Групповое кольцо

Множество функций с конечным носителем из группы в кольцо

В алгебре групповое кольцо — это свободный модуль и в то же время кольцо , построенное естественным образом из любого данного кольца и любой данной группы . Как у свободного модуля, его кольцо скаляров является заданным кольцом, а его базисом является множество элементов данной группы. Как кольцо, его закон сложения является законом свободного модуля, а его умножение расширяет «по линейности» данный групповой закон на базисе. Менее формально, групповое кольцо представляет собой обобщение данной группы путем присоединения к каждому элементу группы «весового коэффициента» из данного кольца.

Если кольцо коммутативно, то групповое кольцо также называется групповой алгеброй , поскольку оно действительно является алгеброй над данным кольцом. Групповая алгебра над полем имеет дополнительную структуру алгебры Хопфа ; в этом случае она называется групповой алгеброй Хопфа .

Аппарат групповых колец особенно полезен в теории представлений групп .

Определение

Пусть группа, записанная мультипликативно, и пусть кольцо. Групповое кольцо над , которое мы будем обозначать через или просто , представляет собой множество отображений конечной поддержки ( отлично от нуля только для конечного числа элементов ), где модульное скалярное произведение скаляра в и отображения определяется как отображение , а группа модулей представляет собой сумму двух отображений и определяется как отображение . Чтобы превратить аддитивную группу в кольцо, мы определяем произведение и как отображение ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle f:G\to R}$ ${\displaystyle f(g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\mapsto \alpha \cdot f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x\mapsto f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle x\mapsto \sum _{uv=x}f(u)g(v)=\sum _{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).}$

Суммирование допустимо, поскольку и имеют конечную поддержку, а аксиомы колец легко проверяются. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Используются некоторые вариации в обозначениях и терминологии. В частности, такие отображения, как иногда ^[1], записываются как так называемые «формальные линейные комбинации элементов с коэффициентами из »: ${\displaystyle f:G\to R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \sum _{g\in G}f(g)g,}$

или просто

${\displaystyle \sum _{g\in G}f_{g}g.}$^[2]

Обратите внимание, что если кольцо на самом деле является полем , то модульная структура группового кольца на самом деле является векторным пространством над . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle RG}$ ${\displaystyle K}$

Примеры

1. Пусть G = C ₃ , циклическая группа порядка 3, с генератором и единицей 1 _G . Элемент r из C [ G ] можно записать как ${\displaystyle a}$

${\displaystyle r=z_{0}1_{G}+z_{1}a+z_{2}a^{2}\,}$

где z0 , z1 и _z2 находятся в C , комплексных числах _{. _} Это то же самое, что и кольцо полиномов от переменной , т.е. C [ G ] изоморфно кольцу C [ ]/ . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{3}=a^{0}=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a^{3}-1)}$

Записав другой элемент s как , их сумма равна ${\displaystyle s=w_{0}1_{G}+w_{1}a+w_{2}a^{2}}$

${\displaystyle r+s=(z_{0}+w_{0})1_{G}+(z_{1}+w_{1})a+(z_{2}+w_{2})a^{2}\,}$

и их продукт

${\displaystyle rs=(z_{0}w_{0}+z_{1}w_{2}+z_{2}w_{1})1_{G}+(z_{0}w_{1}+z_{1}w_{0}+z_{2}w_{2})a+(z_{0}w_{2}+z_{2}w_{0}+z_{1}w_{1})a^{2}.}$

Обратите внимание, что единичный элемент 1 _G группы G индуцирует каноническое вложение кольца коэффициентов (в данном случае C ) в C [ G ]; однако, строго говоря , мультипликативный единичный элемент C [ G ] равен 1⋅1 _G , где первая 1 происходит от C , а вторая от G. Аддитивный единичный элемент равен нулю.

Когда G — некоммутативная группа, нужно быть осторожным, чтобы сохранить порядок элементов группы (и не коммутировать их случайно) при умножении членов.

2. Кольцо полиномов Лорана над кольцом R является групповым кольцом бесконечной циклической группы Z над R .

