Группа перенормировки матрицы плотности

Численный вариационный метод

Группа перенормировки матрицы плотности ( DMRG ) — это числовой вариационный метод, разработанный для получения низкоэнергетической физики квантовых систем многих тел с высокой точностью. Как вариационный метод , DMRG — это эффективный алгоритм, который пытается найти волновую функцию состояния произведения матрицы с наименьшей энергией гамильтониана. Он был изобретен в 1992 году Стивеном Р. Уайтом и в настоящее время является наиболее эффективным методом для одномерных систем. ^[1]

История

Первое применение DMRG Стивеном Р. Уайтом и Рейнхардом Ноаком было игрушечной моделью : найти спектр частицы со спином 0 в одномерном ящике. ^{[ когда? ]} Эта модель была предложена Кеннетом Г. Уилсоном в качестве теста для любого нового метода ренормгруппы , потому что все они терпели неудачу с этой простой проблемой. ^{[ когда? ]} DMRG преодолел проблемы предыдущих методов ренормгруппы , соединив два блока с двумя узлами в середине, а не просто добавляя один узел к блоку на каждом шаге, а также используя матрицу плотности для определения наиболее важных состояний, которые следует сохранять в конце каждого шага. После успеха с игрушечной моделью метод DMRG был успешно опробован на квантовой модели Гейзенберга .

Принцип

Основная проблема квантовой физики многих тел заключается в том, что гильбертово пространство растет экспоненциально с размером. Другими словами, если рассмотреть решетку с некоторым гильбертовым пространством размерности на каждом узле решетки, то общее гильбертово пространство будет иметь размерность , где — число узлов на решетке. Например, цепочка со спином 1/2 длиной  L имеет 2 ^L степеней свободы. DMRG — это итеративный вариационный метод, который сводит эффективные степени свободы к наиболее важным для целевого состояния. Состояние, которое чаще всего интересует, — это основное состояние . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d^{N}}$ ${\displaystyle N}$

После цикла прогрева ^{[ необходимо определение ]} метод разбивает систему на две подсистемы или блоки, которые не обязательно должны иметь одинаковые размеры, и два участка между ними. Набор репрезентативных состояний был выбран для блока во время прогрева. Этот набор левых блоков + двух участков + правых блоков известен как суперблок . Теперь может быть найден кандидат на основное состояние суперблока, который является сокращенной версией полной системы. Он может иметь довольно низкую точность, но метод является итеративным и улучшается с помощью следующих шагов.

Разложение системы на левый и правый блоки по DMRG.

Кандидат основного состояния, который был найден, проецируется в подпространство Гильберта для каждого блока с использованием матрицы плотности , отсюда и название. Таким образом, соответствующие состояния для каждого блока обновляются. ^{[ необходимо дальнейшее объяснение ]}

Теперь один из блоков растет за счет другого, и процедура повторяется. Когда растущий блок достигает максимального размера, другой начинает расти на его месте. Каждый раз, когда мы возвращаемся к исходной ситуации (равные размеры), мы говорим, что развертка завершена . Обычно для получения точности в 10 ¹⁰ для одномерной решетки достаточно нескольких разверток.

Проверка DMRG.

Руководство по внедрению

Практическая реализация алгоритма DMRG — это длительная работа ^{[ мнение ]} . Вот несколько основных вычислительных трюков:

• Поскольку размер перенормированного гамильтониана обычно составляет порядка нескольких или десятков тысяч, а искомое собственное состояние — это просто основное состояние, основное состояние для суперблока получается с помощью итерационного алгоритма, такого как алгоритм Ланцоша диагонализации матрицы. Другим выбором является метод Арнольди , особенно при работе с неэрмитовыми матрицами.
• Алгоритм Ланцоша обычно начинается с наилучшего предположения решения. Если предположения отсутствуют, выбирается случайный вектор. В DMRG основное состояние, полученное на определенном шаге DMRG, соответствующим образом преобразованное, является разумным предположением и, таким образом, работает значительно лучше, чем случайный начальный вектор на следующем шаге DMRG.
• В системах с симметриями мы можем иметь сохраняющиеся квантовые числа, такие как полный спин в модели Гейзенберга. Удобно находить основное состояние внутри каждого из секторов, на которые разделено пространство Гильберта.

