Группы Томпсона

Три группы

В математике группы Томпсона (также называемые группами Томпсона , группами-бродягами или группами-хамелеонами ) — это три группы , обычно обозначаемые , которые были введены Ричардом Томпсоном в некоторых неопубликованных рукописных заметках в 1965 году как возможный контрпример к гипотезе фон Неймана . Из этих трех F является наиболее широко изученной и иногда упоминается как группа Томпсона или группа Томпсона . ${\displaystyle F\subseteq T\subseteq V}$

Группы Томпсона, и F в частности, обладают набором необычных свойств, которые сделали их контрпримерами ко многим общим гипотезам в теории групп. Все три группы Томпсона бесконечны, но конечно представлены . Группы T и V являются (редкими) примерами бесконечных, но конечно представленных простых групп . Группа F не является простой, но ее производная подгруппа [ F , F ] является простой, а фактор-группа F по ее производной подгруппе является свободной абелевой группой ранга 2. F полностью упорядочена , имеет экспоненциальный рост и не содержит подгруппы , изоморфной свободной группе ранга 2.

Предполагается, что F не является аменабельным , и, следовательно, это ещё один контрпример к давней, но недавно опровергнутой гипотезе фон Неймана для конечно представленных групп: известно, что F не является элементарно аменабельным .

Хигман (1974) ввел бесконечное семейство конечно представленных простых групп, включая группу Томпсона V как частный случай.

Презентации

Конечное представление F задается следующим выражением :

${\displaystyle \langle A,B\mid \ [AB^{-1},A^{-1}BA]=[AB^{-1},A^{-2}BA^{2}]=\mathrm {id} \rangle }$

где [ x , y ] — обычный коммутатор теории групп , xyx ⁻¹ y ⁻¹ .

Хотя F имеет конечное представление с 2 образующими и 2 отношениями, его проще и интуитивно описать с помощью бесконечного представления:

${\displaystyle \langle x_{0},x_{1},x_{2},\dots \ \mid \ x_{k}^{-1}x_{n}x_{k}=x_{n+1}\ \mathrm {for} \ k<n\rangle .}$

Два представления связаны соотношением x ₀ = A , x _n = A ^{1− n} BA ^{n −1} для n >0.

Другие представления

Группа Томпсона F генерируется такими операциями над бинарными деревьями. Здесь L и T — узлы, но A, B и R можно заменить более общими деревьями.

Группа F также имеет реализации в терминах операций над упорядоченными корневыми бинарными деревьями и как подгруппа кусочно-линейных гомеоморфизмов единичного интервала, которые сохраняют ориентацию и чьи недифференцируемые точки являются двоично-рациональными числами , а чьи наклоны являются всеми степенями 2.

Группа F также может рассматриваться как действующая на единичной окружности путем идентификации двух конечных точек единичного интервала, и тогда группа T является группой автоморфизмов единичной окружности, полученной путем добавления гомеоморфизма x → x +1/2 mod 1 к F . На бинарных деревьях это соответствует обмену двух деревьев ниже корня. Группа V получается из T путем добавления разрывного отображения, которое фиксирует точки полуоткрытого интервала [0,1/2) и обменивает [1/2,3/4) и [3/4,1) очевидным образом. На бинарных деревьях это соответствует обмену двух деревьев ниже правого потомка корня (если он существует).

Группа Томпсона F — это группа сохраняющих порядок автоморфизмов свободной алгебры Йонссона–Тарского с одной образующей.

Податливость

Гипотеза Томпсона о том, что F не является аменабельным, была далее популяризирована Р. Геогеганом — см. также статью Кэннона–Флойда–Пэрри, цитируемую в ссылках ниже. Ее текущий статус открыт: Э. Шавгулидзе ^[1] опубликовал статью в 2009 году, в которой он утверждал, что доказал, что F является аменабельным, но была обнаружена ошибка, как объясняется в обзоре MR .

Известно, что F не является элементарно аменабельным , см. теорему 4.10 в Кэнноне–Флойде–Парри.

Если F не является аменабельной, то это будет еще одним контрпримером к ныне опровергнутой гипотезе фон Неймана для конечно представленных групп, которая утверждает, что конечно представленная группа является аменабельной тогда и только тогда, когда она не содержит копию свободной группы ранга 2.

Связи с топологией

Группа F была переоткрыта топологами по крайней мере дважды в 1970-х годах. В статье, которая была опубликована гораздо позже, но в то время была в обращении как препринт, П. Фрейд и А. Хеллер ^[2] показали, что сдвиговое отображение на F индуцирует нерасщепляемый гомотопический идемпотент на пространстве Эйленберга–Маклейна K(F,1) и что это универсально в интересном смысле. Это подробно объясняется в книге Геогегана (см. ссылки ниже). Независимо от них Дж. Дыдак и П. Минц ^[3] создали менее известную модель F в связи с проблемой в теории форм.

