Тензор (внутреннее определение)

Определение тензора без координат

В математике современный подход без компонент к теории тензора рассматривает тензор как абстрактный объект , выражающий некоторый определенный тип полилинейной концепции. Их свойства могут быть выведены из их определений, как линейные отображения или более обобщенно; и правила манипуляций тензорами возникают как расширение линейной алгебры до полилинейной алгебры .

В дифференциальной геометрии внутреннее ^{[ требуется определение ]} геометрическое утверждение может быть описано тензорным полем на многообразии , и тогда вообще не нужно ссылаться на координаты. То же самое верно и в общей теории относительности , для тензорных полей, описывающих физическое свойство . Компонентно-свободный подход также широко используется в абстрактной алгебре и гомологической алгебре , где тензоры возникают естественным образом.

Примечание: В этой статье предполагается понимание тензорного произведения векторных пространств без выбранных базисов . Обзор предмета можно найти в основной статье о тензорах .

Определение через тензорные произведения векторных пространств

Для заданного конечного набора { V ₁ , ..., V _n } векторных пространств над общим полем F можно образовать их тензорное произведение V ₁ ⊗ ... ⊗ V _n , элемент которого называется тензором .

Тогда тензор в векторном пространстве V определяется как элемент (т.е. вектор в) векторного пространства вида:

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}$

где V ^∗ — двойственное пространство к V .

Если в нашем произведении имеется m копий V и n копий V ^∗ , то говорят, что тензор имеет тип ( m , n ) и контравариантен порядка m и ковариантен порядка n и имеет общий порядок m + n . Тензоры нулевого порядка — это просто скаляры (элементы поля F ), контравариантного порядка 1 — это векторы в V , а ковариантного порядка 1 — это единичные формы в V ^∗ (по этой причине элементы последних двух пространств часто называют контравариантными и ковариантными векторами). Пространство всех тензоров типа ( m , n ) обозначается

${\displaystyle T_{n}^{m}(V)=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{m}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{n}.}$

Пример 1. Пространство тензоров типа ( 1, 1) естественным образом изоморфно пространству линейных преобразований из V в V . ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)=V\otimes V^{*},}$

Пример 2. Билинейная форма на действительном векторном пространстве V естественным образом соответствует тензору типа (0, 2) в Пример такой билинейной формы может быть определен ^{[ необходимо разъяснение ] и} назван ассоциированным метрическим тензором , и обычно обозначается g . ${\displaystyle V\times V\to F,}$ ${\displaystyle T_{2}^{0}(V)=V^{*}\otimes V^{*}.}$

Ранг тензора

Простой тензор (также называемый тензором ранга один, элементарным тензором или разложимым тензором (Hackbusch 2012, стр. 4)) — это тензор, который можно записать в виде произведения тензоров вида

${\displaystyle T=a\otimes b\otimes \cdots \otimes d}$

где a , b , ..., d не равны нулю и находятся в V или V ^∗ – то есть, если тензор не равен нулю и полностью факторизуем . Каждый тензор может быть выражен как сумма простых тензоров. Ранг тензора T – это минимальное число простых тензоров, которые в сумме дают T (Bourbaki 1989, II, §7, № 8).

Нулевой тензор имеет ранг ноль. Ненулевой тензор порядка 0 или 1 всегда имеет ранг 1. Ранг ненулевого тензора порядка 2 или выше меньше или равен произведению размерностей всех векторов, кроме векторов с наивысшей размерностью (сумме произведений), в которых может быть выражен тензор, что равно d ^{n −1} , когда каждое произведение состоит из n векторов из конечномерного векторного пространства размерности d .

Термин ранг тензора расширяет понятие ранга матрицы в линейной алгебре, хотя этот термин также часто используется для обозначения порядка (или степени) тензора. Ранг матрицы — это минимальное число векторов-столбцов, необходимое для охвата диапазона матрицы . Таким образом, матрица имеет ранг один, если ее можно записать как внешнее произведение двух ненулевых векторов:

${\displaystyle A=vw^{\mathrm {T} }.}$

Ранг матрицы A — это наименьшее число таких внешних произведений, которые можно просуммировать для ее получения:

${\displaystyle A=v_{1}w_{1}^{\mathrm {T} }+\cdots +v_{k}w_{k}^{\mathrm {T} }.}$

В индексах тензор ранга 1 — это тензор вида

${\displaystyle T_{ij\dots }^{k\ell \dots }=a_{i}b_{j}\cdots c^{k}d^{\ell }\cdots .}$