3. Пусть Q — группа кватернионов с элементами . Рассмотрим групповое кольцо R Q , где R — множество действительных чисел. Произвольный элемент этого группового кольца имеет вид ${\displaystyle \{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}}$

${\displaystyle x_{1}\cdot e+x_{2}\cdot {\bar {e}}+x_{3}\cdot i+x_{4}\cdot {\bar {i}}+x_{5}\cdot j+x_{6}\cdot {\bar {j}}+x_{7}\cdot k+x_{8}\cdot {\bar {k}}}$

где действительное число. ${\displaystyle x_{i}}$

Умножение, как и в любом другом групповом кольце, определяется на основе групповой операции. Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big (}3\cdot e+{\sqrt {2}}\cdot i{\big )}\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)&=(3\cdot e)\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)+({\sqrt {2}}\cdot i)\left({\frac {1}{2}}\cdot {\bar {j}}\right)\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\big (}(e)({\bar {j}}){\big )}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\big (}(i)({\bar {j}}){\big )}\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\bar {j}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\bar {k}}\end{aligned}}.}$

Обратите внимание , что R Q — это не то же самое, что тело кватернионов над R. Это связано с тем, что тело кватернионов удовлетворяет дополнительным соотношениям в кольце, например , тогда как в групповом кольце R Q не равно . Точнее, групповое кольцо R Q имеет размерность 8 как вещественное векторное пространство , а тело кватернионов имеет размерность 4 как вещественное векторное пространство . ${\displaystyle -1\cdot i=-i}$ ${\displaystyle -1\cdot i}$ ${\displaystyle 1\cdot {\bar {i}}}$

4. Другой пример неабелева группового кольца — где — симметрическая группа из трёх букв. Это не область целостности, поскольку мы имеем где элемент представляет собой транспозицию , меняющую местами 1 и 2. Следовательно, групповое кольцо не обязательно должно быть областью целостности, даже если базовое кольцо является областью целостности. ${\displaystyle \mathbb {Z} [\mathbb {S} _{3}]}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{3}}$ ${\displaystyle [1-(12)]*[1+(12)]=1-(12)+(12)-(12)(12)=1-1=0}$ ${\displaystyle (12)\in \mathbb {S} _{3}}$

Некоторые основные свойства

Используя 1 для обозначения мультипликативной идентичности кольца R и обозначая групповую единицу через 1 _G , кольцо R [ G ] содержит подкольцо, изоморфное R , а его группа обратимых элементов содержит подгруппу, изоморфную G. Для рассмотрения индикаторной функции {1 _G }, которая представляет собой вектор f , определенный формулой

${\displaystyle f(g)=1\cdot 1_{G}+\sum _{g\not =1_{G}}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{1_{G}\}}(g)={\begin{cases}1&g=1_{G}\\0&g\neq 1_{G}\end{cases}},}$

множество всех скалярных кратных f является подкольцом кольца R [ G ] , изоморфным R. И если мы сопоставим каждый элемент s группы G с индикаторной функцией { s }, которая представляет собой вектор f, определенный формулой

${\displaystyle f(g)=1\cdot s+\sum _{g\not =s}0\cdot g=\mathbf {1} _{\{s\}}(g)={\begin{cases}1&g=s\\0&g\neq s\end{cases}}}$

результирующее отображение является гомоморфизмом инъективной группы (относительно умножения, а не сложения в R [ G ]).

Если R и G оба коммутативны (т. е. R коммутативен, а G — абелева группа ), R [ G ] коммутативен.

Если H — подгруппа группы G , то R [ H ] — подкольцо группы R [ G ]. Аналогично, если S — подкольцо R , S [ G ] — подкольцо R [ G ].

Если G — конечная группа порядка больше 1, то R [ G ] всегда имеет делители нуля . Например, рассмотрим элемент g из G порядка | г | = m > 1. Тогда 1 - g является делителем нуля:

${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{m-1})=1-g^{m}=1-1=0.}$

Например, рассмотрим групповое кольцо Z [ S ₃ ] и элемент порядка 3 g =(123). В этом случае,

${\displaystyle (1-(123))(1+(123)+(132))=1-(123)^{3}=1-1=0.}$

Связанный с этим результат: если групповое кольцо простое , то G не имеет неединичной конечной нормальной подгруппы (в частности, G должно быть бесконечным). ${\displaystyle K[G]}$

Доказательство: Учитывая контрапозитив , предположим, что это неединичная конечная нормальная подгруппа группы . Брать . Поскольку для любого мы знаем , следовательно . Берем , имеем . По нормальности коммутирует с базисом и, следовательно , ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a=\sum _{h\in H}h}$ ${\displaystyle hH=H}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle ha=a}$ ${\displaystyle a^{2}=\sum _{h\in H}ha=|H|a}$ ${\displaystyle b=|H|\,1-a}$ ${\displaystyle ab=0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle K[G]}$

${\displaystyle aK[G]b=K[G]ab=0}$.

