Диадики

Тензор второго порядка в векторной алгебре

В математике , в частности в полилинейной алгебре , диадический или двоичный тензор — это тензор второго порядка , записанный в нотации, которая соответствует векторной алгебре .

Существует множество способов умножения двух евклидовых векторов . Скалярное произведение принимает два вектора и возвращает скаляр , в то время как векторное произведение ^[a] возвращает псевдовектор . Оба они имеют различные значимые геометрические интерпретации и широко используются в математике, физике и инженерии . Двоичное произведение принимает два вектора и возвращает тензор второго порядка, называемый в этом контексте диадическим . Двоичный вектор может использоваться для хранения физической или геометрической информации, хотя в общем случае не существует прямого способа его геометрической интерпретации.

Двоичное произведение дистрибутивно по векторному сложению и ассоциативно со скалярным умножением . Следовательно, диадическое произведение линейно по обоим своим операндам. В общем случае, два диадических произведения можно сложить, чтобы получить еще одно диадическое произведение, и умножить на числа, чтобы масштабировать диадическое произведение. Однако произведение не коммутативно ; изменение порядка векторов приводит к другому диадическому произведению.

Формализм диадической алгебры является расширением векторной алгебры, чтобы включить диадическое произведение векторов. Диадическое произведение также ассоциативно с точечными и перекрестными произведениями с другими векторами, что позволяет комбинировать точечные, перекрестные и диадические произведения для получения других скаляров, векторов или диадических чисел.

Он также имеет некоторые аспекты матричной алгебры , поскольку числовые компоненты векторов могут быть организованы в строки и столбцы векторов , а компоненты тензоров второго порядка — в квадратные матрицы . Кроме того, точечные, перекрестные и диадические произведения могут быть выражены в матричной форме. Диадические выражения могут быть очень похожи на матричные эквиваленты.

Скалярное произведение диадики с вектором дает другой вектор, а скалярное произведение этого результата дает скаляр, полученный из диадики. Эффект, который данная диадика оказывает на другие векторы, может дать косвенные физические или геометрические интерпретации.

Двоичная нотация была впервые введена Джозайей Уиллардом Гиббсом в 1884 году. Нотация и терминология сегодня относительно устарели. Ее применение в физике включает механику сплошных сред и электромагнетизм .

В этой статье заглавные жирные переменные обозначают диады (включая диады), тогда как строчные жирные переменные обозначают векторы. Альтернативная нотация использует соответственно двойные и одинарные над- или подчёркивания.

Определения и терминология

Диадические, внешние и тензорные произведения

Диада — это тензор второго порядка и первого ранга , представляющий собой диадическое произведение двух векторов ( комплексных векторов в целом), тогда как диадика — это общий тензор второго порядка ( который может иметь полный ранг или нет).

Для этого продукта существует несколько эквивалентных терминов и обозначений:

• диадическое произведение двух векторов обозначается ( сопоставлено ; без символов, знаков умножения, крестиков, точек и т. д.) ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} }$
• внешнее произведение двух векторов-столбцов и обозначается и определяется как или , где означает транспонирование , ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$
• тензорное произведение двух векторов и обозначается , ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} }$

В диадическом контексте все они имеют одинаковое определение и значение и используются как синонимы, хотя тензорное произведение является примером более общего и абстрактного использования этого термина.

Трехмерное евклидово пространство

Чтобы проиллюстрировать эквивалентное использование, рассмотрим трехмерное евклидово пространство , предположив:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} \end{aligned}}}$

два вектора, где i , j , k (также обозначаемые e ₁ , e ₂ , e ₃ ) являются стандартными базисными векторами в этом векторном пространстве (см. также декартовы координаты ). Тогда двоичное произведение a и b можно представить в виде суммы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ab} =\qquad &a_{1}b_{1}\mathbf {ii} +a_{1}b_{2}\mathbf {ij} +a_{1}b_{3}\mathbf {ik} \\{}+{}&a_{2}b_{1}\mathbf {ji} +a_{2}b_{2}\mathbf {jj} +a_{2}b_{3}\mathbf {jk} \\{}+{}&a_{3}b_{1}\mathbf {ki} +a_{3}b_{2}\mathbf {kj} +a_{3}b_{3}\mathbf {kk} \end{aligned}}}$

или путем расширения векторов строк и столбцов, матрица 3×3 (также результат внешнего произведения или тензорного произведения a и b ):

${\displaystyle \mathbf {ab} \equiv \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \equiv \mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{pmatrix}}.}$

Диада — это компонент диады ( одночлен суммы или, что эквивалентно, элемент матрицы) — двоичное произведение пары базисных векторов, скалярно умноженное на число.