Ранг тензора порядка 2 согласуется с рангом, когда тензор рассматривается как матрица ( Halmos 1974, §51), и может быть определен, например, из метода исключения Гаусса . Однако ранг тензора порядка 3 или выше часто очень трудно определить, и разложения тензоров низкого ранга иногда представляют большой практический интерес (de Groote 1987). Фактически, задача нахождения ранга тензора порядка 3 над любым конечным полем является NP-полной , а над рациональными числами — NP-трудной . ^[1] Вычислительные задачи, такие как эффективное умножение матриц и эффективная оценка многочленов , можно переформулировать как задачу одновременной оценки набора билинейных форм

${\displaystyle z_{k}=\sum _{ij}T_{ijk}x_{i}y_{j}}$

для заданных входных данных x _i и y _j . Если известно низкоранговое разложение тензора T , то известна и эффективная стратегия оценки (Knuth 1998, стр. 506–508).

Универсальная собственность

Пространство может быть охарактеризовано универсальным свойством в терминах полилинейных отображений . Среди преимуществ этого подхода то, что он дает способ показать, что многие линейные отображения являются «естественными» или «геометрическими» (другими словами, не зависят от выбора базиса). Явная вычислительная информация затем может быть записана с использованием базисов, и этот порядок приоритетов может быть более удобным, чем доказательство того, что формула приводит к естественному отображению. Другой аспект заключается в том, что тензорные произведения используются не только для свободных модулей , и «универсальный» подход легче переносится на более общие ситуации. ${\displaystyle T_{n}^{m}(V)}$

Скалярнозначная функция на декартовом произведении (или прямой сумме ) векторных пространств

${\displaystyle f:V_{1}\times \cdots \times V_{N}\to F}$

является полилинейным, если оно линейно по каждому аргументу. Пространство всех полилинейных отображений из V ₁ × ... × V _N в W обозначается L ^N ( V ₁ , ..., V _N ;  W ). Когда N  = 1, полилинейное отображение является просто обычным линейным отображением, а пространство всех линейных отображений из V в W обозначается L ( V ; W ) .

Универсальная характеристика тензорного произведения подразумевает, что для каждой полилинейной функции

${\displaystyle f\in L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};W)}$

(где может представлять поле скаляров, векторное пространство или тензорное пространство) существует единственная линейная функция ${\displaystyle W}$

${\displaystyle T_{f}\in L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};W)}$

такой что

${\displaystyle f(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m},v_{1},\ldots ,v_{n})=T_{f}(\alpha _{1}\otimes \cdots \otimes \alpha _{m}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})}$

для всех и ${\displaystyle v_{i}\in V}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\in V^{*}.}$

Используя универсальное свойство, следует, что когда V конечномерно , пространство ( m , n )-тензоров допускает естественный изоморфизм

${\displaystyle T_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};F)\cong L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};F).}$

Каждый V в определении тензора соответствует V ^* внутри аргумента линейных отображений, и наоборот. (Обратите внимание, что в первом случае имеется m копий V и n копий V ^* , а во втором случае наоборот). В частности, имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}^{1}(V)&\cong L(V^{*};F)\cong V,\\T_{1}^{0}(V)&\cong L(V;F)=V^{*},\\T_{1}^{1}(V)&\cong L(V;V).\end{aligned}}}$

Тензорные поля

Дифференциальная геометрия , физика и инженерия часто имеют дело с тензорными полями на гладких многообразиях . Термин тензор иногда используется как сокращение для тензорного поля . Тензорное поле выражает концепцию тензора, который изменяется от точки к точке на многообразии.

Ссылки

1. Хостад, Йохан (15 ноября 1989 г.). «Тензорный ранг NP-полный». Журнал алгоритмов . 11 : 644–654.

• Абрахам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1985), Основы механики (2-е изд.), Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 0-201-40840-6.
• Бурбаки, Николя (1989), Элементы математики, Алгебра I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• де Гроот, Х. Ф. (1987), Лекции о сложности билинейных задач , Lecture Notes in Computer Science, т. 245, Springer, ISBN 3-540-17205-X.
• Халмос, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства , Springer, ISBN 0-387-90093-4.
• Дживанджи, Надир (2011), «Введение в тензоры и теорию групп для физиков», Physics Today , 65 (4): 64, Bibcode : 2012PhT....65d..64P, doi : 10.1063/PT.3.1523, ISBN 978-0-8176-4714-8
• Кнут, Дональд Э. (1998) [1969], Искусство программирования, т. 2 (3-е изд.), стр. 145–146, ISBN 978-0-201-89684-8.
• Хакбуш, Вольфганг (2012), Тензорные пространства и численное тензорное исчисление , Springer, стр. 4, ISBN 978-3-642-28027-6.