И мы видим, что они не равны нулю, что показывает, что число не простое. Это показывает исходное утверждение. ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle K[G]}$

Групповая алгебра над конечной группой

Групповые алгебры естественным образом возникают в теории групповых представлений конечных групп . Групповая алгебра K [ G ] над полем K по существу является групповым кольцом, в котором место кольца занимает поле K. Как множество и векторное пространство, это свободное векторное пространство на G над полем K . То есть для x в K [ G ]

${\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}g.}$

Структура алгебры в векторном пространстве определяется с помощью умножения в группе:

${\displaystyle g\cdot h=gh,}$

где слева g и h обозначают элементы групповой алгебры, а умножение справа представляет собой групповую операцию (обозначается сопоставлением).

Поскольку приведенное выше умножение может сбить с толку, можно также записать базисные векторы K [ G ] как, например, _g (вместо g ), и в этом случае умножение записывается как:

${\displaystyle e_{g}\cdot e_{h}=e_{gh}.}$

Интерпретация как функции

Если рассматривать свободное векторное пространство как K -значные функции на G , то алгебраическое умножение представляет собой свертку функций.

Хотя групповую алгебру конечной группы можно отождествить с пространством функций на группе, для бесконечной группы они другие. Групповая алгебра, состоящая из конечных сумм, соответствует функциям группы, которые обращаются в нуль для коконечного числа точек; топологически (с использованием дискретной топологии ) они соответствуют функциям с компактным носителем .

Однако групповая алгебра K [ G ] и пространство функций K ^G  := Hom( G , K ) двойственны: задан элемент групповой алгебры

${\displaystyle x=\sum _{g\in G}a_{g}g}$

и функция на группе f  : G → K, эти пары дают элемент K через

${\displaystyle (x,f)=\sum _{g\in G}a_{g}f(g),}$

что является корректно определенной суммой, поскольку она конечна.

Представления групповой алгебры

Приняв K [ G ] за абстрактную алгебру, можно задаться вопросом о представлениях алгебры, действующей в K- векторном пространстве V размерности d . Такое представление

${\displaystyle {\tilde {\rho }}:K[G]\rightarrow {\mbox{End}}(V)}$

является гомоморфизмом алгебры групповой алгебры в алгебру эндоморфизмов V , который изоморфен кольцу матриц d × d : . Эквивалентно, это левый K [ G ]-модуль над абелевой группой V. ${\displaystyle \mathrm {End} (V)\cong M_{d}(K)}$

Соответственно, представление группы

${\displaystyle \rho :G\rightarrow {\mbox{Aut}}(V),}$

является групповым гомоморфизмом из G в группу линейных автоморфизмов V , которая изоморфна общей линейной группе обратимых матриц: . Любое такое представление индуцирует представление алгебры ${\displaystyle \mathrm {Aut} (V)\cong \mathrm {GL} _{d}(K)}$

${\displaystyle {\tilde {\rho }}:K[G]\rightarrow {\mbox{End}}(V),}$

просто позволяя и расширяя линейно. Таким образом, представления группы в точности соответствуют представлениям алгебры, и обе теории по существу эквивалентны. ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(e_{g})=\rho (g)}$

Регулярное представительство

Групповая алгебра является алгеброй над собой; при соответствии представлений над модулями R и R [ G ] оно является регулярным представлением группы.

Написанное как представление, это представление g ↦ ρ _g с действием, заданным , или ${\displaystyle \rho (g)\cdot e_{h}=e_{gh}}$

${\displaystyle \rho (g)\cdot r=\sum _{h\in G}k_{h}\rho (g)\cdot e_{h}=\sum _{h\in G}k_{h}e_{gh}.}$

Полупростое разложение

Размерность векторного пространства K [ G ] как раз равна количеству элементов в группе. Поле K обычно принимают за комплексные числа C или вещественные числа R , так что речь идет о групповых алгебрах C [ G ] или R [ G ].