Так же, как стандартные базисные (и единичные) векторы i , j , k имеют представления:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {j} &={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {k} &={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

(которые можно транспонировать), стандартные базисные (и единичные) диады имеют представление:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ii} &={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ij} &={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ik} &={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ji} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ki} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Для простого числового примера в стандартном базисе:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk} +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\[2pt]&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\[2pt]&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Н-мерное евклидово пространство

Если евклидово пространство N - мерно , и

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\mathbf {e} _{i}=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+{\ldots }+a_{N}\mathbf {e} _{N}\\\mathbf {b} &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}\mathbf {e} _{j}=b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +b_{N}\mathbf {e} _{N}\end{aligned}}}$

где e _i и e _j — стандартные базисные векторы в N- мерном пространстве (индекс i в e _i выбирает конкретный вектор, а не компонент вектора, как в a _i ), тогда в алгебраической форме их двоичное произведение равно:

${\displaystyle \mathbf {ab} =\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{N}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}.}$

Это известно как неионная форма диадики. Их внешнее/тензорное произведение в матричной форме равно:

${\displaystyle \mathbf {ab} =\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{N}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N}b_{1}&a_{N}b_{2}&\cdots &a_{N}b_{N}\end{pmatrix}}.}$

Двоичный многочлен A , также известный как диадический, формируется из нескольких векторов a _i и b _j :

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {a} _{1}\mathbf {b} _{1}+\mathbf {a} _{2}\mathbf {b} _{2}+\mathbf {a} _{3}\mathbf {b} _{3}+\ldots }$

Диада, которая не может быть сведена к сумме менее N диад, называется полной. В этом случае образующие векторы некомпланарны, ^{[ сомнительны – обсудите ]} см. Chen (1983).

Классификация

Следующая таблица классифицирует диады:

Идентичности

Следующие тождества являются прямым следствием определения тензорного произведения: ^[1]

1. Совместимо со скалярным умножением :

   ${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\mathbf {b} =\mathbf {a} (\alpha \mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} \mathbf {b} )}$

   для любого скаляра . ${\displaystyle \alpha }$
2. Распределение по векторному сложению :

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {c} \\(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {c} &=\mathbf {a} \mathbf {c} +\mathbf {b} \mathbf {c} \end{aligned}}}$

Двоичная алгебра

Произведение диадического и векторного

Существуют четыре операции, определенные на векторе и диадике, построенные из произведений, определенных на векторах.

Продукт диадического и диадического

Существует пять операций для диадического элемента в другой диадический элемент. Пусть a , b , c , d будут действительными векторами. Тогда:

Сдача в аренду

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i},\quad \mathbf {B} =\sum _{j}\mathbf {c} _{j}\mathbf {d} _{j}}$

если взять две общие диады, то мы имеем:

Произведение с двумя точками

Первое определение двойного скалярного произведения — это внутреннее произведение Фробениуса ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\right)\\&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\right)\\&=\sum _{i,j}(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j})(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j})\\&=\mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} \end{aligned}}}$

Кроме того, поскольку,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}&=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{j}^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}\\&=\sum _{i,j}\mathbf {b} _{i}\mathbf {a} _{j}^{\mathsf {T}}\end{aligned}}}$

мы это понимаем,

${\displaystyle \mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} =\mathbf {A} {\underline {{}_{\centerdot }^{\centerdot }}}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}}$

поэтому второе возможное определение произведения с двумя точками — это просто первое с дополнительной транспозицией на второй диадике. По этим причинам первое определение произведения с двумя точками предпочтительнее, хотя некоторые авторы все еще используют второе.

Двойной перекрестный продукт

Мы видим, что для любой диады, образованной двумя векторами a и b , ее двойное перекрестное произведение равно нулю.

${\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\times }\left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {a} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {b} \right)=0}$

Однако, по определению, диадическое двойное перекрестное произведение на себя, как правило, будет ненулевым. Например, диадическое A, составленное из шести различных векторов

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}}$

имеет ненулевое самодвойное перекрестное произведение

${\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} =2\left[\left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)\left(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}\right)+\left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)\left(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}\right)+\left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)\left(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1}\right)\right]}$

Сокращение тензора

Фактор расширения или шпоры возникает из формального расширения диадики в координатном базисе путем замены каждого диадического произведения скалярным произведением векторов:

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |=\qquad &A_{11}\mathbf {i} \cdot \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \cdot \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \cdot \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \cdot \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \cdot \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \cdot \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{11}+A_{22}+A_{33}\end{aligned}}}$

в индексной нотации это сокращение индексов в диадике:

${\displaystyle |\mathbf {A} |=\sum _{i}A_{i}{}^{i}}$

Только в трех измерениях фактор вращения возникает путем замены каждого диадического произведения на перекрестное произведение.

