}$$ $${\displaystyle \delta _{\mu _{1}\mu _{2}}^{\nu _{1}\nu _{2}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=2d(d-1).}$$ $${\displaystyle \delta _{\mu _{1}\dots \mu _{n}}^{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=n!{\frac {(d-p+n)!}{(d-p)!}}\delta _{\nu _{n+1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{n+1}\dots \mu _{p}}.}$$

Свойства обобщенной дельты Кронекера

Обобщенную дельту Кронекера можно использовать для антисимметризации : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}.\end{aligned}}}$$

Из приведенных выше уравнений и свойств антисимметричных тензоров можно вывести свойства обобщенной дельты Кронекера: которые являются обобщенной версией формул, записанных в § Свойства . Последняя формула эквивалентна формуле Коши–Бине . $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=\delta _{\kappa _{1}\dots \kappa _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}},\end{aligned}}}$$

Уменьшение порядка путем суммирования индексов может быть выражено тождеством ^[9] $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}={\frac {(n-s)!}{(n-p)!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}}.}$$

Используя как правило суммирования для данного случая , так и соотношение с символом Леви-Чивиты, выводится правило суммирования символа Леви-Чивиты : 4D-версия последнего соотношения появляется в спинорном подходе Пенроуза к общей теории относительности ^[10] , который он позже обобщил, разрабатывая диаграммы Эйткена, ^[11] чтобы он стал частью техники графической нотации Пенроуза . ^[12] Кроме того, это соотношение широко используется в теориях S-дуальности , особенно когда оно записано на языке дифференциальных форм и дуальностей Ходжа . ${\displaystyle p=n}$ $${\displaystyle \delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\frac {1}{(n-p)!}}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{p}\,\kappa _{p+1}\dots \kappa _{n}}.}$$

Интегральные представления

Для любого целого числа , используя стандартное вычисление остатка , мы можем записать интегральное представление для дельты Кронекера как интеграл ниже, где контур интеграла идет против часовой стрелки вокруг нуля. Это представление также эквивалентно определенному интегралу путем поворота в комплексной плоскости. ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=1}z^{x-n-1}\,dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\varphi }\,d\varphi }$$

Гребень Кронекера

Функция гребня Кронекера с периодом определяется (с использованием нотации DSP ) как: где и — целые числа. Таким образом, гребень Кронекера состоит из бесконечной серии единичных импульсов, отстоящих друг от друга на N единиц, и включает единичный импульс в нуле. Его можно считать дискретным аналогом гребня Дирака . ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \Delta _{N}[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kN],}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$

Интеграл Кронекера

Дельта Кронекера также называется степенью отображения одной поверхности в другую. ^[13] Предположим, что отображение происходит из поверхности S _uvw в S _xyz , которые являются границами областей, R _uvw и R _xyz, которые просто связаны взаимно-однозначным соответствием. В этой структуре, если s и t являются параметрами для S _uvw , и S _uvw в S _uvw каждый ориентирован внешней нормалью n : в то время как нормаль имеет направление $${\displaystyle u=u(s,t),\quad v=v(s,t),\quad w=w(s,t),}$$ $${\displaystyle (u_{s}\mathbf {i} +v_{s}\mathbf {j} +w_{s}\mathbf {k} )\times (u_{t}\mathbf {i} +v_{t}\mathbf {j} +w_{t}\mathbf {k} ).}$$

Пусть x = x ( u , v , w ) , y = y ( u , v , w ) , z = z ( u , v , w ) определены и гладкие в области , содержащей S _uvw , и пусть эти уравнения определяют отображение S _uvw на S _xyz . Тогда степень δ отображения равна ⁠1/4π⁠ умножить на телесный угол изображения S точки S _uvw относительно внутренней точки S _xyz , O. Если O является началом области R _xyz , то степень δ задается интегралом: $${\displaystyle \delta ={\frac {1}{4\pi }}\iint _{R_{st}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}{\begin{vmatrix}x&y&z\\{\frac {\partial x}{\partial s}}&{\frac {\partial y}{\partial s}}&{\frac {\partial z}{\partial s}}\\{\frac {\partial x}{\partial t}}&{\frac {\partial y}{\partial t}}&{\frac {\partial z}{\partial t}}\end{vmatrix}}\,ds\,dt.}$$

Смотрите также

• Мера Дирака
• Функция индикатора
• Символ Леви-Чивиты
• метрика Минковского
• символ 'т Хоофта
• Функция единицы
• XNOR-ворота

Ссылки

1. Троубридж, Дж. Х. (1998). «О методике измерения турбулентного напряжения сдвига в присутствии поверхностных волн». Журнал атмосферных и океанических технологий . 15 (1): 291. Bibcode : 1998JAtOT..15..290T. doi : 10.1175/1520-0426(1998)015<0290:OATFMO>2.0.CO;2 .
2. Дирак, Поль (1930). Принципы квантовой механики (1-е изд.) . Oxford University Press. ISBN 9780198520115.
3. Шпигель, Юджин; О'Доннелл, Кристофер Дж. (1997), Incidence Algebras , Pure and Applied Mathematics, т. 206, Марсель Деккер, ISBN 0-8247-0036-8.
4. Поуп, Кристофер (2008). «Геометрия и теория групп» (PDF) .
5. Франкель, Теодор (2012). Геометрия физики: Введение (3-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 9781107602601.
6. Агарвал, Д.К. (2007). Тензорное исчисление и риманова геометрия (22-е изд.). Krishna Prakashan Media.^{[ ISBN отсутствует ]}
7. Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1989). Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы . Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65840-6.
8. Рекурсивное определение требует первого случая, который может быть принят как δ = 1 для p = 0 или, в качестве альтернативы, δ^μ
   _ν= δ^μ
   _νдля p = 1 (обобщенная дельта в терминах стандартной дельты).
9. Хассани, Садри (2008). Математические методы: для студентов физики и смежных дисциплин (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09503-5.
10. Пенроуз, Роджер (июнь 1960 г.). «Спинорный подход к общей теории относительности». Annals of Physics . 10 (2): 171–201. Bibcode : 1960AnPhy..10..171P. doi : 10.1016/0003-4916(60)90021-X.
11. Эйткен, Александр Крейг (1958). Определители и матрицы . Великобритания: Оливер и Бойд.
12. Роджер Пенроуз , «Применение отрицательных размерных тензоров», в книге «Комбинаторная математика и ее приложения» , Academic Press (1971).
13. Каплан, Вилфред (2003). Продвинутый анализ. Pearson Education. стр. 364. ISBN 0-201-79937-5.