Групповая алгебра C [ G ] конечной группы над комплексными числами является полупростым кольцом . Этот результат, теорема Машке , позволяет нам понимать C [ G ] как конечное произведение колец матриц с элементами в C. Действительно, если мы перечислим комплексные неприводимые представления группы G как V _k при k = 1, . . . , m , они соответствуют гомоморфизмам групп и, следовательно, гомоморфизмам алгебр . Сборка этих отображений дает изоморфизм алгебры ${\displaystyle \rho _{k}:G\to \mathrm {Aut} (V_{k})}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}_{k}:\mathbb {C} [G]\to \mathrm {End} (V_{k})}$

${\displaystyle {\tilde {\rho }}:\mathbb {C} [G]\to \bigoplus _{k=1}^{m}\mathrm {End} (V_{k})\cong \bigoplus _{k=1}^{m}M_{d_{k}}(\mathbb {C} ),}$

где dk — размерность Vk _{. _} Подалгебра в C [ G ], соответствующая End( Vk ₎ , представляет собой двусторонний идеал , порожденный идемпотентом

${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {d_{k}}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{k}(g^{-1})\,g,}$

где характер V _k . _ _ Они образуют полную систему ортогональных идемпотентов, так что для j ≠ k и . Изоморфизм тесно связан с преобразованием Фурье на конечных группах . ${\displaystyle \chi _{k}(g)=\mathrm {tr} \,\rho _{k}(g)}$ ${\displaystyle \epsilon _{k}^{2}=\epsilon _{k}}$ ${\displaystyle \epsilon _{j}\epsilon _{k}=0}$ ${\displaystyle 1=\epsilon _{1}+\cdots +\epsilon _{m}}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$

Для более общего поля K, если характеристика K не делит порядок группы G , то K [ G ] полупроста . Когда G — конечная абелева группа , групповое кольцо K [G] коммутативно, и его структуру легко выразить через корни из единицы .

Когда K — поле характеристики p , которое делит порядок G , групповое кольцо не является полупростым: оно имеет ненулевой радикал Джекобсона , и это придает соответствующему предмету модульной теории представлений свой собственный, более глубокий характер.

Центр групповой алгебры

Центр групповой алгебры — это набор элементов, которые коммутируют со всеми элементами групповой алгебры :

${\displaystyle \mathrm {Z} (K[G]):=\left\{z\in K[G]:\forall r\in K[G],zr=rz\right\}.}$

Центр равен набору функций класса , то есть набору элементов, которые постоянны в каждом классе сопряженности.

${\displaystyle \mathrm {Z} (K[G])=\left\{\sum _{g\in G}a_{g}g:\forall g,h\in G,a_{g}=a_{h^{-1}gh}\right\}.}$

Если K = C , набор неприводимых характеров группы G образует ортонормированный базис Z( K [ G ]) относительно скалярного произведения

${\displaystyle \left\langle \sum _{g\in G}a_{g}g,\sum _{g\in G}b_{g}g\right\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}{\bar {a}}_{g}b_{g}.}$

Групповые кольца над бесконечной группой

Гораздо меньше известно о случае, когда G счетно бесконечна или несчетна, и это область активных исследований. ^[3] Случай, когда R — поле комплексных чисел, вероятно, наиболее изучен. В этом случае Ирвинг Каплански доказал, что если a и b — элементы C [ G ] с ab = 1 , то ba = 1 . Верно ли это, если R — поле положительной характеристики, остается неизвестным.

Давняя гипотеза Капланского (~1940) гласит, что если G — группа без кручения , а K — поле, то групповое кольцо K [ G ] не имеет нетривиальных делителей нуля . Эта гипотеза эквивалентна тому, что K [ G ] не имеет нетривиальных нильпотентов при тех же предположениях для K и G.

Фактически, условие того, что K является полем, можно распространить на любое кольцо, которое можно вложить в область целостности .