Приложения

DMRG успешно применялся для получения низкоэнергетических свойств спиновых цепочек: модель Изинга в поперечном поле, модель Гейзенберга и т. д., фермионные системы, такие как модель Хаббарда , проблемы с примесями, такие как эффект Кондо , бозонные системы и физика квантовых точек , соединенных квантовыми проводами . Он также был расширен для работы с древовидными графами и нашел применение в изучении дендримеров . Для 2D-систем, где одно из измерений намного больше другого, DMRG также точен и оказался полезным при изучении лестниц.

Метод был расширен для изучения равновесной статистической физики в 2D и анализа неравновесных явлений в 1D.

DMRG также применялся в области квантовой химии для изучения сильно коррелированных систем.

Пример: Квантовая модель Гейзенберга

Рассмотрим "бесконечный" алгоритм DMRG для антиферромагнитной квантовой цепочки Гейзенберга . Рецепт может быть применен для любой трансляционно-инвариантной одномерной решетки . ${\displaystyle S=1}$

DMRG — это метод ренормгруппы , поскольку он предлагает эффективное усечение гильбертова пространства одномерных квантовых систем.

Начальная точка

Для моделирования бесконечной цепи начните с четырех сайтов. Первый сайт — блок , последний — сайт universe-block , а остальные — добавленные сайты , правый добавляется к сайту universe-block, а другой — к сайту block.

Гильбертово пространство для одного узла имеет базу . С этой базой операторы спина имеют вид , а для одного узла. Для каждого блока, двух блоков и двух узлов существует свое собственное гильбертово пространство , своя база ( ) и свои собственные операторы , где ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle \{|S,S_{z}\rangle \}\equiv \{|1,1\rangle ,|1,0\rangle ,|1,-1\rangle \}}$ ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle S_{y}}$ ${\displaystyle S_{z}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{b}}$ ${\displaystyle \{|w_{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle i:1\dots \dim({\mathfrak {H}}_{b})}$ $${\displaystyle O_{b}:{\mathfrak {H}}_{b}\rightarrow {\mathfrak {H}}_{b}}$$

• блокировать: , , , , , ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{B}}$ ${\displaystyle \{|u_{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle H_{B}}$ ${\displaystyle S_{x_{B}}}$ ${\displaystyle S_{y_{B}}}$ ${\displaystyle S_{z_{B}}}$
• левый-сайт: , , , , ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{l}}$ ${\displaystyle \{|t_{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle S_{x_{l}}}$ ${\displaystyle S_{y_{l}}}$ ${\displaystyle S_{z_{l}}}$
• правый-сайт: , , , , ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{r}}$ ${\displaystyle \{|s_{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle S_{x_{r}}}$ ${\displaystyle S_{y_{r}}}$ ${\displaystyle S_{z_{r}}}$
• вселенная: , , , , , ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{U}}$ ${\displaystyle \{|r_{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle H_{U}}$ ${\displaystyle S_{x_{U}}}$ ${\displaystyle S_{y_{U}}}$ ${\displaystyle S_{z_{U}}}$

В начальной точке все четыре гильбертовых пространства эквивалентны , все операторы спина эквивалентны , и и . В следующих итерациях это справедливо только для левого и правого узлов. ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle S_{y}}$ ${\displaystyle S_{z}}$ ${\displaystyle H_{B}=H_{U}=0}$

Шаг 1: Формирование гамильтоновой матрицы для суперблока

Ингредиентами являются четыре оператора блока и четыре оператора блока вселенной, которые на первой итерации являются матрицами , три оператора спина левого узла и три оператора спина правого узла, которые всегда являются матрицами. Гамильтониана матрица суперблока ( цепи), которая на первой итерации имеет только четыре узла, формируется этими операторами. В антиферромагнитной модели Гейзенберга S=1 гамильтониан имеет вид: ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle 3\times 3}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{SB}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }\mathbf {S} _{x_{i}}\mathbf {S} _{x_{j}}+\mathbf {S} _{y_{i}}\mathbf {S} _{y_{j}}+\mathbf {S} _{z_{i}}\mathbf {S} _{z_{j}}}$