В 1979 году Р. Геогеган выдвинул четыре гипотезы о F : (1) F имеет тип FP _∞ ; (2) Все гомотопические группы F на бесконечности тривиальны; (3) F не имеет неабелевых свободных подгрупп; (4) F неаменабельна. (1) было доказано К. С. Брауном и Р. Геогеганом в сильной форме: существует K(F,1) с двумя ячейками в каждом положительном измерении. ^[4] (2) было также доказано Брауном и Геогеганом ^[5] в том смысле, что было показано, что когомологии H*(F,ZF) тривиальны; поскольку предыдущая теорема М. Михалика ^[6] подразумевает, что F односвязна на бесконечности, а из сформулированного результата следует, что все гомологии на бесконечности равны нулю, следует утверждение о гомотопических группах. (3) было доказано М. Брином и К. Сквайером. ^[7] Статус (4) обсуждается выше.

Неизвестно, удовлетворяет ли F гипотезе Фаррелла–Джонса . Неизвестно даже, является ли группа Уайтхеда F (см. Кручение Уайтхеда ) или группа проективных классов F (см. Препятствие конечности Уолла ) тривиальными, хотя легко показать, что F удовлетворяет сильной гипотезе Басса.

Д. Фарли ^[8] показал, что F действует как палубные преобразования на локально конечном CAT(0) кубическом комплексе (обязательно бесконечной размерности). Следствием этого является то, что F удовлетворяет гипотезе Баума–Конна .

Смотрите также

• Группа Хигмана
• Некоммутативная криптография

Ссылки

1. Шавгулидзе, Э. (2009), «Группа Томпсона F аменабельна», Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics , 12 (2): 173–191, doi :10.1142/s0219025709003719, MR  2541392
2. Фрейд, Питер; Хеллер, Алекс (1993), «Расщепление гомотопических идемпотентов», Журнал чистой и прикладной алгебры , 89 (1–2): 93–106, doi : 10.1016/0022-4049(93)90088-b , MR  1239554
3. Дыдак, Ежи; Минц, Петр (1977), «Простое доказательство того, что точечные FANR-пространства являются регулярными фундаментальными ретрактами ANR», Bulletin de l'Académie Polonaise des Science, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques , 25 : 55–62, MR  0442918
4. Браун, К. С.; Геогеган, Росс (1984), Бесконечномерная группа FP_infinity без кручения , т. 77, стр. 367–381, Bibcode : 1984InMat..77..367B, doi : 10.1007/bf01388451, MR  0752825
5. Браун, К. С.; Геогеган, Росс (1985), «Когомологии со свободными коэффициентами фундаментальной группы графа групп», Commentarii Mathematici Helvetici , 60 : 31–45, doi :10.1007/bf02567398, MR  0787660
6. Михалик, М. (1985), «Концы групп с целыми числами в качестве частного», Журнал чистой и прикладной алгебры , 35 : 305–320, doi :10.1016/0022-4049(85)90048-9, MR  0777262
7. Брин, Мэтью.; Сквайер, Крейг (1985), «Группы кусочно-линейных гомеоморфизмов действительной прямой», Inventiones Mathematicae , 79 (3): 485–498, Bibcode : 1985InMat..79..485B, doi : 10.1007/bf01388519, MR  0782231
8. Фарли, Д. (2003), «Конечность и CAT(0) свойства групп диаграмм», Топология , 42 (5): 1065–1082, doi :10.1016/s0040-9383(02)00029-0, MR  1978047

• Кэннон, JW ; Флойд, штат Вашингтон ; Парри, WR (1996), «Вводные заметки о группах Ричарда Томпсона» (PDF) , L'Enseignement Mathématique , IIe Série, 42 (3): 215–256, ISSN  0013-8584, MR  1426438
• Кэннон, Дж. У.; Флойд, У. Дж. (сентябрь 2011 г.). «ЧТО ТАКОЕ...группа Томпсона?» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 58 (8): 1112–1113. ISSN  0002-9920 . Получено 27 декабря 2011 г. .
• Geoghegan, Ross (2008), Топологические методы в теории групп , Graduate Texts in Mathematics , т. 243, Springer Verlag , arXiv : math/0601683 , doi :10.1142/S0129167X07004072, ISBN 978-0-387-74611-1, г-н  2325352
• Хигман, Грэм (1974), Конечно представленные бесконечные простые группы, Заметки о чистой математике, т. 8, Кафедра чистой математики, Кафедра математики, IAS Австралийский национальный университет, Канберра, ISBN 978-0-7081-0300-5, МР  0376874