В полной общности гипотеза остается открытой, однако было показано, что некоторые частные случаи групп без кручения удовлетворяют гипотезе о делителях нуля. К ним относятся:

• Уникальные группы продуктов (например, группы, доступные для заказа , в частности бесплатные группы )
• Элементарные аменабельные группы (например, практически абелевы группы )
• Диффузные группы – в частности, группы, свободно действующие изометрически на R -деревьях, и фундаментальные группы поверхностных групп, за исключением фундаментальных групп прямых сумм одной, двух или трех копий проективной плоскости.

Случай, когда G — топологическая группа, более подробно обсуждается в статье Групповая алгебра локально компактной группы .

Теория категорий

примыкающий

Категорически конструкция группового кольца остается сопряженной с « группой единиц »; следующие функторы являются сопряженной парой :

${\displaystyle R[-]\colon \mathbf {Grp} \to R\mathbf {{\text{-}}Alg} }$

${\displaystyle (-)^{\times }\colon R\mathbf {{\text{-}}Alg} \to \mathbf {Grp} }$

где переводит группу в ее групповое кольцо над R и переводит R -алгебру в ее группу единиц. ${\displaystyle R[-]}$ ${\displaystyle (-)^{\times }}$

Когда R = Z , это дает соединение между категорией групп и категорией колец , а единица присоединения переводит группу G в группу, содержащую тривиальные единицы: G × {±1} = {± g }. В общем, групповые кольца содержат нетривиальные единицы. Если G содержит элементы a и b такие, что и b не нормализуется, то квадрат ${\displaystyle a^{n}=1}$ ${\displaystyle \langle a\rangle }$

${\displaystyle x=(a-1)b\left(1+a+a^{2}+...+a^{n-1}\right)}$

равен нулю, следовательно . Элемент 1 + x является единицей бесконечного порядка. ${\displaystyle (1+x)(1-x)=1}$

Универсальная собственность

Приведенное выше дополнение выражает универсальное свойство групповых колец. ^{[2] [4]} Пусть R — (коммутативное) кольцо, G — группа и S — R -алгебра. Для любого группового гомоморфизма существует единственный гомоморфизм R -алгебры такой, что где i — включение ${\displaystyle f:G\to S^{\times }}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:R[G]\to S}$ ${\displaystyle {\overline {f}}^{\times }\circ i=f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i:G&\longrightarrow R[G]\\g&\longmapsto 1_{R}g\end{aligned}}}$

Другими словами, это единственный гомоморфизм, делающий коммутируемой следующую диаграмму: ${\displaystyle {\overline {f}}}$

Любое другое кольцо, удовлетворяющее этому свойству, канонически изоморфно групповому кольцу.

алгебра Хопфа

Групповая алгебра K [ G ] имеет естественную структуру алгебры Хопфа . Коумножение определяется , расширенным линейно, а антипод - , снова расширенным линейно. ${\displaystyle \Delta (g)=g\otimes g}$ ${\displaystyle S(g)=g^{-1}}$

Обобщения

Групповая алгебра обобщается до кольца моноида , а затем до алгебры категорий , другим примером которой является алгебра инцидентности .

Фильтрация

Если группа имеет функцию длины — например, если есть выбор образующих и используется слово «метрика» , как в группах Кокстера , — тогда групповое кольцо становится фильтрованной алгеброй .

Смотрите также

• Групповая алгебра локально компактной группы
• Моноидное кольцо
• Догадки Капланского

Теория представлений

• Представительство группы
• Регулярное представительство

Теория категорий

• Категорическая алгебра
• Группа юнитов
• Алгебра инцидентности
• Колчанная алгебра

Примечания

1. Милис и Сегал (2002), стр. 129 и 131.
2. Milies & Sehgal (2002), стр. 131.
3. Пассман, Дональд С. (1976). «Что такое групповое кольцо?». амер. Математика. Ежемесячно . 83 (3): 173–185. дои : 10.2307/2977018. JSTOR  2977018.
4. «Групповая алгебра в nLab». ncatlab.org . Проверено 1 ноября 2017 г.

Рекомендации

• А. А. Бовди (2001) [1994], «Групповая алгебра», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Милиес, Сезар Польчино; Сегал, Сударшан К. Введение в групповые кольца . Алгебры и приложения, Том 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0 . 
• Чарльз В. Кертис , Ирвинг Райнер . Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, Interscience (1962)
• Д. С. Пассман, Алгебраическая структура групповых колец, Wiley (1977).