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} \rangle =\qquad &A_{11}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{12}\mathbf {k} -A_{13}\mathbf {j} -A_{21}\mathbf {k} \\{}+{}&A_{23}\mathbf {i} +A_{31}\mathbf {j} -A_{32}\mathbf {i} \\[6pt]=\qquad &\left(A_{23}-A_{32}\right)\mathbf {i} +\left(A_{31}-A_{13}\right)\mathbf {j} +\left(A_{12}-A_{21}\right)\mathbf {k} \\\end{aligned}}}$

В индексной записи это свертка A с тензором Леви-Чивиты

${\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{jk}{\epsilon _{i}}^{jk}A_{jk}.}$

Единица диадическая

Существует единичная диада, обозначаемая I , такая, что для любого вектора a

${\displaystyle \mathbf {I} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} =\mathbf {a} }$

При наличии базиса из 3 векторов a , b и c с обратным базисом единичная диадика выражается как ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }},{\hat {\mathbf {b} }},{\hat {\mathbf {c} }}}$

${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {a} {\hat {\mathbf {a} }}+\mathbf {b} {\hat {\mathbf {b} }}+\mathbf {c} {\hat {\mathbf {c} }}}$

В стандартном базисе (определения i , j , k см. в разделе выше § Трехмерное евклидово пространство ),

${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {ii} +\mathbf {jj} +\mathbf {kk} }$

Явно, скалярное произведение справа от единичной двоичной дроби равно

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} &=(\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\cdot \mathbf {a} \\&=\mathbf {i} (\mathbf {i} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {j} (\mathbf {j} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {k} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} )\\&=\mathbf {i} a_{x}+\mathbf {j} a_{y}+\mathbf {k} a_{z}\\&=\mathbf {a} \end{aligned}}}$

и налево

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} &=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {i} )\mathbf {i} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {j} )\mathbf {j} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {k} \\&=a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} \\&=\mathbf {a} \end{aligned}}}$

Соответствующая матрица:

${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

Это можно подвести под более тщательные основы (объяснив, что логическое содержание «сопоставления обозначений» может означать), используя язык тензорных произведений. Если V — конечномерное векторное пространство , диадический тензор на V — это элементарный тензор в тензорном произведении V с его дуальным пространством .

Тензорное произведение V и его дуального пространства изоморфно пространству линейных отображений из V в V : диадический тензор vf — это просто линейное отображение, переводящее любой w из V в f ( w ) v . Когда V — евклидово n -пространство, мы можем использовать скалярное произведение для идентификации дуального пространства с самим V , делая диадический тензор элементарным тензорным произведением двух векторов в евклидовом пространстве.

В этом смысле единичный диадический ij является функцией из 3-пространства в себя, посылающей a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k в a ₂ i , а jj отправляет эту сумму в a ₂ j . Теперь раскрывается, в каком (точном) смысле ii + jj + kk является тождеством: оно отправляет a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k в себя, потому что его эффект заключается в суммировании каждого единичного вектора в стандартном базисе, масштабированном коэффициентом вектора в этом базисе.

Свойства единичных диад

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {I} \right)\cdot \left(\mathbf {b} \times \mathbf {I} \right)&=\mathbf {ba} -\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\mathbf {I} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\mathbf {b} \times \mathbf {a} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} &=(\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {I} )\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\\\mathbf {I} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\left(\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathrm {tr} \left(\mathbf {ab} \right)\end{aligned}}}$

где «tr» обозначает след .