Эти операторы находятся в пространстве состояний суперблока: , основанием является . Например: (соглашение): ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{SB}={\mathfrak {H}}_{B}\otimes {\mathfrak {H}}_{l}\otimes {\mathfrak {H}}_{r}\otimes {\mathfrak {H}}_{U}}$ ${\displaystyle \{|f\rangle =|u\rangle \otimes |t\rangle \otimes |s\rangle \otimes |r\rangle \}}$

${\displaystyle |1000\dots 0\rangle \equiv |f_{1}\rangle =|u_{1},t_{1},s_{1},r_{1}\rangle \equiv |100,100,100,100\rangle }$

${\displaystyle |0100\dots 0\rangle \equiv |f_{2}\rangle =|u_{1},t_{1},s_{1},r_{2}\rangle \equiv |100,100,100,010\rangle }$

Гамильтониан в форме DMRG имеет вид (мы устанавливаем ): ${\displaystyle J=-1}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{SB}=\mathbf {H} _{B}+\mathbf {H} _{U}+\sum _{\langle i,j\rangle }\mathbf {S} _{x_{i}}\mathbf {S} _{x_{j}}+\mathbf {S} _{y_{i}}\mathbf {S} _{y_{j}}+\mathbf {S} _{z_{i}}\mathbf {S} _{z_{j}}}$

Операторами являются матрицы , например: ${\displaystyle (d*3*3*d)\times (d*3*3*d)}$ ${\displaystyle d=\dim({\mathfrak {H}}_{B})\equiv \dim({\mathfrak {H}}_{U})}$

${\displaystyle \langle f|\mathbf {H} _{B}|f'\rangle \equiv \langle u,t,s,r|H_{B}\otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} |u',t',s',r'\rangle }$

${\displaystyle \mathbf {S} _{x_{B}}\mathbf {S} _{x_{l}}=S_{x_{B}}\mathbb {I} \otimes \mathbb {I} S_{x_{l}}\otimes \mathbb {I} \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} \mathbb {I} =S_{x_{B}}\otimes S_{x_{l}}\otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} }$

Шаг 2: Диагонализация суперблочного гамильтониана

На этом этапе вы должны выбрать собственное состояние гамильтониана, для которого вычисляются некоторые наблюдаемые , это целевое состояние . В начале вы можете выбрать основное состояние и использовать какой-либо продвинутый алгоритм для его нахождения, один из них описан в:

• Итеративное вычисление нескольких наименьших собственных значений и соответствующих собственных векторов больших вещественно- симметричных матриц , Эрнест Р. Дэвидсон ; Журнал вычислительной физики 17, 87-94 (1975)

Этот шаг является наиболее трудоемкой частью алгоритма.

Если является целевым состоянием, то математическое ожидание различных операторов можно измерить на этом этапе с помощью . ${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum \Psi _{i,j,k,w}|u_{i},t_{j},s_{k},r_{w}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Шаг 3: Уменьшение матрицы плотности

Сформировать матрицу приведенной плотности для первых двух блочных систем, блока и левого сайта. По определению это матрица : ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle (d*3)\times (d*3)}$ ${\displaystyle \rho _{i,j;i',j'}\equiv \sum _{k,w}\Psi _{i,j,k,w}\Psi _{i',j',k,w}^{*}}$

Диагонализация и формирование матрицы , строки которой являются собственными векторами, связанными с наибольшими собственными значениями . Так формируется наиболее значимыми собственными состояниями приведенной матрицы плотности. Вы выбираете, глядя на параметр : . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle m\times (d*3)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e_{\alpha }}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle P_{m}\equiv \sum _{\alpha =1}^{m}e_{\alpha }}$ ${\displaystyle 1-P_{m}\cong 0}$

Шаг 4: Новые операторы блока и юниверс-блока

Сформируйте матричное представление операторов для системной композиции блока и левого узла, а также для системной композиции правого узла и юниверсного блока, например: ${\displaystyle (d*3)\times (d*3)}$

${\displaystyle H_{B-l}=H_{B}\otimes \mathbb {I} +S_{x_{B}}\otimes S_{x_{l}}+S_{y_{B}}\otimes S_{y_{l}}+S_{z_{B}}\otimes S_{z_{l}}}$

