Группа изометрии

Группа автоморфизмов метрического пространства или псевдоевклидова пространства

В математике группа изометрий метрического пространства — это множество всех биективных изометрий (то есть биективных, сохраняющих расстояние отображений ) метрического пространства на себя, с композицией функций в качестве групповой операции. ^[1] Ее единичным элементом является единичная функция . ^[2] Элементы группы изометрий иногда называют движениями пространства.

Каждая группа изометрий метрического пространства является подгруппой изометрий. Она представляет в большинстве случаев возможный набор симметрий объектов/фигур в пространстве или функций, определенных на пространстве. См. группу симметрии .

Дискретная группа изометрий — это группа изометрий, такая что для каждой точки пространства множество образов точки при изометриях является дискретным множеством .

В псевдоевклидовом пространстве метрика заменяется изотропной квадратичной формой ; преобразования, сохраняющие эту форму, иногда называются «изометриями», а их совокупность, как говорят, образует группу изометрий псевдоевклидова пространства.

Примеры

• Группа изометрий подпространства метрического пространства , состоящего из точек разностороннего треугольника, — это тривиальная группа . Аналогичное пространство для равнобедренного треугольника — это циклическая группа второго порядка , C ₂ . Аналогичное пространство для равностороннего треугольника — это D ₃ , диэдральная группа шестого порядка .
• Группа изометрий двумерной сферы — это ортогональная группа O(3). ^[3]

• Группа изометрий n -мерного евклидова пространства — это евклидова группа E( n ). ^[4]
• Группа изометрий модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости — это проективная специальная унитарная группа PSU(1,1) .
• Группа изометрий модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической плоскости — PSL(2,R) .
• Группа изометрий пространства Минковского — это группа Пуанкаре . ^[5]

• Римановы симметрические пространства являются важными случаями, где группа изометрий является группой Ли .

Смотрите также

• Группа точек
• Точечные группы в двух измерениях
• Точечные группы в трех измерениях
• Неподвижные точки групп изометрий в евклидовом пространстве

Ссылки

1. Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Graduate Texts in Mathematics (Третье изд.), Springer, стр. 271, ISBN 978-0-387-72828-5.
2. Бураго, Дмитрий; Бураго, Юрий; Иванов, Сергей (2001), Курс метрической геометрии, Graduate Studies in Mathematics , т. 33, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 75, ISBN 0-8218-2129-6, г-н  1835418.
3. Бергер, Марсель (1987), Геометрия. II, Universitext, Берлин: Springer-Verlag, стр. 281, doi :10.1007/978-3-540-93816-3, ISBN 3-540-17015-4, МР  0882916.
4. Олвер, Питер Дж. (1999), Классическая теория инвариантов, Лондонское математическое общество, студенческие тексты, т. 44, Кембридж: Cambridge University Press, стр. 53, doi : 10.1017/CBO9780511623660, ISBN 0-521-55821-2, г-н  1694364.
5. Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. В.; Видеманн, Армин (2010), Введение в суперсимметрию, World Scientific Lecture Notes in Physics, т. 80 (2-е изд.), Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., стр. 22, doi : 10.1142/7594, ISBN 978-981-4293-42-6, МР  2681020.