Примеры

Проекция и отклонение вектора

Ненулевой вектор a всегда можно разбить на две перпендикулярные компоненты, одну параллельную (‖) направлению единичного вектора n , а другую перпендикулярную (⊥) ему;

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }}$

Параллельный компонент находится с помощью векторной проекции , что эквивалентно скалярному произведению a с двоичным nn ,

${\displaystyle \mathbf {a} _{\parallel }=\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a} }$

а перпендикулярная составляющая находится из отклонения вектора , что эквивалентно скалярному произведению a с двоичным I − nn ,

${\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }=\mathbf {a} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {I} -\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a} }$

Вращение диадическое

2d вращения

Диадический

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {ji} -\mathbf {ij} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$

является оператором вращения на 90° против часовой стрелки в 2d. Его можно дополнить левым вектором r = x i + y j, чтобы получить вектор,

${\displaystyle (\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {ji} \cdot \mathbf {i} -x\mathbf {ij} \cdot \mathbf {i} +y\mathbf {ji} \cdot \mathbf {j} -y\mathbf {ij} \cdot \mathbf {j} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} ,}$

В итоге

${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\mathrm {rot} }}$

или в матричной записи

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.}$

Для любого угла θ двумерная диадика вращения для вращения против часовой стрелки в плоскости равна

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +\mathbf {J} \sin \theta =(\mathbf {ii} +\mathbf {jj} )\cos \theta +(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\sin \theta ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\;\cos \theta \end{pmatrix}}}$

где I и J такие же, как и выше, а вращение любого двумерного вектора a = a _x i + a _y j равно

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} }$

3D вращения

Общий трехмерный поворот вектора a вокруг оси в направлении единичного вектора ω и против часовой стрелки на угол θ можно выполнить, используя формулу вращения Родригеса в двоичной форме

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} \,,}$

где диадическое вращение равно

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +{\boldsymbol {\Omega }}\sin \theta +{\boldsymbol {\omega \omega }}(1-\cos \theta )\,,}$

и декартовы записи ω также образуют записи диадического

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\omega _{x}(\mathbf {kj} -\mathbf {jk} )+\omega _{y}(\mathbf {ik} -\mathbf {ki} )+\omega _{z}(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\,,}$

Влияние Ω на a — это векторное произведение

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} }$

которая является двоичной формой матрицы перекрестного произведения со столбцовым вектором.

преобразование Лоренца

В специальной теории относительности ускорение Лоренца со скоростью v в направлении единичного вектора n можно выразить как

${\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {r} '=[\mathbf {I} +(\gamma -1)\mathbf {nn} ]\cdot \mathbf {r} -\gamma v\mathbf {n} t}$

где

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

это фактор Лоренца .

Связанные термины

Некоторые авторы обобщают термин «диадический» на родственные ему термины «триадический» , «тетрадический» и «полиадический» . ^[2]

Смотрите также

• продукт Кронекера
• Бивектор
• Полиадическая алгебра
• Единичный вектор
• Многовекторность
• Дифференциальная форма
• Кватернионы
• Поле (математика)

Примечания

Пояснительные записки

1. Перекрестное произведение существует только в ориентированных трехмерных и семимерных внутренних пространствах и имеет хорошие свойства только в трехмерных внутренних пространствах. Соответствующее внешнее произведение существует для всех векторных пространств.

Цитаты

1. Спенсер (1992), стр. 19.
2. Например, IV Lindell & AP Kiselev (2001). "Polyadic Methods in Elastodynamics" (PDF) . Progress in Electromagnetics Research . 31 : 113–154. doi : 10.2528/PIER00051701 .

Ссылки

• П. Митигай (2009). «Векторы и диадики» (PDF) . Стэнфорд , США.Глава 2
• Шпигель, MR; Липшуц, С.; Спеллман, Д. (2009). Векторный анализ, очертания Шаума . МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.
• AJM Spencer (1992). Механика сплошной среды . Dover Publications. ISBN 0-486-43594-6..
• Морзе, Филип М.; Фешбах, Герман (1953), «§1.6: Диадические операторы и другие векторные операторы», Методы теоретической физики, том 1 , Нью-Йорк: McGraw-Hill , стр. 54–92, ISBN 978-0-07-043316-8, МР  0059774.
• Исмо В. Линделл (1996). Методы анализа электромагнитного поля . Wiley-Blackwell. ISBN 978-0-7803-6039-6..
• Холлис К. Чен (1983). Теория электромагнитных волн — подход без координат . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-010688-8..
• К. Кэхилл (2013). Физическая математика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1107005211.

Внешние ссылки

• Векторный анализ, учебник для студентов-математиков и физиков, основанный на лекциях доктора юридических наук Дж. Уилларда Гиббса, доктора юридических наук Эдвинда Бидвелла Уилсона
• Расширенная теория поля, IVLindel
• Векторный и диадический анализ
• Вводный тензорный анализ
• Nasa.gov, Основы тензорного анализа для студентов физико-технических факультетов с введением в теорию относительности, JC Kolecki
• Nasa.gov, Введение в тензоры для студентов физики и инженерии, JC Kolecki