${\displaystyle S_{x_{B-l}}=\mathbb {I} \otimes S_{x_{l}}}$

${\displaystyle H_{r-U}=\mathbb {I} \otimes H_{U}+S_{x_{r}}\otimes S_{x_{U}}+S_{y_{r}}\otimes S_{y_{U}}+S_{z_{r}}\otimes S_{z_{U}}}$

${\displaystyle S_{x_{r-U}}=S_{x_{r}}\otimes \mathbb {I} }$

Теперь сформируйте матричные представления новых операторов блока и юниверс-блока, сформируйте новый блок, изменив базис с помощью преобразования , например: На этом итерация заканчивается, и алгоритм возвращается к шагу 1. ${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}&H_{B}=TH_{B-l}T^{\dagger }&S_{x_{B}}=TS_{x_{B-l}}T^{\dagger }\end{matrix}}}$$

Алгоритм успешно останавливается, когда наблюдаемая величина сходится к некоторому значению.

Анзац матричного продукта

Успех DMRG для одномерных систем связан с тем, что это вариационный метод в пространстве состояний матричного произведения (MPS). Это состояния вида

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{s_{1}\cdots s_{N}}\operatorname {Tr} (A^{s_{1}}\cdots A^{s_{N}})|s_{1}\cdots s_{N}\rangle }$

где — значения eg z -компоненты спина в спиновой цепочке, а A ^{s _i} — матрицы произвольной размерности  m . При m  → ∞ представление становится точным. Эта теория была изложена С. Роммером и С. Остлундом в [1]. ${\displaystyle s_{1}\cdots s_{N}}$

В квантовой химии приложение означает четыре возможности проекции спинового квантового числа двух электронов, которые могут занимать одну орбиталь, таким образом , где первый (второй) элемент этих кетов соответствует электрону со спином вверх (вниз). В квантовой химии (для заданного ) и (для заданного ) традиционно выбираются в качестве матриц строк и столбцов соответственно. Таким образом, результатом является скалярное значение, и операция трассировки не нужна. — это число мест (в основном орбиталей), используемых в моделировании. ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}=|00\rangle ,|10\rangle ,|01\rangle ,|11\rangle }$ ${\displaystyle A^{s_{1}}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle A^{s_{N}}}$ ${\displaystyle s_{N}}$ ${\displaystyle A^{s_{1}}\ldots A^{s_{N}}}$ ${\displaystyle N}$

Матрицы в анзаце MPS не являются уникальными, можно, например, вставить в середину , затем определить и , и состояние останется неизменным. Такая свобода калибровки используется для преобразования матриц в каноническую форму. Существует три типа канонической формы: (1) левонормализованная форма, когда ${\displaystyle B^{-1}B}$ ${\displaystyle A^{s_{i}}A^{s_{i+1}}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}^{s_{i}}=A^{s_{i}}B^{-1}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}^{s_{i+1}}=BA^{s_{i+1}}}$

${\displaystyle \sum _{s_{i}}\left({\tilde {A}}^{s_{i}}\right)^{\dagger }{\tilde {A}}^{s_{i}}=I}$

для всех , (2) правонормализованная форма, когда ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \sum _{s_{i}}{\tilde {A}}^{s_{i}}\left({\tilde {A}}^{s_{i}}\right)^{\dagger }=I}$

для всех , и (3) смешанно-каноническая форма, когда среди матриц в приведенном выше анзаце MPS существуют как лево-, так и правонормализованные матрицы . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N}$

Целью расчета DMRG является решение для элементов каждой из матриц. Для этой цели были разработаны так называемые односайтовый и двухсайтовый алгоритмы. В односайтовом алгоритме только одна матрица (один сайт), элементы которой решаются за раз. Двухсайтовый просто означает, что две матрицы сначала сжимаются (умножаются) в одну матрицу, а затем ее элементы решаются. Двухсайтовый алгоритм предлагается, потому что односайтовый алгоритм гораздо более склонен к попаданию в ловушку локального минимума. Наличие MPS в одной из вышеуказанных канонических форм имеет преимущество в том, что делает вычисления более благоприятными - это приводит к обычной задаче собственных значений. Без канонизации мы будем иметь дело с обобщенной задачей собственных значений. ${\displaystyle A^{s_{i}}}$

Расширения

В 2004 году был разработан метод децимации блоков, развивающихся во времени, для реализации эволюции состояний матричных произведений в реальном времени. Идея основана на классическом моделировании квантового компьютера . Впоследствии был разработан новый метод для вычисления эволюции в реальном времени в рамках формализма DMRG - см. статью А. Фейгина и С. Р. Уайта [2].

В последние годы были выдвинуты некоторые предложения по расширению метода на 2D и 3D, расширяющие определение состояний матричного продукта. См. эту статью Ф. Верстрате и И. Сирака , [3].

Дальнейшее чтение

• Оригинальная статья, написанная С.Р. Уайтом, [4] или [5]
• Учебник по DMRG и его происхождению: https://www.springer.com/gp/book/9783540661290
• Обширный обзор Карен Холлберг , [6].
• Два обзора Ульриха Шолльвока, один из которых рассматривает исходную формулировку [7], а другой — в терминах состояний матричных продуктов [8]
• Кандидатская диссертация Хавьера Родригеса Лагуны [9].
• Введение в DMRG и его зависящее от времени расширение [10].
• Список электронных изданий DMRG на arxiv.org [11].
• Обзорная статья по DMRG для ab initio квантовой химии [12].
• Вводное видео о DMRG для ab initio квантовой химии [13].

• Уайт, Стивен Р.; Хьюз, Дэвид А. (1993-08-01). "Численное ренормгрупповое исследование низколежащих собственных состояний антиферромагнитной S=1 цепочки Гейзенберга". Physical Review B. 48 ( 6). Американское физическое общество (APS): 3844–3852. Bibcode : 1993PhRvB..48.3844W. doi : 10.1103/physrevb.48.3844. ISSN  0163-1829. PMID  10008834.

Сопутствующее программное обеспечение

• Набор инструментов Matrix Product: бесплатный набор инструментов GPL для управления конечными и бесконечными состояниями матричных произведений, написанный на языке C++ [14]
• Uni10: библиотека, реализующая многочисленные алгоритмы тензорных сетей (DMRG, TEBD, MERA, PEPS ...) на языке C++
• Powder with Power: свободное распространение зависящего от времени кода DMRG, написанного на языке Fortran [15] Архивировано 04.12.2017 на Wayback Machine
• Проект ALPS: свободное распространение независимого от времени кода DMRG и квантовых кодов Монте-Карло, написанных на языке C++ [16]
• DMRG++: свободная реализация DMRG, написанная на C++ [17]
• Библиотека ITensor (Intelligent Tensor): бесплатная библиотека для выполнения вычислений DMRG на основе тензорных и матричных произведений, написанная на языке C++ [18]
• OpenMPS: реализация DMRG с открытым исходным кодом, основанная на состояниях матричного продукта, написанная на Python/Fortran2003. [19]
• Программа Snake DMRG: программа DMRG с открытым исходным кодом, tDMRG и программа DMRG с конечной температурой, написанная на языке C++ [20]
• CheMPS2: код DMRG с открытым исходным кодом (GPL) для квантовой химии ab initio, адаптированный к спину, написанный на C++ [21]
• Блок: фреймворк DMRG с открытым исходным кодом для квантовой химии и модельных гамильтонианов. Поддерживает SU(2) и общие неабелевы симметрии. Написано на C++.
• Block2: Эффективная параллельная реализация DMRG, динамического DMRG, tdDMRG и DMRG с конечной температурой для квантовой химии и моделей. Написано на Python / C++ .

Смотрите также

• Квантовый Монте-Карло
• Децимация блоков с течением времени
• Взаимодействие конфигурации

Ссылки

1. Накатани, Наоки (2018), «Состояния матричных продуктов и алгоритм ренормализации матрицы плотности», Справочный модуль по химии, молекулярным наукам и химической инженерии , Elsevier, doi : 10.1016/b978-0-12-409547-2.11473-8, ISBN 978-0-12-409547-2, получено 2021-04-21